Probleme de nivel mediu de Ecuații exponentiale

Clasa a 10-a • 105 probleme de nivel mediu

Ușor (104)Greu (3)Toate
Mediu#1Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația: (53)x+1⋅(925)x2+2x−11=(53)9\left(\frac{5}{3}\right)^{x+1}\cdot\left(\frac{9}{25}\right)^{x^2+2x-11} = \left(\frac{5}{3}\right)^9.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați că 925=(35)2=(53)−2\frac{9}{25}=\left(\frac{3}{5}\right)^2=\left(\frac{5}{3}\right)^{-2}. Înlocuind, produsul devine (53)x+1−2(x2+2x−11)\left(\frac{5}{3}\right)^{x+1-2(x^2+2x-11)}.\n
23 puncte
Egalând exponenții aveți x+1−2(x2+2x−11)=9x+1-2(x^2+2x-11)=9, adică −2x2−3x+23=9⇒2x2+3x−14=0-2x^2-3x+23=9\Rightarrow 2x^2+3x-14=0.\n
34 puncte
Rezolvați 2x2+3x−14=02x^2+3x-14=0. Discriminant Δ=121\Delta=121, deci x=−3±114x=\frac{-3\pm11}{4}, adică x=2x=2 sau x=−72x=-\tfrac{7}{2}. Verificați compatibilitatea cu baza 53>0\frac{5}{3}>0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Ecuații exponentialeFuncția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația: 4x−x2−5−12⋅2x−1−x2−5+8=04^{x-\sqrt{x^2-5}} - 12\cdot 2^{x-1-\sqrt{x^2-5}} + 8 = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați substituția y=2x−x2−5y=2^{x-\sqrt{x^2-5}}. Atunci 4x−x2−5=y24^{x-\sqrt{x^2-5}}=y^2 și 2x−1−x2−5=y22^{x-1-\sqrt{x^2-5}}=\dfrac{y}{2}, deci se obține ecuația în yy: y2−6y+8=0y^2-6y+8=0.
25 puncte
Rezolvați ecuația cuadratică: y2−6y+8=0  ⟺  (y−2)(y−4)=0y^2-6y+8=0\iff (y-2)(y-4)=0, deci y∈{2,4}y\in\{2,4\}.
32 puncte
Revenind la xx: pentru y=2y=2 avem 2x−x2−5=2⇒x−x2−5=1⇒x=32^{x-\sqrt{x^2-5}}=2\Rightarrow x-\sqrt{x^2-5}=1\Rightarrow x=3 (verificat, dominul acceptă), pentru y=4y=4 avem x−x2−5=2⇒x=94x-\sqrt{x^2-5}=2\Rightarrow x=\dfrac{9}{4}. Soluții: x=3,  x=94x=3,\;x=\dfrac{9}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Ecuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația: 64⋅9x−84⋅12x+27⋅16x=064\cdot 9^x - 84\cdot 12^x + 27\cdot 16^x = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați expresiile ca puteri: notați a=3xa=3^x, b=4xb=4^x. Atunci 9x=a29^x=a^2, 12x=ab12^x=ab, 16x=b216^x=b^2. Ecuația devine 64a2−84ab+27b2=064a^2-84ab+27b^2=0.
25 puncte
Împărțiți prin b2b^2 (notând t=ab=(34)xt=\dfrac{a}{b}=(\tfrac{3}{4})^x) obţineți ecuația 64t2−84t+27=064t^2-84t+27=0. Calculați discriminantul Δ=144\Delta=144, deci t=84±12128∈{34,916}t=\dfrac{84\pm12}{128}\in\{\tfrac{3}{4},\tfrac{9}{16}\}.
32 puncte
Din t=(34)xt=(\tfrac{3}{4})^x rezultă (34)x=34⇒x=1(\tfrac{3}{4})^x=\tfrac{3}{4}\Rightarrow x=1 și (34)x=916=(34)2⇒x=2(\tfrac{3}{4})^x=\tfrac{9}{16}= (\tfrac{3}{4})^2\Rightarrow x=2. Soluții: x=1,  x=2x=1,\;x=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Rezolvați ecuația: 4⋅22x−6x=18⋅32x4\cdot 2^{2x} - 6^x = 18\cdot 32^x.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Rescrieți puterile: 22x=(2x)22^{2x}=(2^x)^2, 6x=(2⋅3)x6^x=(2\cdot 3)^x, 32x=25x32^x=2^{5x}. Puteți scrie ecuația ca funcție f(x)=4 22x−6x−18 32xf(x)=4\,2^{2x}-6^x-18\,32^x și observați că există o singură soluție reală deoarece comportamentul la \pm\infty schimbă semnul.
