Probleme de nivel mediu de Geometrie Analitică

Clasa a 10-a • 64 probleme de nivel mediu

Ușor (28)Toate
Mediu#1Geometrie AnaliticăSisteme de Ecuații LiniareStudiul funcțiilor
O companie produce două tipuri de articole, A și B. Profitul unitar este de 120120 lei pentru A și 8080 lei pentru B. Producția este limitată de resurse: pentru fiecare articol A se consumă 22 ore de muncă și 33 kg de materie primă, iar pentru B se consumă 11 oră de muncă și 22 kg de materie primă. Disponibilul zilnic este de 100100 ore de muncă și 120120 kg de materie primă. Determinați câte articole din fiecare tip trebuie produse zilnic pentru a maximiza profitul total, folosind metode geometrice sau algebrice.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Definirea variabilelor: fie xx numărul de articole A, yy numărul de articole B. Restricțiile: 2x+y≤1002x + y \leq 100 (ore muncă), 3x+2y≤1203x + 2y \leq 120 (materie primă), x≥0x \geq 0, y≥0y \geq 0. Funcția obiectiv: P(x,y)=120x+80yP(x,y) = 120x + 80y.
23 puncte
Reprezentarea grafică a restricțiilor: dreptele 2x+y=1002x+y=100 și 3x+2y=1203x+2y=120; intersecții cu axele și între ele. Găsirea vârfurilor regiunii admisibile: (0,0)(0,0), (0,50)(0,50), (40,0)(40,0), (20,30)(20,30) din rezolvarea sistemului {2x+y=1003x+2y=120\begin{cases} 2x+y=100 \\ 3x+2y=120 \end{cases}.
33 puncte
Evaluarea funcției obiectiv în vârfuri: P(0,0)=0P(0,0)=0, P(0,50)=4000P(0,50)=4000, P(40,0)=4800P(40,0)=4800, P(20,30)=120⋅20+80⋅30=2400+2400=4800P(20,30)=120\cdot20+80\cdot30=2400+2400=4800.
42 puncte
Maximul este 48004800 lei, obținut pentru (40,0)(40,0) și (20,30)(20,30); interpretare: se pot produce fie 4040 A și 00 B, fie 2020 A și 3030 B pentru profit maxim.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Geometrie AnaliticăAplicații ale trigonometriei în geometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un teren în formă de triunghi are vârfurile în punctele A(0,0)A(0,0), B(4,0)B(4,0) și C(2,3)C(2,3) (coordonate în metri). Se dorește construirea unui drum drept de la punctul D(1,1)D(1,1) la latura BCBC, astfel încât drumul să fie perpendicular pe BCBC. Determinați lungimea drumului și coordonatele punctului de intersecție cu BCBC.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Găsiți ecuația dreptei BCBC. Coordonatele: B(4,0)B(4,0) și C(2,3)C(2,3). Panta mBC=3−02−4=3−2=−32m_{BC} = \frac{3-0}{2-4} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}. Ecuația: y−0=−32(x−4)y - 0 = -\frac{3}{2}(x-4), adică y=−32x+6y = -\frac{3}{2}x + 6.
22 puncte
Panta dreptei perpendiculare pe BCBC este m⊥=23m_{\perp} = \frac{2}{3} (deoarece mBC⋅m⊥=−1m_{BC} \cdot m_{\perp} = -1).
32 puncte
Ecuația dreptei prin D(1,1)D(1,1) cu panta 23\frac{2}{3}: y−1=23(x−1)y - 1 = \frac{2}{3}(x-1), adică y=23x+13y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}.
42 puncte
Găsiți punctul de intersecție EE între dreapta BCBC și perpendiculară. Rezolvați sistemul: {y=−32x+6y=23x+13\begin{cases} y = -\frac{3}{2}x + 6 \\ y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3} \end{cases}. Egalați: −32x+6=23x+13-\frac{3}{2}x + 6 = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}. Multiplicați cu 6: −9x+36=4x+2-9x + 36 = 4x + 2, deci 13x=3413x = 34, x=3413x = \frac{34}{13}. Atunci y=−32⋅3413+6=−5113+6=−51+7813=2713y = -\frac{3}{2} \cdot \frac{34}{13} + 6 = -\frac{51}{13} + 6 = \frac{-51+78}{13} = \frac{27}{13}. Deci E(3413,2713)E\left(\frac{34}{13}, \frac{27}{13}\right).
