Probleme de nivel mediu de Inducție matematică

Clasa a 9-a • 67 probleme de nivel mediu

Ușor (31)Toate
Mediu#1Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificarea pentru n=1n=1. Se calculează: ∑k=11k3=13=1\sum_{k=1}^{1} k^3 = 1^3 = 1 și (1⋅22)2=12=1\left( \frac{1 \cdot 2}{2} \right)^2 = 1^2 = 1, deci egalitatea este adevărată.
22 puncte
Ipoteza de inducție: se presupune că pentru un n≥1n \geq 1, egalitatea este adevărată, adică ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
36 puncte
Demonstrația pentru n+1n+1. Se calculează ∑k=1n+1k3=∑k=1nk3+(n+1)3\sum_{k=1}^{n+1} k^3 = \sum_{k=1}^{n} k^3 + (n+1)^3. Folosind ipoteza de inducție, acesta devine (n(n+1)2)2+(n+1)3\left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 + (n+1)^3. Se factorizează (n+1)2(n+1)^2: (n+1)2(n24+n+1)=(n+1)2(n2+4n+44)=(n+1)2(n+2)24=((n+1)(n+2)2)2(n+1)^2 \left( \frac{n^2}{4} + n+1 \right) = (n+1)^2 \left( \frac{n^2 + 4n + 4}{4} \right) = (n+1)^2 \frac{(n+2)^2}{4} = \left( \frac{(n+1)(n+2)}{2} \right)^2, ceea ce demonstrează egalitatea pentru n+1n+1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Inducție matematicăIdentități algebrice
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
12 puncte
Verificăm pentru n=1n=1. Avem 13=11^3 = 1 și (1(1+1)2)2=(22)2=1\left( \frac{1(1+1)}{2} \right)^2 = \left( \frac{2}{2} \right)^2 = 1, deci egalitatea este adevărată.
28 puncte
Presupunem că egalitatea este adevărată pentru n=kn=k, adică ∑i=1ki3=(k(k+1)2)2\sum_{i=1}^{k} i^3 = \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2. Demonstrăm pentru n=k+1n=k+1: ∑i=1k+1i3=∑i=1ki3+(k+1)3=(k(k+1)2)2+(k+1)3\sum_{i=1}^{k+1} i^3 = \sum_{i=1}^{k} i^3 + (k+1)^3 = \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2 + (k+1)^3. Calculăm: (k(k+1)2)2+(k+1)3=k2(k+1)24+(k+1)3=(k+1)2(k24+k+1)=(k+1)2(k2+4k+44)=(k+1)2(k+2)24=((k+1)(k+2)2)2\left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2 + (k+1)^3 = \frac{k^2 (k+1)^2}{4} + (k+1)^3 = (k+1)^2 \left( \frac{k^2}{4} + k+1 \right) = (k+1)^2 \left( \frac{k^2 + 4k + 4}{4} \right) = (k+1)^2 \frac{(k+2)^2}{4} = \left( \frac{(k+1)(k+2)}{2} \right)^2, care este exact expresia pentru n=k+1n=k+1. Prin principiul inducției matematice, egalitatea este adevărată pentru orice n≥1n \geq 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Inducție matematicăȘiruri de numere realeIdentități algebrice
Să se demonstreze prin inducție matematică că pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, are loc egalitatea ∑k=1n1k(k+1)=nn+1\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}. Apoi, folosind această relație, să se calculeze limita șirului definit prin xn=∑k=1n1k(k+1)x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Verificarea pentru n=1n=1: 11⋅2=12\frac{1}{1\cdot2} = \frac{1}{2} și 11+1=12\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}, deci egalitatea este adevărată.
22 puncte
Presupunem adevărat pentru n=pn=p, adică ∑k=1p1k(k+1)=pp+1\sum_{k=1}^{p} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{p}{p+1}.
33 puncte
Demonstrația pentru n=p+1n=p+1: ∑k=1p+11k(k+1)=pp+1+1(p+1)(p+2)=p(p+2)+1(p+1)(p+2)=p2+2p+1(p+1)(p+2)=(p+1)2(p+1)(p+2)=p+1p+2\sum_{k=1}^{p+1} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{p}{p+1} + \frac{1}{(p+1)(p+2)} = \frac{p(p+2) + 1}{(p+1)(p+2)} = \frac{p^2+2p+1}{(p+1)(p+2)} = \frac{(p+1)^2}{(p+1)(p+2)} = \frac{p+1}{p+2}, ceea ce corespunde formulei pentru n=p+1n=p+1.