25 puncte
Determinați soluția numeric prin metoda bisecției (sau altă metodă numerică). Observați schimbările de semn: f(−1)>0f(-1)>0, f(0)<0f(0)<0, deci există un unic rădăcină în (−1,0)(-1,0). Aplicând bisection sau Newton se obține aproximativ x≈−0.819x\approx -0.819 (rotunjit la trei zecimale).
32 puncte
Verificați aproximativ substituind x≈−0.819x\approx-0.819 în ecuație; valorile stânga-dreapta sunt egale în aproximație, deci soluția numerică este x≈−0.819x\approx -0.819.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Ecuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 3⋅52x−1−2⋅5x−1=0.23\cdot 5^{2x-1} - 2\cdot 5^{x-1} = 0.2.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Se face substituția t=5x−1>0t=5^{x-1}>0. Observăm că 52x−1=5⋅(5x−1)2=5t25^{2x-1}=5\cdot(5^{x-1})^2=5t^2. Ecuația devine 3⋅5t2−2t=0.2=5−13\cdot 5t^2-2t=0.2=5^{-1}, adică 15t2−2t−5−1=015t^2-2t-5^{-1}=0.
26 puncte
Se multiplică cu 5: 75t2−10t−1=075t^2-10t-1=0. Calculăm discriminantul Δ=(−10)2−4⋅75⋅(−1)=100+300=400\Delta=(-10)^2-4\cdot75\cdot(-1)=100+300=400, Δ=20\sqrt{\Delta}=20. Rezultă t=10±20150t=\frac{10\pm20}{150}, deci t=15t=\frac{1}{5} sau t=−115t=-\frac{1}{15}. Se păstrează doar t=15t=\frac{1}{5} deoarece t>0t>0. Din 5x−1=5−15^{x-1}=5^{-1} rezultă x−1=−1⇒x=0x-1=-1\Rightarrow x=0. Se verifică soluția.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Ecuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația: 22x+1−33⋅2x−1+4=02^{2x+1} - 33\cdot 2^{x-1} + 4 = 0.
Mediu#7Ecuații exponentialeLogaritmi
Rezolvați ecuația: 4−1/x+6−1/x=9−1/x4^{-1/x} + 6^{-1/x} = 9^{-1/x}.
Mediu#8Ecuații exponentialeContinuitateStudiul funcțiilor
Rezolvați ecuația: 4x−3x−1/2=3x+1/2−2x−14^{x} - 3^{x-1/2} = 3^{x+1/2} - 2^{x-1}.
Mediu#9Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația: 3⋅16x+2⋅81x=5⋅36x3\cdot 16^{x} + 2\cdot 81^{x} = 5\cdot 36^{x}.
Mediu#10Ecuații exponentialeLogaritmiFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația: 641/x−23+3/x+12=064^{1/x} - 2^{3 + 3/x} + 12 = 0.
Mediu#11Ecuații exponentialeLogaritmi
Rezolvați ecuația: 9x−2x+0.5=2x+3.5−3⋅2x−19^{x} - 2^{x+0.5} = 2^{x+3.5} - 3\cdot 2^{x-1}.
Mediu#12Ecuații exponentialeEcuații logaritmiceFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația: (3x2−7.2x+3.9−93)⋅log⁡(7−x)=0(3^{x^{2}-7.2x+3.9}-9\sqrt{3})\cdot\log(7-x)=0
Mediu#13Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 312x−1−96x−1−274x−1+813x+1=21923^{12x-1}-9^{6x-1}-27^{4x-1}+81^{3x+1}=2192
Mediu#14Ecuații exponentialeMonotonie și convexitateDerivate
Rezolvați ecuația: 52x=32x+2⋅5x+2⋅3x5^{2x}=3^{2x}+2\cdot5^{x}+2\cdot3^{x}
Mediu#15Ecuații exponentialeTrigonometrie
Rezolvați ecuația: x5sin⁡(3x)+2=1xx^{5\sin(3x)+2}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}

Și alte 90 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Accesează toate cele 105 probleme de Ecuații exponentiale cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.