Probleme ușoare de Geometrie Analitică

Clasa a 10-a • 28 probleme de nivel ușor

Mediu (64)Toate
Ușor#1Geometrie AnaliticăAplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
O antenă parabolică are forma unui paraboloid de rotație. Secțiunea axială a antenei este o parabolă cu ecuația y=ax2y = ax^2. Diametrul antenei este de 4 m, iar adâncimea (distanța de la vârf la planul bazei) este de 1 m. Determinați valoarea coeficientului aa și poziția focală a antenei (distanța de la vârf la focar).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Considerăm parabola y=ax2y = ax^2. Diametrul de 4 m înseamnă că la y=1y = 1 (adâncimea), avem x=±2x = \pm 2 (jumătate din diametru). Deci, punctul (2,1)(2,1) se află pe parabolă.
23 puncte
Ecuația focarului pentru parabola y=ax2y = ax^2 este F(0,14a)F(0, \frac{1}{4a}).
32 puncte
Substituim punctul (2,1)(2,1) în ecuație: 1=a⋅22⇒1=4a⇒a=141 = a \cdot 2^2 \Rightarrow 1 = 4a \Rightarrow a = \frac{1}{4}.
42 puncte
Poziția focală este distanța de la vârf (0,0)(0,0) la focar: 14a=14⋅14=1\frac{1}{4a} = \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}} = 1 m. Deci focarul este la 1 m de vârf.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Geometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere RealeEcuații iraționale
După întâlnire, un vas a mers spre sud și celălalt spre vest. La două ore după întâlnire, cele două vase erau la 60 km distanță unul de celălalt. Determinați viteza fiecărui vas, știind că viteza unuia este cu 6 km/h mai mare decât a celuilalt.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
13 puncte
Notați vitezele vv și v+6v+6. După 2 h distanțele parcurse sunt 2v2v și 2(v+6)2(v+6), iar distanța euclidiană între ele este 60 km. Scrieți ecuația (2v)2+(2(v+6))2=60\sqrt{(2v)^2+(2(v+6))^2}=60.
27 puncte
Pătrați și simplificați: 4(v2+(v+6)2)=3600⇒v2+(v+6)2=9004(v^2+(v+6)^2)=3600\Rightarrow v^2+(v+6)^2=900. Rezolvați v=18 km/hv=18\ \mathrm{km/h}, respectiv v+6=24 km/hv+6=24\ \mathrm{km/h}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Geometrie AnaliticăMatematică aplicată
Se consideră triunghiul ABCABC cu vârfurile A(0,0)A(0, 0), B(4,0)B(4, 0) și C(1,3)C(1, 3). Determinați ecuația înălțimii din vârful CC și coordonatele piciorului acestei înălțimi. Calculați aria triunghiului ABCABC și verificați dacă triunghiul este dreptunghic.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se află ecuația dreptei ABAB: deoarece A(0,0)A(0,0) și B(4,0)B(4,0), ecuația este y=0y = 0. \
22 puncte
Înălțimea din CC este perpendiculară pe ABAB, deci are ecuația x=1x = 1 (trece prin C(1,3)C(1,3) și este perpendiculară pe y=0y = 0). Piciorul înălțimii este intersecția cu ABAB: H(1,0)H(1, 0). \
33 puncte
Aria triunghiului ABCABC: Aria=∣0⋅(0−3)+4⋅(3−0)+1⋅(0−0)∣2=∣0+12+0∣2=6Aria = \frac{|0\cdot(0-3) + 4\cdot(3-0) + 1\cdot(0-0)|}{2} = \frac{|0 + 12 + 0|}{2} = 6 (folosind formula cu determinant). \
43 puncte
Pentru a verifica dacă triunghiul este dreptunghic, se calculează pătratele laturilor: AB2=16AB^2 = 16, AC2=10AC^2 = 10, BC2=18BC^2 = 18. Deoarece AB2+AC2=26≠BC2AB^2 + AC^2 = 26 \neq BC^2 și nici alte combinații nu satisfac teorema lui Pitagora, triunghiul nu este dreptunghic.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Geometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie cercul CC de ecuație (x−2)2+(y−3)2=25(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25 și punctul P(5,8)P(5,8). Arătați că PP este exterior cercului și determinați ecuația tangentei din PP la cerc.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați distanța de la PP la centrul cercului O(2,3)O(2,3): d=(5−2)2+(8−3)2=9+25=34d = \sqrt{(5-2)^2 + (8-3)^2} = \sqrt{9+25} = \sqrt{34}. Deoarece 34>5\sqrt{34} > 5, punctul PP este exterior cercului.
