Probleme grele de Ecuații logaritmice

Clasa a 10-a • 5 probleme de nivel greu

Ușor (78)Mediu (182)Toate
Greu#1Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația (x−2)[log⁡2(x−2)+log⁡((x−2)5)−12]=102⋅log⁡(x−2)(x-2)^{\left[\log^2(x-2)+\log\left((x-2)^5\right)-12\right]}=10^2\cdot\log(x-2).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Domeniul: pentru expresia de pe dreapta pozitivă şi pentru a avea valoare pozitivă a lui log⁡(x−2)\log(x-2) este necesar x−2>1x-2>1, deci x>3x>3.
23 puncte
Puneți t=log⁡(x−2)t=\log(x-2) cu baza 10; atunci x−2=10tx-2=10^{t} şi ecuația devine 10t3+5t2−12t=100 t10^{t^3+5t^2-12t}=100\,t.
35 puncte
Luați logaritm zecimal şi rezolvați numeric ecuația t3+5t2−12t=2+log⁡tt^3+5t^2-12t=2+\log t pentru t>0t>0. Prin metode numerice obţineți t≈1.909t\approx 1.909, deci x−2=10t≈101.909≈81.2x-2=10^{t}\approx 10^{1.909}\approx 81.2 şi x≈83.2x\approx 83.2; verificați că soluția respectă domeniul și ecuația inițială.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația: log⁡(x+1+1)log⁡(x3−40)=3\dfrac{\log(\sqrt{x+1}+1)}{\log(\sqrt[3]{x}-40)}=3

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Domeniul: argumentele logaritmilor >0 şi log din numitor ≠0. Astfel x+1+1>0⇒x≥−1\sqrt{x+1}+1>0\Rightarrow x\ge-1, iar x3−40>0⇒x3>40⇒x>403=64000\sqrt[3]{x}-40>0\Rightarrow\sqrt[3]{x}>40\Rightarrow x>40^{3}=64000, şi x3≠41⇒x≠413=68921\sqrt[3]{x}\neq41\Rightarrow x\neq41^{3}=68921. Împreună: x>64000x>64000, x≠68921x\neq68921.\n
22 puncte
Folosim identitatea log⁡Alog⁡B=3  ⟺  A=B3\dfrac{\log A}{\log B}=3\iff A=B^{3} (pentru argumente pozitive, baza comună a logaritmilor). Obţinem x+1+1=(x3−40)3\sqrt{x+1}+1=(\sqrt[3]{x}-40)^{3}.\n
32 puncte
Notăm t=x3−40>0t=\sqrt[3]{x}-40>0, deci (t+40)3+1=t3−1\sqrt{(t+40)^{3}+1}=t^{3}-1. Pătrând se obţine polinomul t6−3t3−120t2−4800t−64000=0.t^{6}-3t^{3}-120t^{2}-4800t-64000=0.\n
43 puncte
Se analizează numeric şi se găseşte o soluţie reală pozitivă t≈6.8522t\approx6.8522, ceea ce dă x3=t+40≈46.8522\sqrt[3]{x}=t+40\approx46.8522 şi x=(t+40)3≈102843x=(t+40)^{3}\approx102843. Verificarea aproximativă în ecuația inițială confirmă soluţia numerică x≈102843x\approx102843 (cu precizie reglabilă numeric).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#3Ecuații logaritmiceLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația: (log⁡2(4−x))2+log⁡(4−x)⋅log⁡(x+12)=2log⁡2(x+12)\bigl(\log_2(4-x)\bigr)^2 + \log(4-x)\cdot\log\bigl(x+\tfrac{1}{2}\bigr) = 2\log_2\bigl(x+\tfrac{1}{2}\bigr).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul: 4−x>04-x>0 şi x+12>0x+\tfrac12>0, deci −12<x<4-\tfrac12<x<4. Se interpretează toate logaritmii ca bază 22 (corectare pentru coerenţă).
22 puncte
Notăm u=log⁡2(4−x)u=\log_2(4-x), v=log⁡2(x+12)v=\log_2\bigl(x+\tfrac12\bigr); ecuaţia devine u2+uv−2v=0u^2+uv-2v=0.
33 puncte
Din ecuaţie (pentru u≠2u\neq2) obţinem v=−u2u−2v=-\dfrac{u^2}{u-2} şi legătura dintre uu şi vv prin relaţiile 2u=4−x2^u=4-x, 2v=x+122^v=x+\tfrac12, adică 2u+2v=922^u+2^v=\tfrac92. Reducem la o ecuaţie care trebuie rezolvată numeric.
43 puncte
Rezolvare numerică şi verificare: se obţin aproximativ două soluţii în intervalul de definiţie, x≈1.8905x\approx1.8905 şi x≈3.907x\approx3.907, care verifică ecuaţia şi restricţiile de definiţie.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#4Ecuații logaritmiceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați inegalitatea log⁡a(1−8a−x)ge2(1−x),a∈R\log_a(1 - 8 a^{-x}) \\ge 2(1 - x),\quad a \in \mathbb{R}.

