Probleme ușoare de Ecuații exponentiale

Clasa a 10-a • 104 probleme de nivel ușor

Mediu (105)Greu (3)Toate
Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Stabilirea modelului: P(t)=P0(1+r)tP(t) = P_0 (1 + r)^t, unde P0=50000P_0 = 50000, r=0.02r = 0.02, și tt este numărul de ani după 2020.
24 puncte
Pentru a) calculul P(10)=50000(1.02)10P(10) = 50000 (1.02)^{10}.
33 puncte
Pentru b) rezolvarea inecuației 50000(1.02)t>7000050000 (1.02)^t > 70000 pentru a găsi tt minim și anul corespunzător (2020 + t).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Scriem ecuația bazată pe date: 2000=500e2k2000 = 500 e^{2k}. Rezolvăm pentru kk: e2k=4⇒2k=ln⁡4⇒k=ln⁡42=ln⁡2e^{2k} = 4 \Rightarrow 2k = \ln 4 \Rightarrow k = \frac{\ln 4}{2} = \ln 2.
24 puncte
Folosim kk pentru a găsi tt când P(t)=10000P(t)=10000: 10000=500ekt⇒ekt=20⇒kt=ln⁡20⇒t=ln⁡20k=ln⁡20ln⁡210000 = 500 e^{kt} \Rightarrow e^{kt} = 20 \Rightarrow kt = \ln 20 \Rightarrow t = \frac{\ln 20}{k} = \frac{\ln 20}{\ln 2}.
32 puncte
Simplificăm t=log⁡220t = \log_2 20 și interpretăm rezultatul în contextul creșterii exponențiale, menționând că timpul este aproximativ 4,32 ore.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Exprimați toate bazele ca puteri ale lui 22: 4=224=2^2, 8=238=2^3, 64=2664=2^6. Calculați stânga: 2x−1⋅(22)x+1=23x+12^{x-1}\cdot(2^2)^{x+1}=2^{3x+1} şi 8x−1=(23)x−1=23x−38^{x-1}=(2^3)^{x-1}=2^{3x-3}, deci raportul este 2(3x+1)−(3x−3)=24=162^{(3x+1)-(3x-3)}=2^4=16.\n
26 puncte
Concluzionați că ecuația devine 16=6416=64, contradicție, deci nu există nicio soluție.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Scrieți ca puteri ale lui 55: 0.2=5−10.2=5^{-1}, 0.04=5−20.04=5^{-2}, 5=51/2\sqrt{5}=5^{1/2}, 25=5225=5^2. Astfel stânga devine 5−x−15^{-x-1} şi dreapta 5−2x−25^{-2x-2}, deci 5−x−1=5−2x−25^{-x-1}=5^{-2x-2}.\n
26 puncte
Egalând exponenții obțineți −x−1=−2x−2⇒x=−1-x-1=-2x-2\Rightarrow x=-1. Verificați că soluția satisface ecuația inițială.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 93x−1=38x−29^{3x-1} = 3^{8x-2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Scrieți 9=(3)29=(3)^2, astfel 93x−1=32(3x−1)=36x−29^{3x-1}=3^{2(3x-1)}=3^{6x-2}.\n
26 puncte
Egalând exponenții obțineți 6x−2=8x−2⇒6x=8x⇒x=06x-2=8x-2\Rightarrow 6x=8x\Rightarrow x=0. Verificați explicit înlocuirea în ecuația inițială.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6Ecuații exponentialeLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația: 23log⁡2x=1642^{\frac{3}{\log_2 x}} = \frac{1}{64}.
Ușor#7Ecuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația: 42x−5⋅4x+4=04^{2x} - 5\cdot 4^{x} + 4 = 0.
Ușor#8Ecuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația: 5x−24=255x5^{x} - 24 = \dfrac{25}{5^{x}}.
Ușor#9Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația: 4x−10⋅2x−1=244^{x} - 10\cdot 2^{x-1} = 24.
Ușor#10Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 4x2+2−0⋅2x2+2+8=04^{x^{2}+2} - 0\cdot 2^{x^{2}+2} + 8 = 0.
Ușor#11Ecuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7x+2−17⋅7x+1−14⋅7x−1+2⋅7x=487^{x+2} - \frac{1}{7}\cdot 7^{x+1} - 14\cdot 7^{x-1} + 2\cdot 7^x = 48.
Ușor#12Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 32x−3−9x−1+272x3=6753^{2x-3} - 9^{x-1} + 27^{\tfrac{2x}{3}} = 675.
Ușor#13Ecuații exponentialeLogaritmi
Rezolvați ecuația: 52x−7x−52x⋅35+7x⋅35=05^{2x} - 7^x - 5^{2x}\cdot 35 + 7^x\cdot 35 = 0.
Ușor#14Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 5x−1=10x⋅2−x⋅5x+15^{x-1} = 10^x\cdot 2^{-x}\cdot 5^{x+1}.
Ușor#15Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x+1⋅5x=2002^{x+1}\cdot 5^x = 200.

Și alte 89 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Accesează toate cele 104 probleme de Ecuații exponentiale cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.