Probleme de nivel mediu de Funcția de gradul al II-lea

Clasa a 10-a • 104 probleme de nivel mediu

Ușor (87)Toate
Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Rezolvăm inecuația −t2+10t−16>0-t^2 + 10t - 16 > 0. Găsim rădăcinile ecuației −t2+10t−16=0-t^2 + 10t - 16 = 0: t1=2t_1 = 2 și t2=8t_2 = 8. Deoarece coeficientul lui t2t^2 este negativ, inecuația este satisfăcută pentru t∈(2,8)t \in (2, 8). În contextul problemei, t∈[1,8]t \in [1,8], deci intervalul de profit este t∈(2,8]t \in (2,8].
26 puncte
Profitul total este dat de integrala ∫28(−t2+10t−16)dt\int_{2}^{8} (-t^2 + 10t - 16) dt. Calculăm: ∫(−t2+10t−16)dt=−t33+5t2−16t+C\int (-t^2 + 10t - 16) dt = -\frac{t^3}{3} + 5t^2 - 16t + C. Evaluând de la 2 la 8: (−5123+320−128)−(−83+20−32)=(−5123+192)−(−83−12)=−5123+192+83+12=−5043+204=−168+204=36\left( -\frac{512}{3} + 320 - 128 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 20 - 32 \right) = \left( -\frac{512}{3} + 192 \right) - \left( -\frac{8}{3} - 12 \right) = -\frac{512}{3} + 192 + \frac{8}{3} + 12 = -\frac{504}{3} + 204 = -168 + 204 = 36. Deci profitul total este 36 mii euro.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notam t=∣x∣t = |x|. Ecuatia devine (3t−3)2=t+7(3t - 3)^2 = t + 7. Dezvoltam: 9t2−18t+9=t+79t^2 - 18t + 9 = t + 7, deci 9t2−19t+2=09t^2 - 19t + 2 = 0.
24 puncte
Delta = (−19)2−4∗9∗2=361−72=289(-19)^2 - 4*9*2 = 361 - 72 = 289. Radacini: t=(19±17)/18t = (19 \pm 17)/18. Deci t1=2t_1 = 2, t2=2/18=1/9t_2 = 2/18 = 1/9. Solutiile posibile sunt x=±2x = \pm 2 si x=±1/9x = \pm 1/9.
33 puncte
Domeniul functiei y=x(x−3)y = \sqrt{x(x-3)} impune x(x−3)≥0x(x-3) \ge 0, adica x≤0x \le 0 sau x≥3x \ge 3. Singurele solutii admisibile sunt x=−2x = -2 si x=−1/9.x = -1/9.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvati ecuatia ∣x2+4x+2∣=5x+163.|x^2 + 4x + 2| = \frac{5x + 16}{3}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observam ca partea dreapta trebuie sa fie nenegativa: (5x+16)/3≥0(5x + 16)/3 \ge 0, deci x≥−16/5x \ge -16/5.
24 puncte
Rezolvam cazurile: Caz 1: x2+4x+2≥0x^2 + 4x + 2 \ge 0. Atunci ec: x2+4x+2=(5x+16)/3.x^2 + 4x + 2 = (5x + 16)/3. Inmultim cu 3: 3x2+12x+6=5x+16,3x^2 + 12x + 6 = 5x + 16, 3x2+7x−10=0.3x^2 + 7x - 10 = 0. Delta = 49+120=16949 + 120 = 169, solutii: x=(−7±13)/6.x = (-7 \pm 13)/6. Deci x=1x = 1 sau x=−10/6=−5/3.x = -10/6 = -5/3. Verificare conditie: ambele satisfac x2+4x+2≥0x^2 + 4x + 2 \ge 0. Caz 2: x2+4x+2<0x^2 + 4x + 2 < 0. Ecuatia devine −(x2+4x+2)=(5x+16)/3.-(x^2 + 4x + 2) = (5x + 16)/3. Inmultim cu 3: −3x2−12x−6=5x+16,-3x^2 - 12x - 6 = 5x + 16, −3x2−17x−22=0.-3x^2 -17x - 22 = 0. Aceasta ecuatie nu are solutii reale (delta < 0).
33 puncte
Solutiile sunt x=1x = 1 si x=−5/3x = -5/3, ambele >= -16/5, deci solutia finala: {−5/3,1}\{ -5/3, 1 \}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Funcția de gradul al II-leaFuncția de gradul I
Rezolvati ecuatia ∣x2−2x−11∣=5x+13.|x^2 - 2x - 11| = \frac{5x + 1}{3}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Cerinta ca partea dreapta sa fie nenegativa: (5x+1)/3≥0(5x + 1)/3 \ge 0, deci x≥−1/5x \ge -1/5.
24 puncte
Caz 1: x2−2x−11≥0x^2 - 2x - 11 \ge 0. Ecuatia devine x2−2x−11=(5x+1)/3.x^2 - 2x - 11 = (5x + 1)/3. Inmultim cu 3: 3x2−6x−33=5x+1,3x^2 - 6x - 33 = 5x + 1, 3x2−11x−34=0.3x^2 - 11x - 34 = 0. Delta = 121+408=529=232121 + 408 = 529 = 23^2. Solutii: x=(11±23)/6.x = (11 \pm 23)/6. Deci x=34/6=17/3x = 34/6 = 17/3 sau x=−12/6=−2.x = -12/6 = -2. Verificam conditia x2−2x−11≥0x^2 - 2x - 11 \ge 0: ambele sunt admise. Caz 2: x2−2x−11<0x^2 - 2x - 11 < 0. Ecuatia devine −(x2−2x−11)=(5x+1)/3.-(x^2 - 2x - 11) = (5x + 1)/3. Inmultim cu 3: −3x2+6x+33=5x+1,-3x^2 + 6x + 33 = 5x + 1, −3x2+x+32=0.-3x^2 + x + 32 = 0. Delta = 1+384=3851 + 384 = 385 (pozitiva). Solutii: x=(−1±385)/(−6).x = ( -1 \pm \sqrt{385} ) / (-6). Verificam: niciuna nu satisface x2−2x−11<0.x^2 - 2x - 11 < 0.
