Probleme ușoare de Asimptote

Clasa a 11-a • 26 probleme de nivel ușor

Mediu (98)Toate
Ușor#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
15 puncte
Determinarea gradelor: gradul numărătorului este 3, gradul numitorului este 2.
25 puncte
Concluzia: deoarece gradul numărătorului este mai mare decât gradul numitorului, funcția nu are asimptotă orizontală.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se efectuează împărțirea polinoamelor: x2+2xx+1=x+1−1x+1\frac{x^2 + 2x}{x + 1} = x + 1 - \frac{1}{x+1}.
23 puncte
Se identifică asimptota oblică ca fiind y=x+1y = x + 1.
33 puncte
Se verifică că limita f(x)−(x+1)f(x) - (x+1) tinde la 0 când x→±∞x \to \pm\infty.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se raționalizează expresia: f(x)=1x2+1+xf(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}.
23 puncte
Se calculează limita: lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞1x2+1+x=0\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = 0.
33 puncte
Se concluzionează că asimptota orizontală este y=0y = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Asimptote
Să se determine asimptotele verticale ale funcției f(x)=1x2−4f(x) = \frac{1}{x^2 - 4}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Determinăm punctele în care numitorul este zero: x2−4=0x^2 - 4 = 0, deci x=2x = 2 și x=−2x = -2.
23 puncte
Calculăm limitele în aceste puncte: lim⁡x→2+f(x)=+∞\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty, lim⁡x→2−f(x)=−∞\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty, lim⁡x→−2+f(x)=−∞\lim_{x \to -2^+} f(x) = -\infty, lim⁡x→−2−f(x)=+∞\lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty.
34 puncte
Concluzionăm că funcția are asimptote verticale la x=2x = 2 și x=−2x = -2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5AsimptoteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se studieze asimptotele funcției f(x)=x3−8x2−4f(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Simplificăm funcția: f(x)=x3−8x2−4=(x−2)(x2+2x+4)(x−2)(x+2)=x2+2x+4x+2f(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4} = \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x^2+2x+4}{x+2} pentru x≠2x \neq 2. Determinăm asimptotele verticale: numitorul este zero la x=−2x = -2. Calculăm lim⁡x→−2f(x)=∞\lim_{x \to -2} f(x) = \infty, deci asimptotă verticală la x=−2x = -2.
23 puncte
Verificăm asimptotele orizontale: gradul numărătorului este 3, gradul numitorului este 2, deci nu există asimptotă orizontală.
34 puncte
Căutăm asimptotă oblică: efectuăm împărțirea polinomilor: f(x)=x+4x−8x2−4f(x) = x + \frac{4x - 8}{x^2 - 4}. Când x→±∞x \to \pm\infty, 4x−8x2−4→0\frac{4x - 8}{x^2 - 4} \to 0, deci asimptota oblică este y=xy = x.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6AsimptoteFuncția de gradul I
Să se găsească asimptotele funcției f(x)=2x2−3x+1x−1f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}.
Ușor#7AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele orizontale și oblice pentru funcția f(x)=x2+1xf(x) = \frac{x^2 + 1}{x}.
Ușor#8AsimptoteStudiul funcțiilorMatematică aplicată
O populație de bacterii crește conform funcției N(t)=500tt+10N(t) = \frac{500t}{t + 10}, unde NN este numărul de bacterii și tt este timpul în ore (cu t≥0t \geq 0). Determinați asimptotele acestei funcții și interpretați-le în contextul creșterii populației.
Ușor#9AsimptoteStudiul funcțiilor
Demonstrați că funcția g(x)=2x2−x+1x+1g(x) = \frac{2x^2 - x + 1}{x + 1} are o asimptotă oblică și găsiți ecuația acesteia.
Ușor#10AsimptoteStudiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați constantele aa, bb, cc pentru funcția h(x)=ax2+bx+cx2−1h(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{x^2 - 1} astfel încât graficul să aibă asimptota orizontală y=2y = 2 și să treacă prin punctele (0,3)(0,3) și (2,5)(2,5).
Ușor#11AsimptoteStudiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că funcția g(x)=x2+1−xg(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală. Găsiți ecuația acestei asimptote și demonstrați că funcția se apropie de ea de dedesubt.
Ușor#12AsimptoteDerivate
Într-o reacție biochimică, concentrația unei substanțe este dată de C(t)=50tt+10C(t) = \frac{50t}{t+10}, unde tt este timpul în minute. Găsiți asimptota orizontală a acestei funcții și interpretați semnificația ei în contextul reacției.
Ușor#13AsimptoteLogaritmi
Arătați că funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡(1+1x)f(x) = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) are o asimptotă orizontală și determinați ecuația acesteia.
Ușor#14AsimptoteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→∞x2+3x−41−5x2\lim_{x\to\infty} \frac{x^2 + 3x - 4}{1 - 5x^2}.
Ușor#15AsimptoteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→∞(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(5x−1)5\lim_{x\to\infty} \frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{(5x-1)^5}.

Și alte 11 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Accesează toate cele 26 probleme de Asimptote cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.