Probleme grele de Ecuații exponentiale

Clasa a 10-a • 3 probleme de nivel greu

Ușor (104)Mediu (105)Toate
Greu#1Ecuații exponentialeDomeniul de definiție al funcțiilorStudiul funcțiilor
Rezolvați ecuația: ((275)x4−x3)x4+x3=374\left(\left(\sqrt[5]{27}\right)^{\tfrac{x}{4}} - \sqrt{\tfrac{x}{3}}\right)^{\tfrac{x}{4}} + \sqrt{\tfrac{x}{3}} = \sqrt[4]{3^{7}}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniul: trebuie x≥0x\ge0 şi baza expresiei puterii (275)x/4−x/3>0\left(\sqrt[5]{27}\right)^{x/4}-\sqrt{x/3}>0 dacă exponentul x/4x/4 nu este un întreg cu paritate potrivită; notăm func\c{t}ia F(x)=((275)x4−x3)x4+x3−374F(x)=\left(\left(\sqrt[5]{27}\right)^{\tfrac{x}{4}}-\sqrt{\tfrac{x}{3}}\right)^{\tfrac{x}{4}}+\sqrt{\tfrac{x}{3}}-\sqrt[4]{3^{7}} şi restrângem la x≥0x\ge0 cu condi\c{t}ia ca baza să fie pozitivă.
24 puncte
Observăm că FF este continuă pe intervalele relevante şi, prin calculul numeric al valorilor, există o singură solu\c{t}ie pozitivă; se poate verifica monotonia locală a termenilor implică\c{t}i.
33 puncte
Rezolvare numerică (metoda bisecției sau Newton) conduce la solu\c{t}ia aproximativă x≈8.229x\approx 8.229 (rotunjit la trei zecimale), care verifică condi\c{t}iile de domeniu şi ecua\c{t}ia ini\c{t}ială.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#2Ecuații exponentialeLogaritmiContinuitate
Rezolvați ecuația: ((2x+3)12x)2x−1=4\left((2\sqrt{x}+3)^{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}\right)^{\dfrac{2}{\sqrt{x-1}}} = 4.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observăm că puterile se înmulţesc, deci ecuația echivalentă este (2x+3)1xx−1=4(2\sqrt{x}+3)^{\dfrac{1}{\sqrt{x}\sqrt{x-1}}}=4. Domeniul: x>1x>1. Notăm y=x  (≥1)y=\sqrt{x}\;(\ge1) şi obținem ecuația ln⁡(2y+3)yy2−1=ln⁡4\dfrac{\ln(2y+3)}{y\sqrt{y^{2}-1}}=\ln 4.
24 puncte
Funcția stânga este continuă pe (1,+∞)(1,+\infty) şi, prin calculul semnelor la capetele intervalului, există o singură soluţie; se poate folosi metoda bisecției pentru a o determina numeric. Se găsește rădăcina pentru yy aproximativ y≈1.36y\approx1.36.
33 puncte
Revenind la x=y2x=y^{2} rezultă soluţia aproximativă x≈1.85x\approx1.85 (rotunjit la două zecimale).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#3Ecuații exponentialeEcuații logaritmiceSisteme de Ecuații Neliniare
Rezolvați sistemul: {3log⁡x2=ylog⁡5y,2log⁡y3=xlog⁡7x\begin{cases}3^{\log_x 2}=y^{\log_5 y},\\2^{\log_y 3}=x^{\log_7 x}\end{cases}

Rezolvare completă

3 puncte · 1 pas
13 puncte
Notăm A=ln⁡xA=\ln x, B=ln⁡yB=\ln y. Scriem egalitățile în funcție de A,BA,B folosind log⁡uv=ln⁡vln⁡u\log_u v=\dfrac{\ln v}{\ln u} și formula alog⁡bc=e(ln⁡a)(ln⁡c/ln⁡b)a^{\log_b c}=e^{(\ln a)(\ln c/\ln b)}, obținând sistemul \begin{align*} &\dfrac{\ln2\,\ln3}{A}=\dfrac{B^2}{\ln5},\\ &\dfrac{\ln2\,\ln3}{B}=\dfrac{A^2}{\ln7}. \end{align*}

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Accesează toate cele 3 probleme de Ecuații exponentiale cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.