33 puncte
Impunem conditia x≥−1/5x \ge -1/5: x=−2x = -2 se respinge. Solutia finala: x=17/3x = 17/3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvati ecuatia ∣x2−4x+2∣=5x−43.|x^2 - 4x + 2| = \frac{5x - 4}{3}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Partea dreapta trebuie sa fie nenegativa: (5x−4)/3≥0(5x - 4)/3 \ge 0, deci x≥4/5x \ge 4/5.
24 puncte
Caz 1: x2−4x+2≥0x^2 - 4x + 2 \ge 0. Ecuatia devine x2−4x+2=(5x−4)/3.x^2 - 4x + 2 = (5x - 4)/3. Inmultim cu 3: 3x2−12x+6=5x−4,3x^2 - 12x + 6 = 5x - 4, 3x2−17x+10=0.3x^2 - 17x + 10 = 0. Delta = 289−120=169289 - 120 = 169. Solutii: x=(17±13)/6,x = (17 \pm 13)/6, adica x=30/6=5x = 30/6 = 5 sau x=4/6=2/3x = 4/6 = 2/3. Verificam conditia x≥4/5x \ge 4/5: doar x=5x = 5 ramane. Caz 2: x2−4x+2<0x^2 - 4x + 2 < 0. Ecuatia devine −(x2−4x+2)=(5x−4)/3.-(x^2 - 4x + 2) = (5x - 4)/3. Inmultim cu 3: −3x2+12x−6=5x−4,-3x^2 + 12x - 6 = 5x - 4, −3x2+7x−2=0.-3x^2 + 7x - 2 = 0. Delta = 49−24=2549 - 24 = 25. Solutii: x=(−7±5)/(−6).x = ( -7 \pm 5 ) / (-6). Obtinem x=1x = 1 sau x=1/3x = 1/3. Ambele trebuie sa respecte x2−4x+2<0x^2 - 4x + 2 < 0: doar x=1x = 1 respecta. Verificam si conditia x≥4/5x \ge 4/5: 11 este admis.
33 puncte
Solutiile sunt x=5x = 5 si x=1x = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvati ecuatia ∣x2−6x+7∣=5x−93.|x^2 - 6x + 7| = \frac{5x - 9}{3}.
Mediu#7Funcția de gradul al II-leaProgresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Rezolvati ecuatia (x2+x+1)+(x2+2x+3)+(x2+3x+5)+⋯+(x2+20x+39)=4500.(x^2 + x + 1) + (x^2 + 2x + 3) + (x^2 + 3x + 5) + \dots + (x^2 + 20x + 39) = 4500.
Mediu#8Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvati ecuatia x∣x−4∣+a=0.x|x - 4| + a = 0.
Mediu#9Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Scrieti o ecuatie de gradul al doilea care are ca radacini numerele 110−72\dfrac{1}{10 - \sqrt{72}} si 110+62.\dfrac{1}{10 + 6\sqrt{2}}.
Mediu#10Funcția de gradul al II-leaFuncția de gradul IAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pentru ce valori ale lui aa graficele functiilor y=2ax+1y = 2ax + 1 si y=(a−6)x2−2y = (a - 6)x^2 - 2 nu se intersecteaza?
Mediu#11Funcția de gradul al II-leaGeometrie Analitică
Pentru ce valori ale lui pp varful parabolei y=x2+2px+13y = x^2 + 2px + 13 se afla la distanta 5 de origine?
Mediu#12Funcția de gradul al II-lea
Gasiti valoarea lui aa pentru care una dintre radacinile ecuatiei x2+(2a−1)x+a2+2=0x^2 + (2a - 1)x + a^2 + 2 = 0 este de doua ori mai mare decat cealalta.
Mediu#13Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pentru ce valori ale lui aa raportul radacinilor ecuatiei x2+ax+a+2=0x^2 + ax + a + 2 = 0 este egal cu 2?
Mediu#14Funcția de gradul al II-lea
Pentru ce valori ale lui aa raportul radacinilor ecuatiei x2−(a+3)x+3=0x^2 - (a + 3)x + 3 = 0 este egal cu 1,51{,}5 (adica 3/23/2)?
Mediu#15Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pentru ce valori ale lui aa radacinile x1x_1 si x2x_2 ale ecuatiei x2−(3a+2)x+a2=0x^2 - (3a + 2)x + a^2 = 0 satisfac relatia x1=9x2x_1 = 9x_2? Gasiti radacinile.

Și alte 89 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Accesează toate cele 104 probleme de Funcția de gradul al II-lea cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.