Probleme de nivel mediu de Asimptote

Clasa a 11-a • 98 probleme de nivel mediu

Ușor (26)Toate
Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Determinarea asimptotei verticale prin rezolvarea ecuației x−2=0x - 2 = 0, deci x=2x = 2.
23 puncte
Verificarea existenței asimptotelor orizontale: gradul numărătorului este 2, gradul numitorului este 1, deci nu există asimptotă orizontală.
34 puncte
Determinarea asimptotei oblice prin împărțirea polinoamelor: f(x)=x+2+3x−2f(x) = x + 2 + \frac{3}{x-2}, deci asimptota oblică este y=x+2y = x + 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2AsimptotePolinoameStudiul funcțiilor
Determinați asimptotele funcției f:R∖{−1,1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{ -1, 1 \} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−2x+1x2−1f(x) = \frac{x^3 - 2x + 1}{x^2 - 1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Identificarea punctelor de discontinuitate: x=−1x = -1 și x=1x = 1 prin rezolvarea ecuației x2−1=0x^2 - 1 = 0.
24 puncte
Calculul limitelor lim⁡x→−1f(x)\lim_{x \to -1} f(x) și lim⁡x→1f(x)\lim_{x \to 1} f(x) pentru a verifica existența asimptotelor verticale; se obțin limite infinite, deci x=−1x = -1 și x=1x = 1 sunt asimptote verticale.
33 puncte
Determinarea asimptotei oblice prin împărțirea polinoamelor: f(x)=x+−x+1x2−1f(x) = x + \frac{-x + 1}{x^2 - 1}, deci asimptota oblică este y=xy = x; se verifică că lim⁡x→±∞[f(x)−x]=0\lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - x] = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3AsimptotePolinoame
Demonstrați că pentru o funcție rațională f(x)=P(x)Q(x)f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, unde PP și QQ sunt polinoame cu coeficienți reali, există o asimptotă orizontală dacă și numai dacă gradul lui PP este mai mic sau egal cu gradul lui QQ. Specificați ecuația asimptotei în fiecare caz.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Cazul grad(P) < grad(Q): se calculează lim⁡x→±∞f(x)=0\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0, deci asimptota orizontală este y=0y = 0.
24 puncte
Cazul grad(P) = grad(Q): fie P(x)=anxn+⋯+a0P(x) = a_n x^n + \cdots + a_0 și Q(x)=bnxn+⋯+b0Q(x) = b_n x^n + \cdots + b_0; atunci lim⁡x→±∞f(x)=anbn\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \frac{a_n}{b_n}, deci asimptota orizontală este y=anbny = \frac{a_n}{b_n}.
32 puncte
Concluzie: dacă grad(P) > grad(Q), nu există asimptotă orizontală (ci eventual oblică), completând demonstrația condiției.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4AsimptoteContinuitate
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x3−3x+2x2−1f(x) = \frac{x^3 - 3x + 2}{x^2 - 1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Determinarea asimptotelor verticale. Se rezolvă x2−1=0⇒x=±1x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1. Se verifică dacă acestea sunt puncte de discontinuitate: la x=1x = 1, numărătorul este 13−3⋅1+2=01^3 - 3\cdot1 + 2 = 0, deci există o discontinuitate evitabilă; la x=−1x = -1, numărătorul este (−1)3−3⋅(−1)+2=4≠0(-1)^3 - 3\cdot(-1) + 2 = 4 \neq 0, deci x=−1x = -1 este asimptotă verticală.
24 puncte
Verificarea asimptotelor orizontale. Gradele sunt: numărătorul 3, numitorul 2, deci nu există asimptotă orizontală. Se caută asimptotă oblică prin calculul limitei lim⁡x→∞f(x)x=lim⁡x→∞x3−3x+2x(x2−1)=1\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 3x + 2}{x(x^2 - 1)} = 1.
33 puncte
Determinarea ecuației asimptotei oblice. Se calculează lim⁡x→∞(f(x)−x)=lim⁡x→∞(x3−3x+2x2−1−x)=lim⁡x→∞−2x+2x2−1=0\lim_{x \to \infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3 - 3x + 2}{x^2 - 1} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{-2x + 2}{x^2 - 1} = 0, deci asimptota oblică este y=xy = x.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5AsimptoteStudiul funcțiilor