Rezolvare completă

4 puncte · 4 pași
12 puncte
Observăm restricțiile pentru baza logaritmului: trebuie a>0a>0, a≠1a\neq 1, iar argumentul logaritmului pozitiv: 1−8a−x>01-8a^{-x}>0. Vom considera cazurile a>1a>1 si 0<a<10<a<1.
22 puncte
Notăm y=a−x>0y=a^{-x}>0. Atunci condiția argumentului este y<1/8y<1/8, iar termenul din dreapta devine a2(1−x)=a2y2a^{2(1-x)}=a^{2}y^{2}. Inegalitatea devine, pentru a>1a>1 (log crescător): 1−8ygea2y21-8y \\ge a^{2}y^{2}; pentru 0<a<10<a<1 (log descrescător) se inversează semnul: 1−8ylea2y21-8y \\le a^{2}y^{2}. step 3, 3 puncte (caz a>1a>1): Rearanjăm a2y2+8y−1le0a^{2}y^{2}+8y-1 \\le 0. Discriminantul este Delta=64+4a2=4(16+a2)\\Delta=64+4a^{2}=4(16+a^{2}), iar singura soluție pozitivă pentru intervalul dintre rădăcini este 0<yley20<y\\le y_2, unde y2=dfrac−4+16+a2a2y_2=\\dfrac{-4+\sqrt{16+a^{2}}}{a^{2}}. Trebuie în plus y<1/8y<1/8, deci pentru a>1a>1 avem a−x∈(0,min(y2,1/8))a^{-x} \in(0,\\min(y_2,1/8)). Echivalent pentru xx: x>log⁡a8x>\log_a 8 si xge−log⁡ay2x \\ge -\log_a y_2 (dependență de relația dintre y2y_2 si 1/81/8). step 4, 3 puncte (caz 0<a<10<a<1): Rearanjăm a2y2−8y+1ge0a^{2}y^{2}-8y+1 \\ge 0. Discriminantul este Delta=64−4a2=4(16−a2)\\Delta=64-4a^{2}=4(16-a^{2}) (pozitiv pentru a<4a<4). Rădăcinile pozitive sunt y1,2=dfrac4±16−a2a2y_{1,2}=\\dfrac{4\pm\sqrt{16-a^{2}}}{a^{2}}; inegalitatea se satisface pentru 0<yley10<y\\le y_1 sau ygey2y\\ge y_2, dar reamintim condiția suplimentară y<1/8y<1/8. Astfel pentru 0<a<10<a<1 soluția se obșine din intersecția cu y<1/8y<1/8 si se transpună inapoi: x=−log⁡ayx=-\log_a y. Concluzie: solutia se exprimă parametrizată astfel: pentru a>1a>1 avem xx cu a−x∈(0,min(y2,1/8))a^{-x}\in(0,\\min(y_2,1/8)), iar pentru 0<a<10<a<1 avem xx cu a−xa^{-x} din intervalele determinate mai sus (unde y1,2y_{1,2} sunt ca mai sus). (Se precizează că a≤0a\le 0 sau a=1a=1 nu sunt admise ca baze ale logaritmului.)

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#5Ecuații logaritmiceTrigonometrieDomeniul de definiție al funcțiilor
Găsiți toate rădăcinile ecuației sin⁡xtan⁡2x+3 (sin⁡x−3tan⁡2x)=3\sin x\tan 2x + \sqrt{3}\, (\sin x - \sqrt{3}\tan 2x) = \sqrt{3} care satisfac inegalitatea 2+log⁡1/2x≤02 + \log_{1/2} x \le 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Domeniul: pentru log⁡1/2x\log_{1/2}x avem x>0x>0; din inegalitate 2+log⁡1/2x≤02+\log_{1/2}x\le0 rezultă log⁡1/2x≤−2\log_{1/2}x\le-2, iar deoarece baza 12∈(0,1)\tfrac12\in(0,1) funcția logaritm scade, obţinem x≥4x\ge4. Deci căutăm soluții cu x∈[4,∞)x\in[4,\infty).
23 puncte
Rescrieți ecuația: sin⁡xtan⁡2x+3sin⁡x−3tan⁡2x=3\sin x\tan 2x + \sqrt{3}\sin x -3\tan 2x=\sqrt{3}. Grupând termenii cu tan⁡2x\tan 2x se obține (sin⁡x−3)tan⁡2x=3(1−sin⁡x)(\sin x-3)\tan 2x=\sqrt{3}(1-\sin x).
34 puncte
Analiza cazurilor: (a) Dacă sin⁡x=1\sin x=1 atunci ecuația inițială devine −2tan⁡2x=0-2\tan 2x=0, deci tan⁡2x=0\tan 2x=0, ceea ce este adevărat pentru x=π2+2kπx=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi. Din condiția x≥4x\ge4 reținăm valorile cu π2+2kπ≥4\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\ge4. (b) Dacă sin⁡x≠1\sin x\ne1 se poate scrie tan⁡2x=−31−sin⁡x3−sin⁡x\tan 2x=-\sqrt{3}\dfrac{1-\sin x}{3-\sin x}. Orice soluție trebuie să satisfacă această relație și x≥4x\ge4, precum și cos⁡2x≠0\cos 2x\ne0 (pentru definiția lui tan⁡2x\tan 2x). step 4, 0 puncte (observație): Ecuația rezultantă este transcedentală; soluțiile explicite finite se obțin numeric. Concluzie: mulțimea soluțiilor este reuniunea soluțiilor explicite {x=π2+2kπ∣k∈Z,  π2+2kπ≥4}\{x=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\mid k\in\mathbb{Z},\;\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\ge4\} și a tuturor valorilor x≥4x\ge4 (cu cos⁡2x≠0\cos 2x\ne0) care satisfac tan⁡2x=−31−sin⁡x3−sin⁡x\tan 2x=-\sqrt{3}\dfrac{1-\sin x}{3-\sin x} (această ecuație se rezolvă numeric).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Accesează toate cele 5 probleme de Ecuații logaritmice cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.