Probleme ușoare de Continuitate

Clasa a 11-a • 71 probleme de nivel ușor

Mediu (38)Toate
Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Factorizați numărătorul și numitorul: x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2-5x+6=(x-2)(x-3) și x2−12x+20=(x−2)(x−10)x^2-12x+20=(x-2)(x-10).
23 puncte
Simplificați prin x−2x-2 pentru x≠2x\neq2, obținând x−3x−10\frac{x-3}{x-10}.
34 puncte
Evaluați limita prin înlocuire: lim⁡x→2x−3x−10=2−32−10=−1−8=18\lim_{x\to2}\frac{x-3}{x-10}=\frac{2-3}{2-10}=\frac{-1}{-8}=\frac{1}{8}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se verifică substituția și se obține forma nedeterminată 00\frac{0}{0}.;
24 puncte
Se factorizează x3−8=(x−2)(x2+2x+4)x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4) și se arată că x3−3x−2=(x−2)(x+1)2x^3-3x-2=(x-2)(x+1)^2, apoi se simplifică factorul comun (x−2)(x-2).;
33 puncte
Se înlocuiește x=2x=2 în expresia simplificată și se calculează limita (2+1)222+2⋅2+4=912=34\frac{(2+1)^2}{2^2+2\cdot2+4}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Observăm că funcția este continuă în x=1x=1, deci putem face substituția directă.;
26 puncte
Calculăm valorile: numărătorul la x=1x=1 este 1−2−1=−21-2-1=-2, numitorul la x=1x=1 este 1−2−1=−21-2-1=-2, deci limita este −2−2=1\frac{-2}{-2}=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→81−x3−32+3x3\lim_{x\to 8}\frac{\sqrt[3]{1-x}-3}{2+3\sqrt[3]{x}}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Observăm că funcția  ⋅ 3\sqrt[3]{\,\cdot\,} este continuă pe R\mathbb{R}, deci limita se obține prin substituție directă.
26 puncte
Înlocuim x=8x=8 și calculăm numărătorul și numitorul: 1−83−3=−73−3\sqrt[3]{1-8}-3=-\sqrt[3]{7}-3, 2+383=2+3⋅2=82+3\sqrt[3]{8}=2+3\cdot2=8.
32 puncte
Concluzie: limita este −73−38\dfrac{-\sqrt[3]{7}-3}{8}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5ContinuitateTrigonometrie
Calculați limita lim⁡x→0cos⁡(x/2)−sin⁡(x/2)cos⁡x.\lim_{x\to 0} \dfrac{\cos(x/2) - \sin(x/2)}{\cos x}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
13 puncte
Observă că funcțiile implicate sunt continue în x=0x=0 și cos⁡0≠0\cos0\neq0, deci se poate evalua prin substituție;
27 puncte
Efectuează substituția x=0x=0 și obții cos⁡0−sin⁡0cos⁡0=1−01=1\dfrac{\cos0-\sin0}{\cos0}=\dfrac{1-0}{1}=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→45+x−1x2+4x\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{5 + x} - 1}{x^2 + 4x}.
Ușor#7ContinuitateStudiul funcțiilor
Folosind definiția, arătați că funcția f(x)={sin⁡x∣x∣,daca˘ x≠01,daca˘ x=0f(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}{|x|},&\text{dacă }x\neq 0\\1,&\text{dacă }x=0\end{cases} este discontinuuă în punctul x=0x = 0.
Ușor#8ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)={x2+a,daca˘ x<12x+b,daca˘ x≥1f(x) = \begin{cases} x^2 + a, & \text{dacă } x < 1 \\ 2x + b, & \text{dacă } x \geq 1 \end{cases}, unde a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui aa și bb pentru care funcția ff este continuă pe R\mathbb{R}.
Ușor#9ContinuitateStudiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)={x2−ax+bx−1,daca˘ x≠1c,daca˘ x=1f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - a x + b}{x - 1}, & \text{dacă } x \neq 1 \\ c, & \text{dacă } x = 1 \end{cases}. Să se determine a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât ff să fie continuă pe R\mathbb{R}.
Ușor#10ContinuitateEcuații logaritmiceStudiul funcțiilor
Demonstrați că ecuația ln⁡(x+1)=2x−1\ln(x+1) = 2x - 1 are cel puțin o soluție reală în intervalul (0,1)(0,1). Utilizați teorema valorii intermediare.
Ușor#11ContinuitateDerivateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)={x2+2x+3,daca˘ x≤1ax+b,daca˘ x>1f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x + 3, & \text{dacă } x \leq 1 \\ ax + b, & \text{dacă } x > 1 \end{cases}. Determinați parametrii reali aa și bb astfel încât ff să fie continuă pe R\mathbb{R} și să aibă o tangentă orizontală în punctul x=2x=2.
Ușor#12ContinuitateFuncția de gradul IFuncția de gradul al II-lea
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)={ax+3,daca˘ x≤2x2+b,daca˘ x>2f(x) = \begin{cases} ax + 3, & \text{dacă } x \leq 2 \\ x^2 + b, & \text{dacă } x > 2 \end{cases}. Știind că ff este continuă pe R\mathbb{R} și că f(1)=4f(1)=4, determinați a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}.
Ușor#13ContinuitateLogaritmiStudiul funcțiilor
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)={ln⁡(x)+a,daca˘ x<ebx,daca˘ x≥ef(x) = \begin{cases} \ln(x) + a, & \text{dacă } x < e \\ \frac{b}{x}, & \text{dacă } x \geq e \end{cases}. Știind că ff este continuă pe domeniul său de definiție și că f(e)=2f(e)=2, determinați a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}.
Ușor#14ContinuitateStudiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={x2−4x−2,x<2a,x=2x2−3x+2+b,x>2f(x)=\begin{cases} \frac{x^2-4}{x-2}, & x<2 \\ a, & x=2 \\ \sqrt{x^2-3x+2}+b, & x>2 \end{cases}, unde aa și bb sunt numere reale. Să se determine aa și bb astfel încât ff să fie continuă pe R\mathbb{R}.
Ușor#15ContinuitateTrigonometrieStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={1−cos⁡(ax)x2,x≠0b,x=0f(x)=\begin{cases} \frac{1-\cos(ax)}{x^2}, & x\neq 0 \\ b, & x=0 \end{cases}, unde aa și bb sunt numere reale. Să se determine aa și bb astfel încât ff să fie continuă pe R\mathbb{R}.

Și alte 56 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Accesează toate cele 71 probleme de Continuitate cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.