Probleme de Funcția de gradul al II-lea — Clasa a 10-a

Exerciții pentru școalăAnaliza Matematica • 488 probleme cu rezolvări complete
Teorie Funcția de gradul al II-lea — Formule si exemple rezolvate

Funcția de gradul al II-lea (funcția pătratică) este definită de f(x) = ax² + bx + c. Capitolul acoperă graficul parabolei, vârful, semnul funcției și inecuații de gradul II.

Verificat de profesori de matematică

Ușor

87

probleme

Mediu

104

probleme

Grile de Funcția de gradul al II-lea

297 întrebări cu variante de răspuns

→

Exemple de probleme

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Rezolvăm inecuația −t2+10t−16>0-t^2 + 10t - 16 > 0. Găsim rădăcinile ecuației −t2+10t−16=0-t^2 + 10t - 16 = 0: t1=2t_1 = 2 și t2=8t_2 = 8. Deoarece coeficientul lui t2t^2 este negativ, inecuația este satisfăcută pentru t∈(2,8)t \in (2, 8). În contextul problemei, t∈[1,8]t \in [1,8], deci intervalul de profit este t∈(2,8]t \in (2,8].
26 puncte
Profitul total este dat de integrala ∫28(−t2+10t−16)dt\int_{2}^{8} (-t^2 + 10t - 16) dt. Calculăm: ∫(−t2+10t−16)dt=−t33+5t2−16t+C\int (-t^2 + 10t - 16) dt = -\frac{t^3}{3} + 5t^2 - 16t + C. Evaluând de la 2 la 8: (−5123+320−128)−(−83+20−32)=(−5123+192)−(−83−12)=−5123+192+83+12=−5043+204=−168+204=36\left( -\frac{512}{3} + 320 - 128 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 20 - 32 \right) = \left( -\frac{512}{3} + 192 \right) - \left( -\frac{8}{3} - 12 \right) = -\frac{512}{3} + 192 + \frac{8}{3} + 12 = -\frac{504}{3} + 204 = -168 + 204 = 36. Deci profitul total este 36 mii euro.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notam radacinile x1x_1 si x2=1.5x1x_2 = 1.5 x_1. Suma radacinilor este x1+x2=−b/24x_1 + x_2 = -b/24. Folosim relatie: x1+1.5x1=2.5x1=−b/24.x_1 + 1.5 x_1 = 2.5 x_1 = -b/24.
24 puncte
Produsul radacinilor este x1x2=25/24x_1 x_2 = 25/24. Inlocuim x2=1.5x1x_2 = 1.5 x_1: 1.5x12=25/24.1.5 x_1^2 = 25/24. De unde x12=25/(36)x_1^2 = 25/(36) si x1=5/6x_1 = 5/6 (pozitiv).
33 puncte
Suma devine 2.5∗(5/6)=25/12=−b/242.5 * (5/6) = 25/12 = -b/24. Rezulta b=−50.b = -50.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notam t=∣x∣t = |x|. Ecuatia devine (3t−3)2=t+7(3t - 3)^2 = t + 7. Dezvoltam: 9t2−18t+9=t+79t^2 - 18t + 9 = t + 7, deci 9t2−19t+2=09t^2 - 19t + 2 = 0.
24 puncte
Delta = (−19)2−4∗9∗2=361−72=289(-19)^2 - 4*9*2 = 361 - 72 = 289. Radacini: t=(19±17)/18t = (19 \pm 17)/18. Deci t1=2t_1 = 2, t2=2/18=1/9t_2 = 2/18 = 1/9. Solutiile posibile sunt x=±2x = \pm 2 si x=±1/9x = \pm 1/9.
33 puncte
Domeniul functiei y=x(x−3)y = \sqrt{x(x-3)} impune x(x−3)≥0x(x-3) \ge 0, adica x≤0x \le 0 sau x≥3x \ge 3. Singurele solutii admisibile sunt x=−2x = -2 si x=−1/9.x = -1/9.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notam t=∣x∣t = |x|. Ecuatia devine (2t−1)2=t(2t - 1)^2 = t. Dezvoltam: 4t2−4t+1=t4t^2 - 4t + 1 = t, deci 4t2−5t+1=04t^2 - 5t + 1 = 0.
24 puncte
Delta = 25−16=925 - 16 = 9. Solutii: t=(5±3)/8t = (5 \pm 3)/8, adica t=1t = 1 sau t=1/4t = 1/4. Deci x=±1x = \pm 1 sau x=±1/4x = \pm 1/4.
33 puncte
Domeniul functiei y=log⁡(4x−1)y = \log(4x - 1) impune 4x−1>04x - 1 > 0, deci x>1/4x > 1/4. Singurele solutii admisibile sunt x=1x = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei 9x2−18∣x∣+5=09x^2 - 18|x| + 5 = 0 care apartin domeniului functiei y=ln⁡((x+1)(x−2))y = \ln((x+1)(x-2)).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notam t=∣x∣t = |x|. Ecuatia devine 9t2−18t+5=09t^2 - 18t + 5 = 0.
24 puncte
Calculam delta: (−18)2−4∗9∗5=324−180=144(-18)^2 - 4*9*5 = 324 - 180 = 144. Solutii: t=(18±12)/18.t = (18 \pm 12)/18. Astfel t1=30/18=5/3t_1 = 30/18 = 5/3 si t2=6/18=1/3t_2 = 6/18 = 1/3. Deci x=±5/3x = \pm 5/3 sau x=±1/3x = \pm 1/3.
33 puncte
Domeniul functiei y=ln⁡((x+1)(x−2))y = \ln((x+1)(x-2)) impune (x+1)(x−2)>0(x+1)(x-2) > 0, adica x<−1x < -1 sau x>2x > 2. Dintre cele patru solutii, doar x=−5/3x = -5/3 se afla in domeniu. Solutia finala: x=−5/3x = -5/3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvati ecuatia ∣x2+4x+2∣=5x+163.|x^2 + 4x + 2| = \frac{5x + 16}{3}.
Mediu#7Funcția de gradul al II-leaFuncția de gradul I
Rezolvati ecuatia ∣x2−2x−11∣=5x+13.|x^2 - 2x - 11| = \frac{5x + 1}{3}.
Mediu#8Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvati ecuatia ∣x2−4x+2∣=5x−43.|x^2 - 4x + 2| = \frac{5x - 4}{3}.
Mediu#9Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvati ecuatia ∣x2−6x+7∣=5x−93.|x^2 - 6x + 7| = \frac{5x - 9}{3}.
Ușor#10Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvati ecuatia x2+∣x∣−11=1.x^2 + |x| - 11 = 1.

Și alte 181 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Accesează toate cele 488 probleme de Funcția de gradul al II-lea cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Alte capitole pentru clasa a 10-a

→Arii și volume
419 probleme
→Combinatorică
469 probleme
→Domeniul de definiție al funcțiilor
531 probleme
→Ecuații exponentiale
495 probleme
→Ecuații iraționale
340 probleme

Câștigă XP și badge-uri rezolvând probleme

Sistem de niveluri (1-20), clasament săptămânal și serie zilnică de învățare. Începe gratuit cu 50 de credite.