Probleme de nivel mediu de Determinanți

Clasa a 11-a • 233 probleme de nivel mediu

Ușor (49)Toate
Mediu#1DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculul determinantului sistemului Δ=∣a111a111a∣\Delta = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix}. Dezvoltând după prima linie, Δ=a(a2−1)−1(a−1)+1(1−a)=a(a−1)(a+1)−(a−1)−(a−1)=(a−1)[a(a+1)−2]=(a−1)(a2+a−2)=(a−1)(a−1)(a+2)=(a−1)2(a+2)\Delta = a(a^2 - 1) - 1(a - 1) + 1(1 - a) = a(a-1)(a+1) - (a-1) - (a-1) = (a-1)[a(a+1) - 2] = (a-1)(a^2 + a - 2) = (a-1)(a-1)(a+2) = (a-1)^2 (a+2).
23 puncte
Condiția pentru soluție unică. Sistemul are soluție unică dacă Δ≠0\Delta \neq 0, adică (a−1)2(a+2)≠0(a-1)^2 (a+2) \neq 0, deci a≠1a \neq 1 și a≠−2a \neq -2.
34 puncte
Aplicarea regulii lui Cramer. Pentru a≠1a \neq 1 și a≠−2a \neq -2, calculăm Δx,Δy,Δz\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z. Δx=∣111aa1a21a∣\Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & a & 1 \\ a^2 & 1 & a \end{vmatrix}. Calculând, Δx=1⋅∣a11a∣−1⋅∣a1a2a∣+1⋅∣aaa21∣=1(a2−1)−1(a2−a2)+1(a−a3)=a2−1+a−a3=−a3+a2+a−1=−(a−1)(a2+1)\Delta_x = 1 \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ a^2 & a \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} a & a \\ a^2 & 1 \end{vmatrix} = 1(a^2 - 1) - 1(a^2 - a^2) + 1(a - a^3) = a^2 - 1 + a - a^3 = -a^3 + a^2 + a - 1 = -(a-1)(a^2 + 1). Similar, Δy=∣a111a11a2a∣=−(a−1)2\Delta_y = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & a^2 & a \end{vmatrix} = -(a-1)^2 și Δz=∣a111aa11a2∣=−(a−1)(a+1)\Delta_z = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & a \\ 1 & 1 & a^2 \end{vmatrix} = -(a-1)(a+1). Atunci x=ΔxΔ=−(a−1)(a2+1)(a−1)2(a+2)=−a2+1(a−1)(a+2)x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-(a-1)(a^2+1)}{(a-1)^2(a+2)} = -\frac{a^2+1}{(a-1)(a+2)}, y=ΔyΔ=−(a−1)2(a−1)2(a+2)=−1a+2y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-(a-1)^2}{(a-1)^2(a+2)} = -\frac{1}{a+2}, z=ΔzΔ=−(a−1)(a+1)(a−1)2(a+2)=−a+1(a−1)(a+2)z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{-(a-1)(a+1)}{(a-1)^2(a+2)} = -\frac{a+1}{(a-1)(a+2)}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculează determinantul folosind regula lui Sarrus: D(a,b,c)=a(bc−a2)−b(b2−ac)+c(ab−c2)=abc−a3−b3+abc+abc−c3=3abc−(a3+b3+c3)D(a,b,c) = a(bc - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ab - c^2) = abc - a^3 - b^3 + abc + abc - c^3 = 3abc - (a^3 + b^3 + c^3).
23 puncte
Folosește identitatea a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca) pentru a rescrie D(a,b,c)=−(a3+b3+c3−3abc)=−(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)D(a,b,c) = -(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc) = -(a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca).
33 puncte
Deduce că D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0 dacă și numai dacă a+b+c=0a+b+c=0 sau a2+b2+c2−ab−bc−ca=0a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca = 0. A doua condiție este echivalentă cu (a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=0(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0, deci a=b=ca=b=c.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrie matricea sistemului și calculează determinantul principal D=∣111abca2b2c2∣D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}. Acesta este un determinant Vandermonde: D=(b−a)(c−a)(c−b)D = (b-a)(c-a)(c-b).
23 puncte
Sistemul are soluție unică dacă D≠0D \neq 0, adică dacă aa, bb, cc sunt distincte două câte două.