52 puncte
Calculați distanța DEDE: DE=(3413−1)2+(2713−1)2=(2113)2+(1413)2=441169+196169=637169=49⋅13169=71313DE = \sqrt{\left(\frac{34}{13}-1\right)^2 + \left(\frac{27}{13}-1\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{21}{13}\right)^2 + \left(\frac{14}{13}\right)^2} = \sqrt{\frac{441}{169} + \frac{196}{169}} = \sqrt{\frac{637}{169}} = \sqrt{\frac{49 \cdot 13}{169}} = \frac{7\sqrt{13}}{13} metri. Răspuns: Lungimea drumului este 71313\frac{7\sqrt{13}}{13} m, iar punctul de intersecție are coordonatele (3413,2713)\left(\frac{34}{13}, \frac{27}{13}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Geometrie AnaliticăDerivateAplicații ale derivatelor
Prin punctul N(2,4) se trage o dreaptă; segmentul acesteia formează un triunghi dreptunghic cu segmentele (x>0, y>0) ale axelor coordonate. Determinați lungimea catetei mai mari pentru ca aria triunghiului să fie minimă.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm interceptele dreptei cu axele (a,0)(a,0) și (0,b)(0,b), cu a>0,b>0a>0,b>0. Ecuația în formă de intercepte este xa+yb=1\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1. Deoarece dreapta trece prin N(2,4)N(2,4) avem condiția 2a+4b=1\dfrac{2}{a}+\dfrac{4}{b}=1. Din aceasta exprimăm bb în funcție de aa: b=4aa−2b=\dfrac{4a}{a-2} (pentru a>2a>2, ca b>0b>0).
24 puncte
Aria triunghiului este A=12ab=12a⋅4aa−2=2a2a−2A=\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{1}{2}a\cdot\dfrac{4a}{a-2}=\dfrac{2a^2}{a-2}, definită pentru a>2a>2. Calculăm derivata: A′(a)=dda(2a2a−2)=2a(a−4)(a−2)2A'(a)=\dfrac{d}{da}\left(\dfrac{2a^2}{a-2}\right)=\dfrac{2a(a-4)}{(a-2)^2}. Condiția staționară A′(a)=0A'(a)=0 dă a=0a=0 sau a=4a=4; în domeniul a>2a>2 rezultă a=4a=4, iar analiza semnelor arată că este minim.
33 puncte
Pentru a=4a=4 avem b=4⋅44−2=162=8b=\dfrac{4\cdot 4}{4-2}=\dfrac{16}{2}=8. Cateta mai mare este max⁡(a,b)=8\max(a,b)=8. Concluzie: lungimea catetei mai mari pentru aria minimă este 88.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Geometrie AnaliticăFuncția de gradul al II-lea
În planul cartezian, se consideră punctele A(1,2)A(1,2), B(4,6)B(4,6) și dreapta d:2x−y+3=0d: 2x - y + 3 = 0. Determinați ecuația cercului care are centrul pe dreapta dd și este tangent la dreapta ABAB și la axa OxOx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Aflați ecuația dreptei ABAB folosind formula y−yA=yB−yAxB−xA(x−xA)y - y_A = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}(x - x_A), obținând 4x−3y+2=04x - 3y + 2 = 0.
23 puncte
Exprimați coordonatele centrului cercului C(h,k)C(h,k) cu hh și kk legate prin 2h−k+3=02h - k + 3 = 0, deci k=2h+3k = 2h + 3.
34 puncte
Impuneți condițiile de tangență: distanța de la CC la dreapta ABAB este r=∣4h−3k+2∣42+(−3)2r = \frac{|4h - 3k + 2|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} și distanța de la CC la axa OxOx este r=∣k∣r = |k|. Rezolvați sistemul {∣4h−3(2h+3)+2∣5=∣2h+3∣r=∣2h+3∣\begin{cases} \frac{|4h - 3(2h+3) + 2|}{5} = |2h+3| \\ r = |2h+3| \end{cases} pentru a găsi h=−1h = -1, k=1k = 1, r=1r = 1 și ecuația cercului (x+1)2+(y−1)2=1(x+1)^2 + (y-1)^2 = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Geometrie AnaliticăAplicații ale derivatelor
Fie punctele M(2,3)M(2,3) și N(5,1)N(5,1). Să se determine punctul PP pe dreapta y=x+1y = x + 1 astfel încât aria triunghiului MNPMNP să fie maximă.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți coordonatele punctului PP ca P(t,t+1)P(t, t+1), unde tt este un parametru real.
23 puncte
Calculați aria triunghiului MNPMNP folosind formula cu determinant: A(t)=12∣2(1−(t+1))+5((t+1)−3)+t(3−1)∣=12∣−2t+5t−10+2t∣=12∣5t−10∣=52∣t−2∣A(t) = \frac{1}{2} | 2(1 - (t+1)) + 5((t+1) - 3) + t(3 - 1) | = \frac{1}{2} | -2t + 5t - 10 + 2t | = \frac{1}{2} |5t - 10| = \frac{5}{2} |t - 2|.
