Probleme de nivel mediu de Continuitate

Clasa a 11-a • 38 probleme de nivel mediu

Ușor (71)Toate
Mediu#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Observați că pentru x→4x\to 4 avem forma 0/00/0. Multiplicați numărătorul și numitorul cu conjugata numărătorului 1+2x+3\sqrt{1+2x}+3.
26 puncte
Obțineți 1+2x−9(x−2)(1+2x+3)=2(x−4)(x−2)(1+2x+3)=2(x−2)(x+2)(x−2)(1+2x+3)\frac{1+2x-9}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{1+2x}+3)}=\frac{2(x-4)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{1+2x}+3)}=\frac{2(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{1+2x}+3)}. Anulați x−2\sqrt{x}-2 și evaluați în x=4x=4: 2(4+2)1+8+3=2⋅46=43\frac{2(\sqrt{4}+2)}{\sqrt{1+8}+3}=\frac{2\cdot 4}{6}=\frac{4}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Continuitate
Folosind definiția, arătați că funcția f(x)={xsin⁡(1/x),x≠00,x=0f(x)=\begin{cases} x\sin(1/x), & x\neq 0\\ 0, & x=0 \end{cases} este continuă în punctul x=0x=0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Formulați definiția continuității în x=0x=0: pentru orice ε>0\varepsilon>0 există δ>0\delta>0 astfel încât ∣x−0∣<δ⇒∣f(x)−f(0)∣<ε|x-0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(0)|<\varepsilon.
24 puncte
Pentru x≠0x\neq0 calculați ∣f(x)−f(0)∣=∣xsin⁡(1/x)−0∣≤∣x∣|f(x)-f(0)|=|x\sin(1/x)-0|\le |x| deoarece ∣sin⁡(1/x)∣≤1|\sin(1/x)|\le1.
33 puncte
Alegeți δ=ε\delta=\varepsilon. Atunci dacă ∣x∣<δ|x|<\delta rezultă ∣f(x)−f(0)∣≤∣x∣<ε|f(x)-f(0)|\le|x|<\varepsilon, deci funcția este continuă în 00.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3ContinuitateDerivateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)={x2+ax+b,daca˘ x≤2cx+d,daca˘ x>2f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b, & \text{dacă } x \leq 2 \\ cx + d, & \text{dacă } x > 2 \end{cases}. Știind că ff este continuă și derivabilă în x=2x=2, f′(2)=3f'(2)=3 și f(0)=1f(0)=1, determinați parametrii reali a,b,c,da, b, c, d.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem condiția de continuitate în x=2x=2: lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2+f(x)=f(2)\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2). Calculăm: pentru x≤2x \leq 2, f(2)=4+2a+bf(2)=4+2a+b; pentru x>2x>2, lim⁡x→2+f(x)=2c+d\lim_{x \to 2^+} f(x)=2c+d. Obținem 4+2a+b=2c+d4+2a+b=2c+d.
22 puncte
Scriem condiția de derivabilitate în x=2x=2: derivata la stânga egală cu derivata la dreapta. Pentru x≤2x \leq 2, f′(x)=2x+af'(x)=2x+a, deci f′(2−)=4+af'(2^-)=4+a. Pentru x>2x>2, f′(x)=cf'(x)=c, deci f′(2+)=cf'(2^+)=c. Din f′(2)=3f'(2)=3, avem 4+a=34+a=3 și c=3c=3, deci a=−1a=-1 și c=3c=3.
32 puncte
Din f(0)=1f(0)=1, pentru x≤2x \leq 2, f(0)=02+a⋅0+b=bf(0)=0^2 + a \cdot 0 + b = b, deci b=1b=1.
44 puncte
Substituim a=−1a=-1, b=1b=1, c=3c=3 în condiția de continuitate: 4+2(−1)+1=2(3)+d⇒3=6+d⇒d=−34+2(-1)+1=2(3)+d \Rightarrow 3=6+d \Rightarrow d=-3. Verificăm: parametrii sunt a=−1a=-1, b=1b=1, c=3c=3, d=−3d=-3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4ContinuitateDerivateFuncția de gradul al II-lea
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=∣x2−4x+3∣f(x) = |x^2 - 4x + 3|. a) Studiați continuitatea lui ff pe R\mathbb{R}. b) Determinați punctele în care ff nu este derivabilă.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
15 puncte
Funcția ff este compunere de funcții continue: g(x)=x2−4x+3g(x)=x^2-4x+3 este continuă pe R\mathbb{R} (ca polinom), iar funcția valoare absolută este continuă pe R\mathbb{R}. Prin urmare, ff este continuă pe R\mathbb{R}.
25 puncte
Studiem derivabilitatea. Pentru x<1x<1 sau x>3x>3, g(x)>0g(x)>0, deci f(x)=x2−4x+3f(x)=x^2-4x+3 și este derivabilă. Pentru 1<x<31<x<3, g(x)<0g(x)<0, deci f(x)=−(x2−4x+3)f(x)=-(x^2-4x+3) și este derivabilă. În x=1x=1 și x=3x=3, derivatele laterale sunt diferite, deci ff nu este derivabilă în aceste puncte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5ContinuitateDerivateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)=x3−1x−1f(x) = \frac{x^3 - 1}{x-1} pentru x≠1x \neq 1 și f(1)=af(1) = a, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Studiați continuitatea funcției în punctul x=1x=1 în funcție de parametrul aa. Apoi, pentru aa determinat, examinați dacă funcția este derivabilă în x=1x=1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați limita funcției când x→1x \to 1: lim⁡x→1f(x)=lim⁡x→1x3−1x−1=lim⁡x→1(x2+x+1)=3\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 3.
