Probleme de nivel mediu de Grupuri

Clasa a 12-a • 221 probleme de nivel mediu

Ușor (60)Greu (16)Toate
Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Considerați orice a,b∈Ga, b \in G și calculați (ab)2=abab(ab)^2 = abab.\n
24 puncte
Din ipoteză, (ab)2=e(ab)^2 = e, deci abab=eabab = e. Înmulțind la dreapta cu bb, obținem aba=baba = b, apoi înmulțind la dreapta cu aa, obținem ab=baab = ba.\n
33 puncte
Deoarece ab=baab = ba pentru orice a,b∈Ga, b \in G, rezultă că GG este abelian.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Enumerați elementele lui S3S_3: S3={e,(12),(13),(23),(123),(132)}S_3 = \{ e, (12), (13), (23), (123), (132) \}, unde ee este permutarea identitate. Ordinele: ee ordin 1, (12),(13),(23)(12), (13), (23) ordin 2, (123),(132)(123), (132) ordin 3.\n
23 puncte
Identificați toate subgrupurile: subgrupul trivial {e}\{e\}, subgrupurile de ordin 2: {e,(12)},{e,(13)},{e,(23)}\{e, (12)\}, \{e, (13)\}, \{e, (23)\}, subgrupul de ordin 3: {e,(123),(132)}\{e, (123), (132)\}, și întregul grup S3S_3.\n
33 puncte
Verificați normalitatea: {e}\{e\} și S3S_3 sunt normale. Subgrupul de ordin 3 este normal deoarece are indice 2. Subgrupurile de ordin 2 nu sunt normale; de exemplu, pentru {e,(12)}\{e, (12)\} și (13)∈S3(13) \in S_3, (13)(12)(13)−1=(23)∉{e,(12)}(13)(12)(13)^{-1} = (23) \notin \{e, (12)\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificați închiderea: pentru orice A,B∈GA, B \in G, det⁡(AB)=det⁡(A)det⁡(B)=1⋅1=1\det(AB) = \det(A)\det(B) = 1 \cdot 1 = 1, deci AB∈GAB \in G.
22 puncte
Asociativitatea: înmulțirea matricelor este asociativă.
33 puncte
Elementul neutru: matricea identitate I2I_2 are det⁡(I2)=1\det(I_2) = 1, deci I2∈GI_2 \in G și pentru orice A∈GA \in G, A⋅I2=I2⋅A=AA \cdot I_2 = I_2 \cdot A = A.
43 puncte
Elementele simetrizabile: pentru orice A∈GA \in G, det⁡(A)=1≠0\det(A) = 1 \neq 0, deci AA este inversabilă și A−1A^{-1} are det⁡(A−1)=1det⁡(A)=1\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = 1, deci A−1∈GA^{-1} \in G.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Scrieți ipoteza: pentru orice x∈Gx \in G, x∗x=ex * x = e.
26 puncte
Demonstrați comutativitatea: luați a,b∈Ga, b \in G arbitrare. Din a2=ea^2 = e, avem a=a−1a = a^{-1}, și similar b=b−1b = b^{-1}. Atunci (a∗b)−1=b−1∗a−1=b∗a(a * b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1} = b * a. Dar din (a∗b)2=e(a * b)^2 = e, avem a∗b=(a∗b)−1a * b = (a * b)^{-1}, deci a∗b=b∗aa * b = b * a.
32 puncte
Concluzia: deoarece pentru orice a,b∈Ga,b \in G, a∗b=b∗aa * b = b * a, grupul GG este abelian.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5GrupuriLegi de compoziție
Fie mulțimea G=R∖{−1}G = \mathbb{R} \setminus \{-1\} și operația ∗* definită prin x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy pentru orice x,y∈Gx, y \in G. Demonstrați că (G,∗)(G, *) este un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm că operația ∗* este bine definită pe GG: pentru orice x,y∈Gx, y \in G, avem x∗y=x+y+xy∈Rx * y = x + y + xy \in \mathbb{R} și trebuie arătat că x∗y≠−1x * y \neq -1. Presupunând prin absurd că x+y+xy=−1x + y + xy = -1, obținem (x+1)(y+1)=0(x+1)(y+1)=0, deci x=−1x=-1 sau y=−1y=-1, ceea ce contrazice x,y∈Gx, y \in G. Așadar, x∗y∈Gx * y \in G.
23 puncte
Demonstrăm asociativitatea: pentru orice x,y,z∈Gx, y, z \in G, calculăm (x∗y)∗z=(x+y+xy)∗z=(x+y+xy)+z+(x+y+xy)z=x+y+xy+z+xz+yz+xyz(x * y) * z = (x + y + xy) * z = (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z = x + y + xy + z + xz + yz + xyz și x∗(y∗z)=x∗(y+z+yz)=x+(y+z+yz)+x(y+z+yz)=x+y+z+yz+xy+xz+xyzx * (y * z) = x * (y + z + yz) = x + (y + z + yz) + x(y + z + yz) = x + y + z + yz + xy + xz + xyz. Se observă că ambele expresii sunt egale, deci operația este asociativă.
