Probleme ușoare de Grupuri

Clasa a 12-a • 60 probleme de nivel ușor

Mediu (221)Greu (16)Toate
Ușor#1GrupuriLegi de compoziție
Se consideră mulțimea G={a+b2∣a,b∈Z}G = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} și operația ∗* definită prin (a+b2)∗(c+d2)=(a+c)+(b+d)2(a + b\sqrt{2}) * (c + d\sqrt{2}) = (a+c) + (b+d)\sqrt{2}. Verificați dacă (G,∗)(G, *) este un grup. Dacă da, determinați elementul neutru și simetricul fiecărui element.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificarea închiderii: pentru orice a,b,c,d∈Za,b,c,d \in \mathbb{Z}, (a+b2)∗(c+d2)=(a+c)+(b+d)2∈G(a+b\sqrt{2})*(c+d\sqrt{2}) = (a+c)+(b+d)\sqrt{2} \in G deoarece a+c,b+d∈Za+c, b+d \in \mathbb{Z}.
22 puncte
Verificarea asociativității: operația ∗* este asociativă deoarece adunarea numerelor reale este asociativă, adică pentru orice x,y,z∈Gx,y,z \in G, (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x*y)*z = x*(y*z).
32 puncte
Determinarea elementului neutru: elementul neutru este 0=0+020 = 0 + 0\sqrt{2}, deoarece pentru orice x=a+b2∈Gx = a+b\sqrt{2} \in G, x∗0=(a+0)+(b+0)2=a+b2=xx*0 = (a+0) + (b+0)\sqrt{2} = a+b\sqrt{2} = x și 0∗x=x0*x = x.
42 puncte
Determinarea simetricului: pentru orice x=a+b2∈Gx = a+b\sqrt{2} \in G, simetricul este −a−b2-a - b\sqrt{2}, deoarece (a+b2)∗(−a−b2)=(a−a)+(b−b)2=0(a+b\sqrt{2})*(-a - b\sqrt{2}) = (a - a) + (b - b)\sqrt{2} = 0.
52 puncte
Concluzie: (G,∗)(G, *) este un grup, deoarece verifică toate axiomele (închidere, asociativitate, existența elementului neutru și a simetricului).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2GrupuriTeoria Mulțimilor
Considerăm grupul (Z6,+6)(\mathbb{Z}_6, +_6), unde +6+_6 este adunarea modulo 6. Determinați toate subgrupurile acestui grup și arătați că ordinul fiecărui subgrup divide ordinul grupului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Listează elementele grupului: Z6={0,1,2,3,4,5}\mathbb{Z}_6 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} și determină subgrupurile posibile folosind proprietățile subgrupurilor.
23 puncte
Verifică fiecare submulțime candidată pentru a fi subgrup, verificând închiderea, existența elementului neutru și a inverselor.
33 puncte
Demonstrează că ordinul subgrupului divide ordinul grupului, aplicând teorema lui Lagrange sau argumente elementare pentru grupuri ciclice.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3GrupuriLogică matematică
Fie (G,∗)(G, *) un grup și a,b∈Ga, b \in G astfel încât a2=ea^2 = e și b2=eb^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că dacă ab=baab = ba, atunci (ab)2=e(ab)^2 = e.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Enunță ipotezele: a,b∈Ga, b \in G, a2=ea^2 = e, b2=eb^2 = e, ab=baab = ba, și concluzia de demonstrat: (ab)2=e(ab)^2 = e.
23 puncte
Folosește comutativitatea ab=baab = ba pentru a rescrie (ab)2=(ab)(ab)=a(ba)b(ab)^2 = (ab)(ab) = a(ba)b; deoarece ab=baab = ba, aceasta devine a(ab)ba(ab)b.
34 puncte
Aplică asociativitatea: a(ab)b=(aa)(bb)=a2∗b2a(ab)b = (aa)(bb) = a^2 * b^2; folosind ipotezele a2=ea^2 = e și b2=eb^2 = e, obținem e∗e=ee * e = e, deci (ab)2=e(ab)^2 = e.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4GrupuriLegi de compoziție
Considerăm grupul (Z6,+6)(\mathbb{Z}_6, +_6) al claselor de resturi modulo 6 cu adunarea modulo 6. Determinați toate subgrupurile lui Z6\mathbb{Z}_6 și verificați dacă mulțimea H={[0],[2],[4]}H = \{ [0], [2], [4] \} este subgrup.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Elementele lui Z6\mathbb{Z}_6 sunt [0],[1],[2],[3],[4],[5][0], [1], [2], [3], [4], [5]. Pentru HH, verificăm închiderea: [2]+6[2]=[4][2]+_6[2]=[4], [2]+6[4]=[0][2]+_6[4]=[0], [4]+6[4]=[2][4]+_6[4]=[2], și toate sumele modulo 6 ale elementelor din HH rămân în HH, deci HH este închisă față de +6+_6.
23 puncte
Elementul neutru [0]∈H[0] \in H. Simetricele: [0]′=[0][0]'=[0], [2]′=[4][2]'=[4] deoarece [2]+6[4]=[0][2]+_6[4]=[0], [4]′=[2][4]'=[2], deci toate simetricele sunt în HH.
32 puncte