34 puncte
Aplică regula lui Cramer. Calculează determinanții auxiliari: Dx=∣111dbcd2b2c2∣=(b−d)(c−d)(c−b)D_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ d & b & c \\ d^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = (b-d)(c-d)(c-b), Dy=∣111adca2d2c2∣=(d−a)(c−a)(c−d)D_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & d & c \\ a^2 & d^2 & c^2 \end{vmatrix} = (d-a)(c-a)(c-d), Dz=∣111abda2b2d2∣=(b−a)(d−a)(d−b)D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & d \\ a^2 & b^2 & d^2 \end{vmatrix} = (b-a)(d-a)(d-b). Soluția este x=DxDx = \frac{D_x}{D}, y=DyDy = \frac{D_y}{D}, z=DzDz = \frac{D_z}{D}, presupunând D≠0D \neq 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4DeterminanțiMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Fie matricea A=(a111a111a)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui aa pentru care determinantul matricei AA este nul. Apoi, pentru a=2a = 2, rezolvați sistemul de ecuații liniare A⋅(xyz)=(111)A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se calculează determinantul matricei AA: det⁡(A)=∣a111a111a∣\det(A) = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix}. Adunând toate liniile la prima linie, se obține det⁡(A)=(a+2)∣1111a111a∣\det(A) = (a+2) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix}. Calculând acest determinant, det⁡(A)=a3−3a+2=(a−1)2(a+2)\det(A) = a^3 - 3a + 2 = (a-1)^2 (a+2). Setând det⁡(A)=0\det(A)=0, se obține a=1a=1 sau a=−2a=-2.
24 puncte
Pentru a=2a=2, det⁡(A)=4≠0\det(A)=4 \neq 0, deci sistemul are soluție unică. Se aplică regula lui Cramer. Se calculează det⁡(Ax)=∣111121112∣=1\det(A_x) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1, det⁡(Ay)=∣211111112∣=1\det(A_y) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1, det⁡(Az)=∣211121111∣=1\det(A_z) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1. Atunci x=det⁡(Ax)det⁡(A)=14x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{1}{4}, y=14y = \frac{1}{4}, z=14z = \frac{1}{4}.
32 puncte
Se verifică soluția în sistem și se concluzionează că pentru a=2a=2, sistemul are soluția x=y=z=14x=y=z=\frac{1}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5DeterminanțiVectoriGeometrie Analitică
Se dau punctele A(1,1,0)A(1,1,0), B(2,0,1)B(2,0,1), C(0,1,2)C(0,1,2), D(1,2,1)D(1,2,1) în spațiu. Calculați determinantul matricei având drept coloane coordonatele vectorilor AB⃗\vec{AB}, AC⃗\vec{AC}, AD⃗\vec{AD}. Folosiți acest determinant pentru a determina dacă punctele sunt coplanare și pentru a calcula volumul paralelipipedului determinat de acești vectori.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează vectorii: AB⃗=(1,−1,1)\vec{AB} = (1, -1, 1), AC⃗=(−1,0,2)\vec{AC} = (-1, 0, 2), AD⃗=(0,1,1)\vec{AD} = (0, 1, 1).
24 puncte
Se calculează determinantul D=∣1−11−102011∣D = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}. Expandând de-a lungul primei linii: D=1⋅∣0211∣−(−1)⋅∣−1201∣+1⋅∣−1001∣=1(0⋅1−2⋅1)+1(−1⋅1−2⋅0)+1(−1⋅1−0⋅0)=−2−1−1=−4D = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(0\cdot1 - 2\cdot1) + 1(-1\cdot1 - 2\cdot0) + 1(-1\cdot1 - 0\cdot0) = -2 -1 -1 = -4.
33 puncte
Interpretare geometrică: Dacă D≠0D \neq 0, punctele A,B,C,DA, B, C, D nu sunt coplanare. Volumul paralelipipedului determinat de vectorii AB⃗\vec{AB}, AC⃗\vec{AC}, AD⃗\vec{AD} este ∣D∣=4|D| = 4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniarePolinoame
Se consideră matricea A=(abcbcacab)A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{pmatrix} cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Calculați det⁡(A)\det(A) și determinați condițiile în care det⁡(A)=0\det(A) = 0. Dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, rezolvați sistemul de ecuații liniare {ax+by+cz=0bx+cy+az=0cx+ay+bz=0\begin{cases} ax + by + cz = 0 \\ bx + cy + az = 0 \\ cx + ay + bz = 0 \end{cases}.
