Probleme de nivel mediu de Domeniul de definiție al funcțiilor

Clasa a 10-a • 114 probleme de nivel mediu

Ușor (99)Toate
Mediu#1Domeniul de definiție al funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x−x+1y = \sqrt{x - \sqrt{x + 1}}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
13 puncte
Impuneți existența radicalului interior: x+1≥0⇒x≥−1x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1.
27 puncte
Impuneți x−x+1≥0x - \sqrt{x+1} \ge 0. Punând t=x+1≥0t = \sqrt{x+1} \ge 0 avem t2−1−t≥0t^2 - 1 - t \ge 0, adică t2−t−1≥0t^2 - t - 1 \ge 0. Rezolvați inegalitatea: t≥1+52t \ge \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}. De aici x=t2−1≥1+52x = t^2 - 1 \ge \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}, deci D=[1+52, ∞)D = \left[\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2},\,\infty\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Domeniul de definiție al funcțiilorEcuații iraționale
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x−1+6−xy = \sqrt{x - 1 + \sqrt{6 - x}}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
13 puncte
Impuneți existența radicalului interior: 6−x≥0⇒x≤66 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 6.
27 puncte
Impuneți x−1+6−x≥0x - 1 + \sqrt{6 - x} \ge 0. Dacă x≥1x \ge 1 atunci termenul este automat nenegativ (deoarece 6−x≥0\sqrt{6-x}\ge 0), deci toate x∈[1,6]x\in[1,6] sunt permise. Dacă x<1x<1, atunci puneți 6−x≥1−x\sqrt{6-x} \ge 1 - x şi pătrând obţineţi 6−x≥(1−x)26 - x \ge (1 - x)^2, adică x2−x−5≤0x^2 - x - 5 \le 0. Aceasta dă x∈[1−212,1+212]x\in\left[\dfrac{1-\sqrt{21}}{2},\dfrac{1+\sqrt{21}}{2}\right]; intersectat cu x<1x<1 rezultă x∈[1−212,1)x\in\left[\dfrac{1-\sqrt{21}}{2},1\right). Reuniunea cu [1,6][1,6] dă D=[1−212, 6]D = \left[\dfrac{1-\sqrt{21}}{2},\,6\right].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Domeniul de definiție al funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați domeniul de definiție al funcției f(x)=2−x+1+xf(x)=\sqrt{2 - x + \sqrt{1 + x}}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Impunem condiția pentru radicalul interior: 1+x≥0⇒x≥−11+x\ge 0\Rightarrow x\ge -1.
26 puncte
Pentru x≥−1x\ge-1 trebuie 2−x+1+x≥02-x+\sqrt{1+x}\ge0, echivalent cu 1+x≥x−2\sqrt{1+x}\ge x-2. Dacă x≤2x\le2 atunci x−2≤0x-2\le0 și condiția este automat îndeplinită, deci toți x∈[−1,2]x\in[-1,2] sunt valizi. Pentru x>2x>2 ridicăm la pătrat: 1+x≥(x−2)2⇒x2−5x+3≤01+x\ge(x-2)^2\Rightarrow x^2-5x+3\le0, de unde x∈[5−132,5+132]x\in\left[\dfrac{5-\sqrt{13}}{2},\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}\right]. Intersectând cu x>2x>2 rezultă x∈(2,5+132]x\in\left(2,\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}\right]. Concluzie: domeniul este [−1,5+132]\left[-1,\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}\right].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Domeniul de definiție al funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați domeniul de definiție al funcției y=5−x−6xy=\sqrt{5 - x - \dfrac{6}{x}}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Impunem existența expresiei: x≠0x\neq0 și 5−x−6x≥05 - x - \dfrac{6}{x} \ge 0.
23 puncte
