Probleme de nivel mediu de Ecuații logaritmice

Clasa a 10-a • 182 probleme de nivel mediu

Ușor (78)Greu (5)Toate
Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm y=log⁡2xy = \log_2 x. Pentru radicali avem nevoie de y≥0y \ge 0, deci x≥1x \ge 1. Ecuația devine y+y3=2.\sqrt{y} + \sqrt[3]{y} = 2.\n
24 puncte
Notăm a=y⇒y=a2a = \sqrt{y} \Rightarrow y = a^2 și y3=a23=a2/3\sqrt[3]{y} = \sqrt[3]{a^2} = a^{2/3}. Punem t=a1/3>0t = a^{1/3} > 0, astfel a=t3a = t^3 și ecuația se rescrie t3+t2=2.t^3 + t^2 = 2. Aceasta este echivalentă cu t3+t2−2=0t^3 + t^2 - 2 = 0, adică (t−1)(t2+2t+2)=0.(t - 1)(t^2 + 2t + 2) = 0. Deoarece t2+2t+2>0t^2 + 2t + 2 > 0 pentru orice tt, obținem t=1t = 1, deci a=1a = 1 și y=1y = 1.\n
33 puncte
Din y=log⁡2x=1y = \log_2 x = 1 rezultă x=2x = 2. Această valoare respectă condiția x≥1x \ge 1 și verifică ecuația inițială. Soluția este S={2}S = \{2\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Notând t=log⁡4xt=\log_{4}x şi observaţi 22t−1=4t22^{2t-1}=\dfrac{4^{t}}{2}, 7t−1=7t77^{t-1}=\dfrac{7^{t}}{7};
26 puncte
Reduceţi la ecuaţie în tt: 4t2−7t=7t7−3⋅4t\dfrac{4^{t}}{2}-7^{t}=\dfrac{7^{t}}{7}-3\cdot4^{t}, grupaţi termenii şi simplificaţi: 724t−877t=0\dfrac{7}{2}4^{t}-\dfrac{8}{7}7^{t}=0. După multiplicarea cu 14 se obtine 49⋅4t−16⋅7t=0⇒(7/4)t=(7/4)2⇒t=249\cdot4^{t}-16\cdot7^{t}=0\Rightarrow(7/4)^{t}=(7/4)^{2}\Rightarrow t=2. Concluzie: log⁡4x=2⇒x=16\log_{4}x=2\Rightarrow x=16.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se notează A=7log⁡x−1A=7^{\log x-1} şi B=5log⁡x−1B=5^{\log x-1}. Atunci 7log⁡x=7A7^{\log x}=7A, 5log⁡x+1=25B5^{\log x+1}=25B, 3⋅5log⁡x−1=3B3\cdot5^{\log x-1}=3B, 13⋅7log⁡x−1=13A13\cdot7^{\log x-1}=13A, deci ecuația devine 7A−25B=3B−13A7A-25B=3B-13A. Se trece la aceeași parte: 20A=28B20A=28B.
23 puncte
Scriem raportul AB=2820=75\dfrac{A}{B}=\dfrac{28}{20}=\dfrac{7}{5} şi observăm că AB=(75)log⁡x−1\dfrac{A}{B}=(\dfrac{7}{5})^{\log x-1}. Deci (75)log⁡x−1=75(\dfrac{7}{5})^{\log x-1}=\dfrac{7}{5}, iar baza 75≠1\dfrac{7}{5}\neq1 implică log⁡x−1=1\log x-1=1.
33 puncte
Din log⁡x=2\log x=2 (logaritm în baza 10) rezultă x=102=100x=10^{2}=100.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Interpretați log⁡\log ca logaritm în baza 33 şi folosiți 3log⁡y=y3^{\log y}=y, astfel ecuația devine tan⁡x−2cot⁡x+1=1\tan x -2\cot x +1 =1, deci tan⁡x−2cot⁡x=0\tan x -2\cot x=0.;
23 puncte
Reduceți la o ecuație în tan⁡x\tan x: tan⁡x=2cot⁡x⇒tan⁡2x=2\tan x=2\cot x\Rightarrow \tan^{2}x=2.;
32 puncte
Determinați soluțiile pentru tan⁡x\tan x: tan⁡x=±2\tan x=\pm\sqrt{2}.;
41 punct