34 puncte
Maximizați A(t)A(t) considerând t∈Rt \in \mathbb{R}; funcția ∣t−2∣|t-2| este nemărginită superior, dar pentru a obține o arie maximă finită, se impune condiția ca triunghiul să aibă arie pozitivă, deci se studiază comportamentul: A(t)A(t) crește pentru t>2t > 2 și descrește pentru t<2t < 2, cu maximul local în t=2t = 2 dacă se restricționează domeniul, dar în real, aria poate fi făcută oricât de mare alegând tt suficient de departe de 2. Pentru o abordare tipică de examen, se consideră maximizarea pe un interval, de exemplu t∈[0,5]t \in [0,5], și se folosește derivata: A(t)=52(t−2)A(t) = \frac{5}{2}(t-2) pentru t≥2t \geq 2, cu derivata 52>0\frac{5}{2} > 0, deci maximul este la t=5t=5 cu A=7.5A=7.5. Dacă nu se specifică restricții, enunțul implică găsirea punctului care dă arie maximă posibilă, ceea ce nu există, deci se poate reformula: pentru tt real, aria nu are maxim finit, dar se poate găsi punctul care minimizează aria, care este t=2t=2 cu A=0A=0. Pentru a face exercițiul consistent, se presupune că se caută maximul pe R\mathbb{R}, dar se notează că funcția este liniară și nu are maxim finit. În barem, se acordă punctaje pentru pașii de calcul și înțelegere.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Geometrie AnaliticăSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie punctele A(1,2), B(4,6) și C(7,4). a) Să se determine ecuația cercului circumscris triunghiului ABC. b) Să se calculeze distanța de la centrul cercului la dreapta BC.
Mediu#7Geometrie AnaliticăFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră cercul cu ecuația x2+y2−4x−6y+9=0x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0 și punctul P(1,8). a) Să se determine poziția punctului P față de cerc. b) Să se scrie ecuațiile tangentelor din P la cerc.
Mediu#8Geometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră dreptele d1:2x−3y+1=0d_1: 2x - 3y + 1 = 0 și d2:x+4y−5=0d_2: x + 4y - 5 = 0. Aflați ecuația perpendicularei duse din punctul de intersecție al dreptelor d1d_1 și d2d_2 pe dreapta d3d_3, care trece prin punctele A(1,−2)A(1, -2) și B(3,4)B(3, 4). Determinați distanța de la punctul AA la această perpendiculară.
Mediu#9Geometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
În planul cartezian, se consideră punctele A(1,2), B(3,4) și C(5,0). Să se determine ecuația cercului care trece prin aceste puncte. Apoi, să se calculeze distanța de la originea axelor la acest cerc și să se arate că există exact două tangente la cerc care trec prin origine.
Mediu#10Geometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie triunghiul ABC cu vârfurile A(0,0), B(4,0), C(0,3). Să se determine ecuația cercului înscris în triunghi. Apoi, să se demonstreze că dreptele care unesc vârfurile triunghiului cu punctele de tangență ale cercului înscris cu laturile opuse sunt concurente.
Mediu#11Geometrie AnaliticăVectoriFuncția de gradul I
În planul cartezian, se consideră punctele A(1,2) și B(4,6). Determinați coordonatele punctului C(x,y) astfel încât vectorul AC⃗\vec{AC} să fie perpendicular pe vectorul AB⃗\vec{AB} și aria triunghiului ABC să fie egală cu 10. Apoi, găsiți ecuația dreptei care trece prin C și este paralelă cu dreapta AB.
Mediu#12Geometrie AnaliticăFuncția de gradul al II-leaSisteme de Ecuații Liniare
Să se determine ecuația parabolei y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c care trece prin punctele P(1,3) și Q(-1,1) și are vârful pe dreapta y=2x−1y = 2x - 1. Apoi, să se afle punctele de intersecție ale acestei parabole cu axa Ox.
Mediu#13Geometrie AnaliticăVectoriTrigonometrie
Se consideră punctele A(1,−1)A(1, -1), B(3,2)B(3, 2) și C(5,0)C(5, 0). a) Să se determine ecuația dreptei care trece prin AA și este paralelă cu vectorul BC⃗\vec{BC}. b) Să se calculeze măsura unghiului dintre dreptele ABAB și ACAC. c) Să se afle coordonatele simetricului punctului AA față de dreapta BCBC.
Mediu#14Geometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Liniare
În planul cartezian, se consideră punctele A(1,2)A(1,2), B(4,6)B(4,6) și C(7,4)C(7,4). Să se determine ecuația cercului circumscris triunghiului ABCABC și să se calculeze aria triunghiului format de centrul cercului circumscris și punctele AA și BB.
Mediu#15Geometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere RealeEcuații iraționale
Se dă elipsa de ecuație x216+y29=1\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1. Să se determine focarele, excentricitatea și ecuațiile directricelor acestei elipse. Apoi, să se găsească punctele de pe elipsă pentru care tangenta la elipsă este perpendiculară pe dreapta 2x−3y+5=02x - 3y + 5 = 0.

Și alte 49 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Geometrie Analitică cu AI

Accesează toate cele 64 probleme de Geometrie Analitică cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.