Determinați asimptotele funcției f(x)=ax2+bx+cx2+1f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{x^2 + 1}, unde a,b,ca, b, c sunt parametri reali. Discutați valorile parametrilor pentru care funcția are o asimptotă orizontală, o asimptotă oblică sau nu are asimptotă la infinit.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați lim⁡x→±∞f(x)\lim_{x \to \pm \infty} f(x) pentru a găsi asimptotele orizontale; analizați cazurile a≠0a \neq 0 și a=0a = 0.
23 puncte
Verificați asimptotele verticale prin rezolvarea ecuației x2+1=0x^2 + 1 = 0 și concluzionați că nu există asimptote verticale.
33 puncte
Discutați existența asimptotelor oblice prin calculul limitei lim⁡x→∞f(x)x\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} și a limitei lim⁡x→∞(f(x)−mx)\lim_{x \to \infty} (f(x) - mx), unde mm este panta; concluzionați în funcție de valorile lui aa și bb.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6AsimptoteDomeniul de definiție al funcțiilorPolinoame
Determinați asimptotele funcției f:R∖{−1,2}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\} \to \mathbb{R}, f(x)=2x3−x2+4x−3(x+1)(x−2)f(x) = \frac{2x^3 - x^2 + 4x - 3}{(x+1)(x-2)}.
Mediu#7AsimptotePolinoame
Fie funcția f:R∖{k}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{k\} \to \mathbb{R}, f(x)=ax2+bx+cx−kf(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{x - k}. Determinați valorile parametrilor reali a,b,c,ka, b, c, k astfel încât funcția să aibă o asimptotă verticală la x=2x = 2 și o asimptotă oblică cu ecuația y=3x−1y = 3x - 1.
Mediu#8AsimptoteDerivateMonotonie și convexitate
Investigați comportamentul funcției y=x3−4(x−1)3y = \frac{x^3 - 4}{(x - 1)^3} și construiți graficul. Câte rădăcini are ecuația x3−4(x−1)3=c\frac{x^3 - 4}{(x - 1)^3} = c?
Mediu#9AsimptoteDerivateMonotonie și convexitate
Investigați comportamentul funcției y=x3+4(x+1)3y = \frac{x^3 + 4}{(x + 1)^3} și construiți graficul. Câte soluții are ecuația x3+4(x+1)3=c\frac{x^3 + 4}{(x + 1)^3} = c?
Mediu#10AsimptoteDerivateMonotonie și convexitate
Investigați comportamentul funcției y=x4−8(x+1)4y=\frac{x^4-8}{(x+1)^4} și construiți graficul acesteia. Câte rădăcini poate avea ecuația x4−8(x+1)4=c\frac{x^4-8}{(x+1)^4}=c?
Mediu#11AsimptoteStudiul funcțiilorDomeniul de definiție al funcțiilor
Se consideră funcția f:D→Rf: D \to \mathbb{R}, f(x)=x3−4xx2−1f(x) = \frac{x^3 - 4x}{x^2 - 1}. a) Determinați domeniul de definiție DD al funcției. b) Studiați existența asimptotelor orizontale, verticale și oblice ale funcției.
Mediu#12AsimptoteDerivateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R∖{0}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, f(x)=exxf(x) = \frac{e^x}{x}. a) Determinați asimptotele funcției. b) Calculați derivata funcției și studiați monotonitatea acesteia pe domeniul de definiție.
Mediu#13AsimptoteFuncția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Fie funcția f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=2x2+mx+nx−1f(x) = \frac{2x^2 + mx + n}{x-1}. Determinați m,n∈Rm, n \in \mathbb{R} astfel încât graficul funcției să admită asimptota oblică y=2x−1y = 2x - 1 și să treacă prin punctul A(0,1)A(0,1).
Mediu#14AsimptotePolinoameDomeniul de definiție al funcțiilor
Fie funcția f:R∖{0}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, f(x)=x3+ax2+bx+cx2f(x) = \frac{x^3 + ax^2 + bx + c}{x^2}. Determinați a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât graficul funcției să admită asimptota oblică y=x+2y = x + 2, asimptota verticală x=0x = 0, și f(1)=4f(1) = 4.
Mediu#15AsimptoteDomeniul de definiție al funcțiilorDerivate
Să se studieze funcția f(x)=x3−2x2+x−1x2−4f(x) = \frac{x^3 - 2x^2 + x - 1}{x^2 - 4} și să se determine: a) Domeniul de definiție. b) Asimptotele orizontale, verticale și oblice. c) Să se verifice dacă funcția are puncte de extrem folosind derivatele.

Și alte 83 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Accesează toate cele 98 probleme de Asimptote cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.