Studiem inegalitatea pe două cazuri: pentru x>0x>0 se obține x2−5x+6≤0⇒x∈[2,3]x^2 -5x +6 \le 0\Rightarrow x\in[2,3]; pentru x<0x<0 (inversăm semnul la multiplicare) se obține condiția îndeplinită pentru orice x<0x<0.
33 puncte
Combinând cu x≠0x\neq0 rezultă domeniul (−∞,0)∪[2,3](-\infty,0)\cup[2,3].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Domeniul de definiție al funcțiilorEcuații iraționaleAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați domeniul de definiție al funcției f(x)=x2−x−20+6−xf(x)=\sqrt{x^2 - x - 20 + \sqrt{6 - x}}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Impunem existența radicalului interior: 6−x≥0⇒x≤66 - x \ge 0\Rightarrow x\le6.
25 puncte
Impunem expresia sub radicalul exterior nenegativă: x2−x−20+6−x≥0x^2 - x -20 + \sqrt{6 - x} \ge 0. Notăm g(x)=x2−x−20+6−xg(x)=x^2 - x -20 + \sqrt{6 - x} și rezolvăm numeric ecuația g(x)=0g(x)=0 pe domeniul (−∞,6](-\infty,6]; găsim două rădăcini aproximative x1≈−3.642x_1\approx-3.642 și x2≈4.881x_2\approx4.881, iar semnul lui gg indică că g(x)≥0g(x)\ge0 pentru x≤x1x\le x_1 și pentru x≥x2x\ge x_2 (peste intervalul intermediar g(x)<0g(x)<0).
32 puncte
Reuniți condițiile: domeniul este (−∞, x1]∪[x2, 6](-\infty,\,x_1]\cup[x_2,\,6] cu valorile aproximative x1≈−3.642x_1\approx-3.642 și x2≈4.881x_2\approx4.881.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Domeniul de definiție al funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x2−7x+12x2−2x−3y = \sqrt{\dfrac{x^2 - 7x + 12}{x^2 - 2x - 3}}.
Mediu#7Domeniul de definiție al funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x2−5x+6x2+6x+8y = \sqrt{\dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^2 + 6x + 8}}.
Mediu#8Domeniul de definiție al funcțiilorEcuații iraționaleAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x−x2+3x−x2−2y=\sqrt{x - x^2 + \sqrt{3x - x^2 - 2}}.
Mediu#9Domeniul de definiție al funcțiilorDerivatePolinoame
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x4−3x2+x+7x4−2x2+1−1y=\sqrt{\dfrac{x^4 - 3x^2 + x + 7}{x^4 - 2x^2 + 1}}-1.
Mediu#10Domeniul de definiție al funcțiilorTrigonometrie
Determinați domeniul de definiție al funcției f(x)=1sin⁡4x+cos⁡4xf(x)=\dfrac{1}{\sin^4 x + \cos^4 x}.
Mediu#11Domeniul de definiție al funcțiilorTrigonometrie
Determinați domeniul de definiție al funcției f(x)=(sin⁡x+cos⁡x)2−1f(x)=\sqrt{(\sin x+\cos x)^2-1}.
Mediu#12Domeniul de definiție al funcțiilorTrigonometrieFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=cos⁡x−126+35x−6x2y=\dfrac{\sqrt{\cos x-\tfrac{1}{2}}}{\sqrt{6+35x-6x^2}}.
Mediu#13Domeniul de definiție al funcțiilorLogaritmiTrigonometrie
Determinați domeniul de definiție al funcției y=log⁡3(x2+1)sin⁡2x−sin⁡x+0.25y=\dfrac{\log_3(x^2+1)}{\sin^2 x-\sin x+0.25}.
Mediu#14Domeniul de definiție al funcțiilorLogaritmi
Determinați domeniul de definiție al funcției f(x)=3⋅log⁡64x−132x−113f(x) = \frac{\sqrt[3]{3\cdot\log_{64}{x}-1}}{\sqrt[3]{2x-11}}.
Mediu#15Domeniul de definiție al funcțiilorLogaritmiDerivate
Determinați domeniul de definiție al funcției y = 1−x+ln⁡(x+1)\sqrt{1 - x + \ln(x + 1)}.

Și alte 99 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Domeniul de definiție al funcțiilor cu AI

Accesează toate cele 114 probleme de Domeniul de definiție al funcțiilor cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.