Probleme ușoare de Ecuații logaritmice

Clasa a 10-a • 78 probleme de nivel ușor

Mediu (182)Greu (5)Toate
Ușor#1Ecuații logaritmiceLogaritmi
Rezolvați ecuația: 2log⁡3x⋅5log⁡3x=4002^{\log_3 x}\cdot 5^{\log_3 x} = 400.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observăm că 2log⁡3x⋅5log⁡3x=(2⋅5)log⁡3x=10log⁡3x2^{\log_3 x}\cdot5^{\log_3 x}=(2\cdot5)^{\log_3 x}=10^{\log_3 x}.
24 puncte
Scriem ecuaţia 10log⁡3x=40010^{\log_3 x}=400 şi luăm logaritm zecimal: log⁡3x=log⁡400\log_3 x=\log 400.
33 puncte
Obţinem x=3log⁡400x=3^{\log 400} (domeniu x>0x>0), soluţie exprimată astfel sau numeric după nevoie.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Ecuații logaritmiceLogaritmi
Rezolvați ecuația log⁡x3=2\log_x 3 = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se trece la forma exponențială: x2=3x^2=3.
24 puncte
Se rezolvă ecuația algebrică obținută: x=±3x=\pm\sqrt{3}.
32 puncte
Se aplică condițiile pentru baza logaritmului (x>0x>0, x≠1x\neq1), se exclude soluția negativă şi se reține x=3x=\sqrt{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Ecuații logaritmiceLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația log⁡3(1+log⁡3(2x−7))=1\log_3\left(1 + \log_3\left(2^x - 7\right)\right) = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se ridică la baza 3: 1+log⁡3(2x−7)=3⇒log⁡3(2x−7)=21+\log_3\left(2^x-7\right)=3\Rightarrow \log_3\left(2^x-7\right)=2.
24 puncte
Se transformă în formă exponențială: 2x−7=32=9⇒2x=16⇒x=42^x-7=3^2=9\Rightarrow 2^x=16\Rightarrow x=4.
33 puncte
Se verifică domeniul: 2x−7>0⇒x>log⁡272^x-7>0\Rightarrow x>\log_2 7, iar x=4x=4 satisface condiția, deci soluția este x=4x=4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Ecuații logaritmiceLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația log⁡3(x+1)+log⁡3(x+3)=1\log_3(x + 1) + \log_3(x + 3) = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Domeniu: trebuie x>−1x>-1 şi x>−3x>-3, deci x>−1x>-1.
24 puncte
Utilizaţi proprietatea sumei logaritmilor: log⁡3((x+1)(x+3))=1\log_3\big((x+1)(x+3)\big)=1, deci (x+1)(x+3)=3(x+1)(x+3)=3.
34 puncte
Rezolvaţi ecuaţia: x2+4x+3=3⇒x2+4x=0⇒x(x+4)=0x^2+4x+3=3\Rightarrow x^2+4x=0\Rightarrow x(x+4)=0. Rădăcinile sunt x=0x=0 şi x=−4x=-4, dar din domeniu rămâne doar x=0x=0. Soluţia: x=0x=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Ecuații logaritmiceLogaritmiFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația log⁡5+log⁡(x+10)−1=log⁡(21x−20)−log⁡(2x−1)\log 5 + \log(x + 10) - 1 = \log(21x - 20) - \log(2x - 1).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Rescrieţi termenul −1-1 ca −log⁡10-\log 10 şi combinaţi logaritmii: log⁡5(x+10)10=log⁡21x−202x−1\log\dfrac{5(x+10)}{10}=\log\dfrac{21x-20}{2x-1}. Simplificaţi stânga: log⁡x+102=log⁡21x−202x−1\log\dfrac{x+10}{2}=\log\dfrac{21x-20}{2x-1}.
24 puncte
Egalând argumentele obţineţi ecuaţia raţională (x+10)(2x−1)=2(21x−20)(x+10)(2x-1)=2(21x-20), care reduce la 2x2−23x+30=02x^2-23x+30=0. Calculaţi discriminantul Δ=289\Delta=289 şi rădăcinile x=10x=10 şi x=32x=\tfrac{3}{2}.
33 puncte
Verificaţi condiţiile de existenţă: x+10>0x+10>0, 21x−20>0⇒x>202121x-20>0\Rightarrow x>\tfrac{20}{21} şi 2x−1>0⇒x>122x-1>0\Rightarrow x>\tfrac{1}{2}. Ambele soluţii satisfac condiţiile, deci soluţiile sunt x=10x=10 şi x=32x=\tfrac{3}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6Ecuații logaritmiceLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația 1−log⁡5=13(log⁡12+log⁡x+13log⁡5)1 - \log 5 = \frac{1}{3}\left(\log\frac{1}{2} + \log x + \frac{1}{3}\log 5\right).
Ușor#7Ecuații logaritmiceFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația: (log⁡x)2−3log⁡x=log⁡(x2)−4(\log x)^2 - 3\log x = \log(x^2) - 4.
Ușor#8Ecuații logaritmice
Rezolvați ecuația: 2(log⁡x5)2−3log⁡x5+1=02(\log_x\sqrt{5})^2 - 3\log_x\sqrt{5} + 1 = 0.
Ușor#9Ecuații logaritmiceLogaritmiFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația: (log⁡2x)2+2log⁡2x−2=0(\log_2 x)^2 + 2\log_2\sqrt{x} - 2 = 0.
Ușor#10Ecuații logaritmiceLogaritmi
Rezolvați ecuația: log⁡4(x+3)−log⁡4(x−1)=2−log⁡48\log_4(x+3) - \log_4(x-1) = 2 - \log_4 8.
Ușor#11Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: log⁡3(3x−6)=x−1\log_3(3^x - 6) = x - 1.
Ușor#12Ecuații logaritmiceLogaritmi
Rezolvați ecuația: log⁡3(4x−3)+log⁡3(4x−1)=1\log_3(4^x - 3) + \log_3(4^x - 1) = 1.
Ușor#13Ecuații logaritmiceLogaritmi
Rezolvați ecuația: log⁡5(2+x10)=log⁡5(2x+1)\log_5\left(\dfrac{2 + x}{10}\right) = \log_5\left(\dfrac{2}{x + 1}\right).
Ușor#14Ecuații logaritmiceLogaritmi
Rezolvați ecuația: log⁡4(24x)=2log⁡24\log_4\bigl(2^{4x}\bigr) = 2^{\log_2 4}.
Ușor#15Ecuații logaritmiceLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația: log⁡3x−2⋅log⁡1/3x=6\log_3 x-2\cdot\log_{1/3} x=6

Și alte 63 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Accesează toate cele 78 probleme de Ecuații logaritmice cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.