Impuneți domeniul de definiție al logaritmilor: argumentele trebuie pozitive, deci tan⁡x>0\tan x>0, se păstrează doar tan⁡x=2\tan x=\sqrt{2}; soluțiile sunt x=arctan⁡(2)+kπx=\arctan(\sqrt{2})+k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 3log⁡2/3x+x⋅log⁡3x=1623^{\log_{2/3} x} + x\cdot\log_{3} x = 162.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniul: x>0x>0. Faceți schimbarea de variabilă t=log⁡3xt=\log_{3} x, astfel x=3tx=3^{t}. Folosind proprietatea alog⁡bc=clog⁡baa^{\log_{b} c}=c^{\log_{b} a} se obține 3log⁡2/3x=xlog⁡2/33=3t⋅log⁡2/333^{\log_{2/3} x}=x^{\log_{2/3}3}=3^{t\cdot\log_{2/3}3}.
24 puncte
Ecuația devine 3tlog⁡3(2/3)+3tt=1623^{\dfrac{t}{\log_{3}(2/3)}} + 3^{t}t =162. Observați că prima componentă este de ordin mult mai mic pentru tt în regiunea de interes, iar funcția stângă este strict crescătoare, deci există o singură soluție reală.
33 puncte
Determinați numeric soluția: din calcul numeric se obține t≈3.494t\approx 3.494 şi atunci x=3t≈46.5x=3^{t}\approx 46.5. Concluzie: soluția aproximativă este x≈46.5x\approx46.5 (o singură soluție reală).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Ecuații logaritmiceEcuații exponentialeLogaritmi
Rezolvați ecuația: 4log⁡x+1−6log⁡x−2⋅3log⁡x2+2=04^{\log x+1} - 6^{\log x} - 2\cdot 3^{\log x^2+2} = 0.
Mediu#7Ecuații logaritmiceEcuații exponentialeDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația: 5log⁡x−3log⁡x−1=3log⁡x+1−5log⁡x−15^{\log x} - 3^{\log x -1} = 3^{\log x +1} - 5^{\log x -1}.
Mediu#8Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: x1−13⋅log⁡x2=11003x^{1-\frac{1}{3}\cdot\log x^{2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{100}}.
Mediu#9Ecuații logaritmiceLogaritmi
Rezolvați ecuația log⁡4(2⋅log⁡3(1+log⁡2(1+3⋅log⁡3x)))=12\log_4\left(2\cdot\log_3\left(1+\log_2\left(1+3\cdot\log_3 x\right)\right)\right)=\frac{1}{2}.
Mediu#10Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația log⁡3(3x−8)=2−x\log_3\left(3^x - 8\right) = 2 - x.
Mediu#11Ecuații logaritmiceDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația log⁡2(9−2x)3−x=1\frac{\log_2\left(9 - 2^x\right)}{3 - x} = 1.
Mediu#12Ecuații logaritmiceDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația log⁡5−x(x2−2x+65)=2\log_{5 - x}(x^2 - 2x + 65) = 2.
Mediu#13Ecuații logaritmiceLogaritmi
Rezolvați ecuația log⁡3(log⁡9x+12+9x)=2x\log_3\big( \log_9 x + \frac{1}{2} + 9^x \big) = 2x.
Mediu#14Ecuații logaritmiceLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația log⁡7(2x−1)+log⁡7(2x−7)=1\log_7(2^x - 1) + \log_7(2^x - 7) = 1.
Mediu#15Ecuații logaritmiceLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația log⁡x−12log⁡(x−12)=log⁡(x+12)−12log⁡(x+18)\log x - \tfrac{1}{2}\log\left(x-\tfrac{1}{2}\right)=\log\left(x+\tfrac{1}{2}\right)-\tfrac{1}{2}\log\left(x+\tfrac{1}{8}\right).

Și alte 167 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Accesează toate cele 182 probleme de Ecuații logaritmice cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.