Mediu#7DeterminanțiGeometrie AnaliticăPolinoame
Demonstrați că determinantul Δ=∣111xyzx2y2z2∣\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix} este egal cu (x−y)(y−z)(z−x)(x-y)(y-z)(z-x). Utilizați acest rezultat pentru a stabili condiția de coliniaritate a punctelor A(x,x2),B(y,y2),C(z,z2)A(x, x^2), B(y, y^2), C(z, z^2) în planul cartezian.
Mediu#8DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie matricea A=(abcbcacab)A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{pmatrix}, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Demonstrați că det⁡(A)=(a+b+c)(ab+bc+ca−a2−b2−c2)\det(A) = (a+b+c)(ab+bc+ca - a^2 - b^2 - c^2). Apoi, pentru a=1,b=2,c=3a=1, b=2, c=3, determinați dacă sistemul A(xyz)=(666)A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix} are soluție unică.
Mediu#9DeterminanțiPolinoameAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(x)=∣x121x323x∣P(x) = \begin{vmatrix} x & 1 & 2 \\ 1 & x & 3 \\ 2 & 3 & x \end{vmatrix}. Calculați P(x)P(x) și exprimați-l sub formă canonică. Determinați apoi rădăcinile reale ale ecuației P(x)=0P(x) = 0.
Mediu#10DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {x+2y−z=12x+ky+3z=23x−y+mz=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + ky + 3z = 2 \\ 3x - y + mz = 3 \end{cases} unde kk și mm sunt parametri reali. a) Determinați valorile lui kk și mm pentru care sistemul are soluție unică. b) Pentru k=1k=1 și m=2m=2, rezolvați sistemul folosind regula lui Cramer.
Mediu#11DeterminanțiNumere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} și matricea C=(zzˉ1zˉ1z1zzˉ)C = \begin{pmatrix} z & \bar{z} & 1 \\ \bar{z} & 1 & z \\ 1 & z & \bar{z} \end{pmatrix}, unde zˉ\bar{z} este conjugatul lui zz. Arătați că det⁡(C)\det(C) este un număr real pentru orice z∈Cz \in \mathbb{C}.
Mediu#12DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {x+ay+a2z=1ax+y+az=aa2x+ay+z=a2\begin{cases} x + ay + a^2 z = 1 \\ a x + y + a z = a \\ a^2 x + a y + z = a^2 \end{cases} unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică, și în acest caz, găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Mediu#13DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Fie sistemul de ecuații liniare: {2x−y+z=1x+3y−2z=43x+2y−kz=7\begin{cases} 2x - y + z = 1 \\ x + 3y - 2z = 4 \\ 3x + 2y - kz = 7 \end{cases} unde kk este un parametru real. Determinați valorile lui kk pentru care sistemul este compatibil determinat, compatibil nedeterminat sau incompatibil. Pentru k=1k=1, rezolvați sistemul folosind regula lui Cramer.
Mediu#14DeterminanțiPolinoameGeometrie Analitică
Fie matricea A=(1xx21yy21zz2)A = \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{pmatrix}. Calculați determinantul det⁡(A)\det(A) și demonstrați că este egal cu (x−y)(y−z)(z−x)(x-y)(y-z)(z-x). Apoi, folosind acest rezultat, determinați condițiile pe care trebuie să le îndeplinească numerele reale a,b,ca, b, c pentru ca punctele (a,a2)(a, a^2), (b,b2)(b, b^2), (c,c2)(c, c^2) să fie coliniare.
Mediu#15DeterminanțiMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Calculați determinantul matricei A=(1aa21bb21cc2)A = \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{pmatrix} și arătați că este egal cu (a−b)(b−c)(c−a)(a-b)(b-c)(c-a). Apoi, utilizați acest rezultat pentru a rezolva sistemul de ecuații liniare {x+ay+a2z=0x+by+b2z=0x+cy+c2z=0\begin{cases} x + ay + a^2 z = 0 \\ x + by + b^2 z = 0 \\ x + cy + c^2 z = 0 \end{cases}, unde a,b,ca, b, c sunt numere reale distincte.

Și alte 218 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Accesează toate cele 233 probleme de Determinanți cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.