23 puncte
Utilizați formula tangentei din punct exterior: (x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2, unde O(a,b)O(a,b) este centrul, rr raza, și P(x0,y0)P(x_0,y_0). Aici a=2a=2, b=3b=3, r=5r=5, x0=5x_0=5, y0=8y_0=8. Obțineți: (5−2)(x−2)+(8−3)(y−3)=25⇒3(x−2)+5(y−3)=25⇒3x−6+5y−15=25⇒3x+5y−46=0(5-2)(x-2) + (8-3)(y-3) = 25 \Rightarrow 3(x-2) + 5(y-3) = 25 \Rightarrow 3x - 6 + 5y - 15 = 25 \Rightarrow 3x + 5y - 46 = 0.
33 puncte
Verificați perpendicularitatea tangentei pe raza în punctul de tangență. Calculați panta razei OPOP: mOP=8−35−2=53m_{OP} = \frac{8-3}{5-2} = \frac{5}{3}. Panta tangentei este mt=−1mOP=−35m_t = -\frac{1}{m_{OP}} = -\frac{3}{5}, iar din ecuația 3x+5y−46=03x + 5y - 46 = 0, rescrisă ca y=−35x+465y = -\frac{3}{5}x + \frac{46}{5}, panta este −35-\frac{3}{5}, deci corect.
42 puncte
Concluzie: Ecuația tangentei este 3x+5y−46=03x + 5y - 46 = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Geometrie AnaliticăVectori
Se dau punctele A(1,2)A(1,2), B(4,5)B(4,5), C(2,6)C(2,6). Să se determine coordonatele centrului de greutate GG al triunghiului ABCABC și ecuația dreptei care trece prin GG și este perpendiculară pe dreapta BCBC.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Coordonatele centrului de greutate GG se calculează cu formula G(xA+xB+xC3,yA+yB+yC3)G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right). Așadar, G(1+4+23,2+5+63)=(73,133)G\left(\frac{1+4+2}{3}, \frac{2+5+6}{3}\right) = \left(\frac{7}{3}, \frac{13}{3}\right).
23 puncte
Determinați ecuația dreptei BCBC cu punctele B(4,5)B(4,5) și C(2,6)C(2,6). Panta mBC=6−52−4=1−2=−12m_{BC} = \frac{6-5}{2-4} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}. Folosiți forma punct-pantă: y−5=−12(x−4)⇒2y−10=−x+4⇒x+2y−14=0y - 5 = -\frac{1}{2}(x-4) \Rightarrow 2y - 10 = -x + 4 \Rightarrow x + 2y - 14 = 0.
32 puncte
Panta dreptei perpendiculare pe BCBC este m=−1mBC=2m = -\frac{1}{m_{BC}} = 2.
42 puncte
Ecuația dreptei care trece prin G(73,133)G\left(\frac{7}{3}, \frac{13}{3}\right) cu panta 22: y−133=2(x−73)⇒3y−13=6x−14⇒6x−3y−1=0y - \frac{13}{3} = 2\left(x - \frac{7}{3}\right) \Rightarrow 3y - 13 = 6x - 14 \Rightarrow 6x - 3y - 1 = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6Geometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
În planul cartezian, se dă cercul cu ecuația x2+y2−6x−4y+9=0x^2 + y^2 - 6x - 4y + 9 = 0 și dreapta d:2x−y+3=0d: 2x - y + 3 = 0. a) Determinați centrul și raza cercului. b) Aflați punctele de intersecție dintre cerc și dreaptă. c) Calculați distanța de la centrul cercului la dreaptă și verificați dacă dreapta este tangentă la cerc.