23 puncte
Stabiliți condiția de continuitate: funcția este continuă în x=1x=1 dacă lim⁡x→1f(x)=f(1)\lim_{x \to 1} f(x) = f(1), adică 3=a3 = a. Deci, pentru a=3a=3, funcția este continuă.
34 puncte
Pentru a=3a=3, studiați derivabilitatea: calculați derivata folosind definiția: f′(1)=lim⁡h→0f(1+h)−f(1)h=lim⁡h→0(1+h)3−1h−3h=lim⁡h→0h2+3h+3−3h=lim⁡h→0(h+3)=3f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{(1+h)^3 - 1}{h} - 3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 + 3h + 3 - 3}{h} = \lim_{h \to 0} (h + 3) = 3. Astfel, funcția este derivabilă în x=1x=1 cu f′(1)=3f'(1)=3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6ContinuitateȘiruri de numere realeStudiul funcțiilor
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2+ana_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} pentru n≥1n \geq 1. Arătați că șirul este convergent și calculați limita sa, folosind continuitatea funcției f(x)=2+xf(x) = \sqrt{2 + x}.
Mediu#7ContinuitatePolinoameAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Considerați funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)={x2+ax+bx−2,daca˘ x≠2c,daca˘ x=2f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + ax + b}{x-2}, & \text{dacă } x \neq 2 \\ c, & \text{dacă } x = 2 \end{cases}. Se știe că lim⁡x→2f(x)=5\lim_{x \to 2} f(x) = 5 și că ff este continuă în x=2x=2. Determinați a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}.
Mediu#8ContinuitateDerivateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)={x2sin⁡(1x),daca˘ x≠00,daca˘ x=0f(x) = \begin{cases} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right), & \text{dacă } x \neq 0 \\ 0, & \text{dacă } x = 0 \end{cases}. Demonstrați că ff este continuă pe R\mathbb{R} și că are derivată în x=0x=0.
Mediu#9ContinuitateLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)={ax2+bx+1,daca˘ x<1ln⁡(x+c),daca˘ x≥1f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 1, & \text{dacă } x < 1 \\ \ln(x + c), & \text{dacă } x \geq 1 \end{cases}, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Determinați parametrii a,b,ca, b, c pentru care ff este continuă pe R\mathbb{R}.
Mediu#10ContinuitateStudiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)={sin⁡(3x)x,daca˘ x<0a,daca˘ x=01−e−bxx,daca˘ x>0f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(3x)}{x}, & \text{dacă } x < 0 \\ a, & \text{dacă } x = 0 \\ \frac{1 - e^{-bx}}{x}, & \text{dacă } x > 0 \end{cases}. Determinați a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} astfel încât ff să fie continuă în x=0x=0.
Mediu#11ContinuitateDerivateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)={ax2+2x+3,x≤0ln⁡(x+1)+b,x>0f(x) = \begin{cases} ax^2 + 2x + 3, & x \leq 0 \\ \ln(x+1) + b, & x > 0 \end{cases}. Determinați parametrii reali aa și bb astfel încât ff să fie continuă pe R\mathbb{R}. Pentru valorile găsite, calculați f′(0)f'(0) dacă există.
Mediu#12ContinuitateMonotonie și convexitateEcuații exponentiale
Arătați că ecuația ex=2−xe^x = 2 - x are o unică soluție reală. Apoi, folosind metoda înjumătățirii intervalului, aproximați această soluție cu o eroare mai mică decât 0.10.1.
Mediu#13ContinuitateDerivateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)={aex+bdaca˘ x<0x2+2x+cdaca˘ x≥0f(x) = \begin{cases} a e^{x} + b & \text{dacă } x < 0 \\ x^2 + 2x + c & \text{dacă } x \geq 0 \end{cases}, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Determinați a,b,ca, b, c astfel încât ff să fie continuă și derivabilă în x=0x=0.
Mediu#14ContinuitateDerivateSisteme de Ecuații Liniare
Fie funcția h:R→Rh: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin h(x)={x2+px+qdaca˘ x≤1rx+sdaca˘ x>1h(x) = \begin{cases} x^2 + px + q & \text{dacă } x \leq 1 \\ rx + s & \text{dacă } x > 1 \end{cases}, unde p,q,r,s∈Rp, q, r, s \in \mathbb{R}. Determinați p,q,r,sp, q, r, s astfel încât hh să fie continuă și derivabilă în x=1x=1, h(0)=2h(0)=2, și h′(2)=3h'(2)=3.
Mediu#15ContinuitateStudiul funcțiilorTrigonometrie
Studiați continuitatea funcției f:[0,∞)→Rf: [0, \infty) \to \mathbb{R} definită prin f(x)=x⋅sin⁡(1x)f(x) = \sqrt{x} \cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right) pentru x>0x>0 și f(0)=0f(0)=0.

Și alte 23 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Accesează toate cele 38 probleme de Continuitate cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.