Subgrupurile lui Z6\mathbb{Z}_6 sunt generate de divizorii lui 6: ⟨[1]⟩=Z6\langle [1] \rangle = \mathbb{Z}_6, ⟨[2]⟩={[0],[2],[4]}\langle [2] \rangle = \{ [0], [2], [4] \}, ⟨[3]⟩={[0],[3]}\langle [3] \rangle = \{ [0], [3] \}, și ⟨[0]⟩={[0]}\langle [0] \rangle = \{ [0] \}.
42 puncte
HH coincide cu ⟨[2]⟩\langle [2] \rangle, deci este subgrup. Justificare: HH este nevidă, închisă, conține elementul neutru și simetricele, satisfăcând definiția subgrupului.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5GrupuriLegi de compoziție
Fie grupul (Z,+)(\mathbb{Z}, +) al numerelor întregi cu adunarea și grupul (Z4,+)(\mathbb{Z}_4, +) al claselor de resturi modulo 4. Determinați toate homomorfismele de grupuri de la Z\mathbb{Z} la Z4\mathbb{Z}_4.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Un homomorfism de grupuri f:Z→Z4f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_4 este o funcție astfel încât f(m+n)=f(m)+f(n)f(m+n) = f(m) + f(n) pentru orice m,n∈Zm, n \in \mathbb{Z}.
24 puncte
Deoarece Z\mathbb{Z} este generat de 11, homomorfismul ff este complet determinat de f(1)f(1). Fie a=f(1)∈Z4a = f(1) \in \mathbb{Z}_4. Atunci, pentru orice n∈Zn \in \mathbb{Z}, f(n)=n⋅af(n) = n \cdot a, unde n⋅an \cdot a reprezintă adunarea lui aa cu ea însăși de nn ori în Z4\mathbb{Z}_4.
33 puncte
Elementele lui Z4\mathbb{Z}_4 sunt {0,1,2,3}\{0, 1, 2, 3\}. Astfel, posibilele valori pentru aa sunt 0,1,2,30, 1, 2, 3. Obținem homomorfismele: f0(n)=0f_0(n) = 0, f1(n)=n⋅1=nmod  4f_1(n) = n \cdot 1 = n \mod 4, f2(n)=n⋅2=2nmod  4f_2(n) = n \cdot 2 = 2n \mod 4, f3(n)=n⋅3=3nmod  4f_3(n) = n \cdot 3 = 3n \mod 4.
41 punct
Se verifică direct că fiecare funcție fif_i, cu i∈{0,1,2,3}i \in \{0,1,2,3\}, satisface fi(m+n)=fi(m)+fi(n)f_i(m+n) = f_i(m) + f_i(n) pentru orice m,n∈Zm, n \in \mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6GrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie G=Z6G = \mathbb{Z}_6 mulțimea claselor de resturi modulo 6 cu operația de adunare. Arătați că (G,+)(G, +) este un grup abelian. Apoi, determinați toate subgrupurile lui GG.
Ușor#7GrupuriLegi de compoziție
Fie mulțimea G=ZG = \mathbb{Z} și operația ∗\ast definită prin a∗b=a+b+1a \ast b = a + b + 1 pentru orice a,b∈Ga, b \in G. Verificați dacă (G,∗)(G, \ast) este un grup.
Ușor#8Grupuri
În grupul (Z6,+)(\mathbb{Z}_6, +), determinați toate elementele de ordin 3 și arătați că mulțimea acestora formează un subgrup.
Ușor#9Grupuri
Fie grupul ciclic G=⟨a⟩G = \langle a \rangle de ordin 8, unde operația este înmulțirea. a) Enumerați toate elementele lui GG. b) Determinați toate subgrupurile lui GG. c) Calculați a5⋅a−3a^5 \cdot a^{-3}.
Ușor#10GrupuriNumere Complexe
Considerăm mulțimea G={z∈C∣∣z∣=1}G = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} cu operația de înmulțire a numerelor complexe. Arătați că (G,⋅)(G, \cdot) este un grup. Demonstrați apoi că acest grup este comutativ.
Ușor#11GrupuriNumere Complexe
Fie mulțimea G={cos⁡θ+isin⁡θ∣θ∈R}G = \{ \cos \theta + i \sin \theta \mid \theta \in \mathbb{R} \} și operația de înmulțire a numerelor complexe. Arătați că (G,⋅)(G, \cdot) este un grup abelian.
Ușor#12GrupuriLegi de compoziție
Fie grupul (Z6,+6)(\mathbb{Z}_6, +_6), unde +6+_6 este adunarea modulo 6. Verificați dacă submulțimea H={0,2,4}H = \{ 0, 2, 4 \} este subgrup al acestuia.
Ușor#13GrupuriMatriciDeterminanți
Considerăm mulțimea H={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}H = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Arătați că HH este un grup în raport cu înmulțirea matricelor.
Ușor#14GrupuriNumere Complexe
Fie mulțimea G={z∈C∣∣z∣=1}G = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} și operația de înmulțire a numerelor complexe. Arătați că (G,⋅)(G, \cdot) este un grup.
Ușor#15GrupuriNumere Complexe
Fie mulțimea M={z∈C∣∣z∣=1}M = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} cu operația de înmulțire a numerelor complexe. Demonstrați că (M,⋅)(M, \cdot) este un grup abelian.

Și alte 45 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Accesează toate cele 60 probleme de Grupuri cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.