Probleme ușoare de Determinanți

Clasa a 11-a • 49 probleme de nivel ușor

Mediu (233)Toate
Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculul determinantului DD folosind dezvoltarea după prima linie. D=1⋅∣−111i∣−i⋅∣i1−1i∣+(−1)⋅∣i−1−11∣=1⋅((−1)i−1⋅1)−i⋅(i⋅i−1⋅(−1))+(−1)⋅(i⋅1−(−1)⋅(−1))=1⋅(−i−1)−i⋅(−1+1)+(−1)⋅(i−1)=−i−1−0−i+1=−2iD = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & i \end{vmatrix} - i \cdot \begin{vmatrix} i & 1 \\ -1 & i \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} i & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot ((-1)i - 1 \cdot 1) - i \cdot (i \cdot i - 1 \cdot (-1)) + (-1) \cdot (i \cdot 1 - (-1) \cdot (-1)) = 1 \cdot (-i - 1) - i \cdot (-1 + 1) + (-1) \cdot (i - 1) = -i - 1 - 0 - i + 1 = -2i. Așadar, D=−2iD = -2i.
23 puncte
Echivalarea cu ecuația dată. Avem −2i=x2−4x+5-2i = x^2 - 4x + 5. Deoarece DD este un număr complex pur imaginar și partea dreaptă este o expresie reală pentru xx real, ecuația are soluții doar dacă ambele părți sunt reale. Dar −2i-2i nu este real, deci nu există xx real care să satisfacă ecuația.
33 puncte
Concluzia. Prin urmare, mulțimea soluțiilor reale este vidă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2DeterminanțiGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
În planul cartezian, se consideră punctele A(1,2)A(1,2), B(4,5)B(4,5) și C(x,0)C(x,0). Determinați valorile lui xx pentru care aria triunghiului ABCABC este egală cu 6, folosind determinantul.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Aria triunghiului cu vârfurile A(x1,y1)A(x_1,y_1), B(x2,y2)B(x_2,y_2), C(x3,y3)C(x_3,y_3) este dată de formula Aria=12∣det⁡(x1y11x2y21x3y31)∣\text{Aria} = \frac{1}{2} \left| \det \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix} \right|.
23 puncte
Înlocuiește coordonatele: A(1,2)A(1,2), B(4,5)B(4,5), C(x,0)C(x,0). Calculează determinantul: det⁡(121451x01)=1⋅det⁡(5101)−2⋅det⁡(41x1)+1⋅det⁡(45x0)=1(5⋅1−1⋅0)−2(4⋅1−1⋅x)+1(4⋅0−5⋅x)=5−2(4−x)+(0−5x)=5−8+2x−5x=−3−3x\det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & 5 & 1 \\ x & 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - 2 \cdot \det\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ x & 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ x & 0 \end{pmatrix} = 1(5\cdot1 - 1\cdot0) - 2(4\cdot1 - 1\cdot x) + 1(4\cdot0 - 5\cdot x) = 5 - 2(4 - x) + (0 - 5x) = 5 - 8 + 2x - 5x = -3 - 3x.
33 puncte
Setează aria egală cu 6: 12∣−3−3x∣=6\frac{1}{2} \left| -3 - 3x \right| = 6. Rezolvă ecuația: ∣−3−3x∣=12\left| -3 - 3x \right| = 12. Aceasta duce la două cazuri: −3−3x=12-3 - 3x = 12 sau −3−3x=−12-3 - 3x = -12. Primul caz: −3−3x=12⇒−3x=15⇒x=−5-3 - 3x = 12 \Rightarrow -3x = 15 \Rightarrow x = -5. Al doilea caz: −3−3x=−12⇒−3x=−9⇒x=3-3 - 3x = -12 \Rightarrow -3x = -9 \Rightarrow x = 3.