Ușor#7Geometrie AnaliticăVectoriSisteme de Ecuații Liniare
Fie punctele A(1,2)A(1,2), B(4,6)B(4,6) și C(7,4)C(7,4) în planul cartezian. Determinați ecuația dreptei care trece prin centrul de greutate al triunghiului ABCABC și este perpendiculară pe dreapta ABAB. Calculați distanța de la punctul CC la această dreaptă.
Ușor#8Geometrie AnaliticăVectoriPolinoame
Se consideră punctele A(1,2)A(1,2), B(4,5)B(4,5) și C(x,y)C(x, y). Să se determine coordonatele punctului CC știind că vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC} sunt coliniari, iar abscisa xx este rădăcină a polinomului P(X)=X2−5X+6P(X) = X^2 - 5X + 6. Apoi, să se calculeze distanța de la punctul CC la dreapta determinată de punctele AA și BB.
Ușor#9Geometrie AnaliticăVectori
Se consideră vectorii a⃗=3i⃗−2j⃗\vec{a} = 3\vec{i} - 2\vec{j} și b⃗=−i⃗+5j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 5\vec{j}. Să se determine coordonatele punctului C astfel încât OC⃗=a⃗+2b⃗\vec{OC} = \vec{a} + 2\vec{b}, unde O este originea. Apoi, să se găsească ecuația dreptei care trece prin C și este paralelă cu dreapta de ecuație 2x−y+4=02x - y + 4 = 0. În final, să se calculeze distanța de la punctul C la dreapta 2x−y+4=02x - y + 4 = 0.
Ușor#10Geometrie AnaliticăVectoriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie punctele M(2,−1)M(2,-1) și N(4,3)N(4,3). Să se determine: a) Coordonatele vectorului MN→\overrightarrow{MN}; b) Ecuația dreptei care trece prin origine și este perpendiculară pe dreapta MNMN; c) Aria triunghiului format de dreapta MNMN, axa OxOx și axa OyOy.
Ușor#11Geometrie AnaliticăFuncția de gradul al II-lea
Se dau punctele A(0,0)A(0,0), B(4,0)B(4,0) și C(0,3)C(0,3). Determinați ecuația cercului care trece prin aceste puncte și apoi ecuația tangentei la cerc în punctul AA.
Ușor#12Geometrie AnaliticăVectoriSisteme de Ecuații Liniare
În planul cartezian, se consideră vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=i⃗+4j⃗\vec{v} = \vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați produsul scalar u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul A(1,2) și are direcția vectorului u⃗\vec{u}. c) Găsiți punctul de intersecție al acestei drepte cu dreapta de ecuație 3x−y=53x - y = 5.
Ușor#13Geometrie AnaliticăVectoriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră punctele A(1,2)A(1,2), B(4,6)B(4,6) și C(7,4)C(7,4). Să se determine ecuația înălțimii din vârful AA în triunghiul ABCABC și aria triunghiului ABCABC.
Ușor#14Geometrie AnaliticăNumere ComplexeAplicații ale trigonometriei în geometrie
În planul complex, se consideră numerele z1=1+2iz_1 = 1 + 2i, z2=4+6iz_2 = 4 + 6i, z3=7+3iz_3 = 7 + 3i, care reprezintă vârfurile unui triunghi. a) Determinați lungimile laturilor triunghiului. b) Calculați măsura unghiului format de laturile AB și AC. c) Aflați ecuația dreptei care trece prin vârful A și este perpendiculară pe latura BC.
Ușor#15Geometrie AnaliticăVectori
Fie punctele A(1,−1)A(1, -1), B(3,2)B(3, 2) și C(−2,4)C(-2, 4). Determinați ecuația înălțimii din vârful A în triunghiul ABC și calculați lungimea acestei înălțimi.

Și alte 13 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Geometrie Analitică cu AI

Accesează toate cele 28 probleme de Geometrie Analitică cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.