32 puncte
Căutăm elementul neutru e∈Ge \in G astfel încât x∗e=xx * e = x pentru orice x∈Gx \in G. Din x∗e=x+e+xe=xx * e = x + e + xe = x, obținem e(1+x)=0e(1+x)=0. Pentru x≠−1x \neq -1, avem e=0e=0. Verificăm: 0∗x=0+x+0⋅x=x0 * x = 0 + x + 0 \cdot x = x, deci e=0e=0 este elementul neutru și 0∈G0 \in G.
43 puncte
Pentru fiecare x∈Gx \in G, căutăm inversul x−1x^{-1} astfel încât x∗x−1=0x * x^{-1} = 0. Din x+x−1+xx−1=0x + x^{-1} + x x^{-1} = 0, obținem x−1(1+x)=−xx^{-1}(1+x) = -x, deci x−1=−x1+xx^{-1} = \frac{-x}{1+x} pentru x≠−1x \neq -1. Verificăm că x−1∈Gx^{-1} \in G: dacă −x1+x=−1\frac{-x}{1+x} = -1, atunci −x=−1−x-x = -1 - x, adică 0=−10=-1, fals. Așadar, x−1x^{-1} există și aparține lui GG.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6GrupuriMatrici
Considerăm mulțimea H={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}H = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Arătați că HH este un subgrup al grupului (GL2(R),⋅)(GL_2(\mathbb{R}), \cdot), unde GL2(R)GL_2(\mathbb{R}) este grupul matricelor inversabile de ordin 2 cu operația de înmulțire a matricelor.
Mediu#7Grupuri
Fie (G,⋅)(G, \cdot) un grup și H={x∈G∣x2=e}H = \{ x \in G \mid x^2 = e \}, unde ee este elementul neutru al lui GG. Arătați că dacă GG este abelian, atunci HH este un subgrup al lui GG. Este adevărat și dacă GG nu este abelian?
Mediu#8GrupuriNumere Complexe
Fie mulțimea G={z∈C∣∣z∣=1}G = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} și operația ∗* definită prin z1∗z2=z1⋅z2z_1 * z_2 = z_1 \cdot z_2 (înmulțirea complexă). Arătați că (G,∗)(G, *) este un grup. Apoi determinați dacă submulțimea H={z∈G∣Re(z)=0}H = \{ z \in G \mid \text{Re}(z) = 0 \} este subgrup al lui GG.
Mediu#9GrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∘\circ pe R∗\mathbb{R}^* definită prin x∘y=x⋅y+a(x+y)+bx \circ y = x \cdot y + a(x + y) + b, unde a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui aa și bb pentru care (R∗,∘)(\mathbb{R}^*, \circ) este un grup. Pentru aceste valori, găsiți elementul neutru și simetricul fiecărui element x∈R∗x \in \mathbb{R}^*.
Mediu#10GrupuriMatriciLegi de compoziție
Fie mulțimea G={a+b2∣a,b∈Z}G = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} și operația ∗* definită prin (a+b2)∗(c+d2)=(ac+2bd)+(ad+bc)2(a+b\sqrt{2}) * (c+d\sqrt{2}) = (ac+2bd) + (ad+bc)\sqrt{2} pentru orice a,b,c,d∈Za,b,c,d \in \mathbb{Z}. Să se verifice dacă (G,∗)(G, *) este un grup abelian.
Mediu#11Grupuri
Fie (G,⋅)(G, \cdot) un grup și HH un subgrup al lui GG cu indicele [G:H]=2[G:H] = 2. Demonstrați că HH este subgrup normal în GG.
Mediu#12GrupuriMatrici
Fie mulțimea M={(ab01)∣a,b∈R,a≠0}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0 \right\}. Arătați că (M,⋅)(M, \cdot) formează un grup în raport cu înmulțirea matricelor.
Mediu#13GrupuriLegi de compoziție
Pe mulțimea G=R∖{0}G = \mathbb{R} \setminus \{0\} se definește legea de compoziție x∗y=xy+x+yx * y = xy + x + y. Determinați dacă (G,∗)(G, *) este grup.
Mediu#14GrupuriLegi de compoziție
Fie mulțimea G={x∈R∣x>−1}G = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > -1 \} și legea de compoziție ∗* definită prin x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy. Arătați că (G,∗)(G, *) este un grup.
Mediu#15GrupuriNumere Complexe
Fie mulțimea M={z∈C∣∣z∣=1}M = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} și operația de înmulțire a numerelor complexe. a) Arătați că (M,⋅)(M, \cdot) este un grup abelian. b) Determinați toate subgrupurile finite ale lui (M,⋅)(M, \cdot).

Și alte 206 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Accesează toate cele 221 probleme de Grupuri cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.