42 puncte
Verifică dacă punctele nu sunt coliniare pentru valorile găsite. Pentru x=−5x = -5, determinantul este −3−3(−5)=−3+15=12≠0-3 - 3(-5) = -3 + 15 = 12 \neq 0, deci triunghiul este nedegenerat. Pentru x=3x = 3, determinantul este −3−3⋅3=−3−9=−12≠0-3 - 3\cdot3 = -3 - 9 = -12 \neq 0, deci triunghiul este nedegenerat. Ambele valori sunt valide.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeMatrici
Fie matricea A=(1232x434x)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & x & 4 \\ 3 & 4 & x \end{pmatrix}. Determinați valorile reale ale lui xx pentru care determinantul matricei AA este nul.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați determinantul matricei AA folosind dezvoltarea după prima linie: det⁡(A)=1⋅∣x44x∣−2⋅∣243x∣+3⋅∣2x34∣\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} x & 4 \\ 4 & x \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & x \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & x \\ 3 & 4 \end{vmatrix}.\n
23 puncte
Efectuați calculele determinanților de ordinul 2: det⁡(A)=(x⋅x−4⋅4)−2(2⋅x−4⋅3)+3(2⋅4−x⋅3)=(x2−16)−2(2x−12)+3(8−3x)\det(A) = (x \cdot x - 4 \cdot 4) - 2(2 \cdot x - 4 \cdot 3) + 3(2 \cdot 4 - x \cdot 3) = (x^2 - 16) - 2(2x - 12) + 3(8 - 3x).\n
33 puncte
Simplificați și rezolvați ecuația det⁡(A)=0\det(A) = 0: x2−16−4x+24+24−9x=x2−13x+32=0x^2 - 16 - 4x + 24 + 24 - 9x = x^2 - 13x + 32 = 0. Discriminantul este Δ=169−128=41\Delta = 169 - 128 = 41, deci soluțiile sunt x1,2=13±412x_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{41}}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4DeterminanțiMatriciAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie matricea A=(a111a111a)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}. Determinați valorile reale ale lui aa pentru care det⁡(A)=0\det(A) = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculăm determinantul matricei AA: det⁡(A)=a⋅det⁡(a11a)−1⋅det⁡(111a)+1⋅det⁡(1a11)=a(a2−1)−1(a−1)+1(1−a)=a3−a−a+1+1−a=a3−3a+2\det(A) = a \cdot \det \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{pmatrix} - 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & a \end{pmatrix} + 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & a \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = a(a^2 - 1) - 1(a - 1) + 1(1 - a) = a^3 - a - a + 1 + 1 - a = a^3 - 3a + 2.
22 puncte
Punem condiția det⁡(A)=0\det(A) = 0, deci a3−3a+2=0a^3 - 3a + 2 = 0.
34 puncte
Rezolvăm ecuația a3−3a+2=0a^3 - 3a + 2 = 0. Observăm că a=1a = 1 este rădăcină: 13−3⋅1+2=01^3 - 3\cdot1 + 2 = 0. Facem împărțirea polinomului a3−3a+2a^3 - 3a + 2 la (a−1)(a-1) și obținem a2+a−2a^2 + a - 2. Soluțiile ecuației a2+a−2=0a^2 + a - 2 = 0 sunt a=1a = 1 sau a=−2a = -2. Deci, valorile lui aa pentru care det⁡(A)=0\det(A) = 0 sunt a=1a = 1 și a=−2a = -2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5DeterminanțiGeometrie AnaliticăVectori
În planul cartezian, se consideră punctele A(1,2)A(1,2), B(3,5)B(3,5), C(4,1)C(4,1). a) Calculați aria triunghiului ABCABC folosind determinanți. b) Verificați dacă punctele AA, BB, CC sunt coliniare. c) Determinați ecuația dreptei care trece prin punctele AA și BB și verificați dacă punctul CC aparține acestei drepte.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Aria triunghiului ABCABC se calculează cu formula A=12∣det⁡(xAyA1xByB1xCyC1)∣A = \frac{1}{2} \left| \det\begin{pmatrix} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \end{pmatrix} \right|. Înlocuind coordonatele: det⁡(121351411)=1⋅(5⋅1−1⋅1)−2⋅(3⋅1−1⋅4)+1⋅(3⋅1−5⋅4)=1⋅(5−1)−2⋅(3−4)+1⋅(3−20)=4−2⋅(−1)+(−17)=4+2−17=−11\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 1 \\ 4 & 1 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot (5 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - 2 \cdot (3 \cdot 1 - 1 \cdot 4) + 1 \cdot (3 \cdot 1 - 5 \cdot 4) = 1 \cdot (5 - 1) - 2 \cdot (3 - 4) + 1 \cdot (3 - 20) = 4 - 2 \cdot (-1) + (-17) = 4 + 2 - 17 = -11. Aria este A=12∣−11∣=112A = \frac{1}{2} \left| -11 \right| = \frac{11}{2} unități pătrate.
23 puncte
Punctele AA, BB, CC sunt coliniare dacă determinantul det⁡(xAyA1xByB1xCyC1)=0\det\begin{pmatrix} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \end{pmatrix} = 0. Din calculul de la pasul 1, determinantul este −11≠0-11 \neq 0, deci punctele nu sunt coliniare.
34 puncte
Ecuația dreptei care trece prin A(1,2)A(1,2) și B(3,5)B(3,5) se poate determina folosind determinantul: ∣xy1121351∣=0\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 1 \end{vmatrix} = 0. Calculăm: x⋅(2⋅1−1⋅5)−y⋅(1⋅1−1⋅3)+1⋅(1⋅5−2⋅3)=x⋅(2−5)−y⋅(1−3)+(5−6)=−3x+2y−1=0x \cdot (2 \cdot 1 - 1 \cdot 5) - y \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot 3) + 1 \cdot (1 \cdot 5 - 2 \cdot 3) = x \cdot (2 - 5) - y \cdot (1 - 3) + (5 - 6) = -3x + 2y - 1 = 0. Deci, ecuația dreptei este −3x+2y−1=0-3x + 2y - 1 = 0 sau 3x−2y+1=03x - 2y + 1 = 0. Pentru a verifica dacă C(4,1)C(4,1) aparține dreptei, înlocuim: 3⋅4−2⋅1+1=12−2+1=11≠03 \cdot 4 - 2 \cdot 1 + 1 = 12 - 2 + 1 = 11 \neq 0, deci punctul CC nu aparține dreptei ABAB.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6DeterminanțiGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,2)A(1,2), B(3,4)B(3,4), C(5,k)C(5,k) în planul cartezian. Exprimați aria triunghiului ABCABC folosind un determinant și determinați toate valorile reale ale lui kk pentru care această arie este egală cu 1010. Discutați apoi cazul în care punctele sunt coliniare.
Ușor#7DeterminanțiMatriciAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie matricea A=(x111x111x)A = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix}. Determinați valorile reale ale lui xx pentru care determinantul matricei AA este egal cu 0.
Ușor#8DeterminanțiGeometrie AnaliticăArii și volume
Considerăm punctele A(1,2)A(1,2), B(4,6)B(4,6), C(7,4)C(7,4) în planul cartezian. Calculați aria triunghiului ABCABC folosind determinantul și verificați dacă punctele sunt coliniare.
Ușor#9DeterminanțiPolinoameAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(X)=∣X102X201X∣P(X) = \begin{vmatrix} X & 1 & 0 \\ 2 & X & 2 \\ 0 & 1 & X \end{vmatrix}. a) Determinați P(X)P(X). b) Aflați rădăcinile polinomului P(X)P(X).
Ușor#10DeterminanțiGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,2)A(1,2), B(3,4)B(3,4) și C(5,k)C(5,k) în plan. Utilizați determinantul pentru a calcula aria triunghiului ABCABC și determinați valorile parametrului real kk pentru care aria este egală cu 6.
Ușor#11DeterminanțiProgresii Aritmetice
Fie determinantul D=∣111abca2b2c2∣D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}. Arătați că D=(a−b)(b−c)(c−a)D = (a-b)(b-c)(c-a). Dacă a,b,ca, b, c sunt în progresie aritmetică cu rația rr, exprimați DD în funcție de rr.
Ușor#12DeterminanțiGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
În planul cartezian, se consideră punctele A(1,2)A(1,2), B(4,6)B(4,6) și C(x,y)C(x,y). Folosind formula ariei unui triunghi bazată pe determinant, Aria=12∣det⁡(121461xy1)∣\text{Aria} = \frac{1}{2} \left| \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & 6 & 1 \\ x & y & 1 \end{pmatrix} \right|, determinați ecuația pe care o satisfac coordonatele (x,y)(x,y) astfel încât aria triunghiului ABCABC să fie exact 5 unități pătrate. Apoi, verificați dacă pentru x=7x = 7 și y=10y = 10, punctele AA, BB și CC sunt coliniare.
Ușor#13DeterminanțiMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră matricea A=(a111a111a)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Calculați determinantul lui AA și determinați valorile lui aa pentru care sistemul A⋅(xyz)=(111)A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} are soluție unică. Apoi, pentru a=2a=2, rezolvați sistemul.
Ușor#14DeterminanțiPolinoameIdentități algebrice
Demonstrați că determinantul ∣111xyzx2y2z2∣=(x−y)(y−z)(z−x)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix} = (x-y)(y-z)(z-x) și folosiți această identitate pentru a calcula valoarea determinantului ∣1112344916∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 4 & 9 & 16 \end{vmatrix}.
Ușor#15DeterminanțiMatriciAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Considerăm matricea A=(x111x111x)A = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix}. Determinați valorile reale ale lui xx pentru care determinantul matricei AA este nul.

Și alte 34 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Accesează toate cele 49 probleme de Determinanți cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.