42 puncte
Concluzia inducției: egalitatea este adevărată pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
52 puncte
Calculul limitei: lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞nn+1=1\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Inducție matematicăNumere ComplexeTrigonometrie
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural nn, (1+i)n=2n/2(cos⁡nπ4+isin⁡nπ4)(1+i)^n = 2^{n/2} \left( \cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac{n\pi}{4} \right), unde ii este unitatea imaginară.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificarea pentru n=1n=1: (1+i)1=1+i(1+i)^1 = 1+i, și 21/2(cos⁡π4+isin⁡π4)=2(22+i22)=1+i2^{1/2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 1+i, adevărat.
23 puncte
Presupunerea inductivă: pentru un k≥1k \geq 1, (1+i)k=2k/2(cos⁡kπ4+isin⁡kπ4)(1+i)^k = 2^{k/2} \left( \cos \frac{k\pi}{4} + i \sin \frac{k\pi}{4} \right).
35 puncte
Demonstrația pentru n=k+1n=k+1: (1+i)k+1=(1+i)k(1+i)=2k/2(cos⁡kπ4+isin⁡kπ4)⋅2(cos⁡π4+isin⁡π4)=2(k+1)/2(cos⁡(kπ4+π4)+isin⁡(kπ4+π4))=2(k+1)/2(cos⁡(k+1)π4+isin⁡(k+1)π4)(1+i)^{k+1} = (1+i)^k (1+i) = 2^{k/2} \left( \cos \frac{k\pi}{4} + i \sin \frac{k\pi}{4} \right) \cdot \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) = 2^{(k+1)/2} \left( \cos \left( \frac{k\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{k\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \right) \right) = 2^{(k+1)/2} \left( \cos \frac{(k+1)\pi}{4} + i \sin \frac{(k+1)\pi}{4} \right), folosind identitățile trigonometrice pentru suma unghiurilor.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Inducție matematicăȘiruri de numere realeIdentități algebrice
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea ∑k=1n(2k−1)2=n(2n−1)(2n+1)3\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
12 puncte
Verificare pentru n=1n=1: ∑k=11(2⋅1−1)2=12=1\sum_{k=1}^{1} (2 \cdot 1 - 1)^2 = 1^2 = 1 și 1(2⋅1−1)(2⋅1+1)3=1⋅1⋅33=1\frac{1(2 \cdot 1 - 1)(2 \cdot 1 + 1)}{3} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 3}{3} = 1, deci egalitatea este adevărată.
28 puncte
Presupunem că egalitatea este adevărată pentru nn, adică ∑k=1n(2k−1)2=n(2n−1)(2n+1)3\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}. Demonstrație pentru n+1n+1: ∑k=1n+1(2k−1)2=∑k=1n(2k−1)2+(2(n+1)−1)2=n(2n−1)(2n+1)3+(2n+1)2=n(2n−1)(2n+1)3+3(2n+1)23=(2n+1)[n(2n−1)+3(2n+1)]3=(2n+1)(2n2−n+6n+3)3=(2n+1)(2n2+5n+3)3\sum_{k=1}^{n+1} (2k-1)^2 = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 + (2(n+1)-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3} + (2n+1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3} + \frac{3(2n+1)^2}{3} = \frac{(2n+1)[n(2n-1) + 3(2n+1)]}{3} = \frac{(2n+1)(2n^2 - n + 6n + 3)}{3} = \frac{(2n+1)(2n^2 + 5n + 3)}{3}. Factorizăm: 2n2+5n+3=(2n+3)(n+1)2n^2 + 5n + 3 = (2n+3)(n+1), deci (2n+1)(2n+3)(n+1)3=(n+1)(2(n+1)−1)(2(n+1)+1)3\frac{(2n+1)(2n+3)(n+1)}{3} = \frac{(n+1)(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)}{3}, ceea ce demonstrează egalitatea pentru n+1n+1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Inducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr întreg n≥0n \geq 0, numărul 7n+3n+17^{n} + 3^{n+1} este divizibil cu 4.
Mediu#7Inducție matematicăNumere ComplexeTrigonometrie
Fie z=1+iz = 1 + i. Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, zn=2n/2(cos⁡nπ4+isin⁡nπ4)z^n = 2^{n/2} \left( \cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac{n\pi}{4} \right).
Mediu#8Inducție matematicăȘiruri de numere realeIdentități algebrice
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \ge 1, are loc egalitatea 12+22+32+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)61^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Mediu#9Inducție matematicăNumere ComplexeTrigonometrie
Fie numărul complex z=1+iz = 1 + i. Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \ge 1, zn=2n/2(cos⁡nπ4+isin⁡nπ4)z^n = 2^{n/2} \left( \cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac{n\pi}{4} \right).
Mediu#10Inducție matematicăCombinatoricăTeoria Mulțimilor
Demonstrați prin inducție matematică că o mulțime cu n elemente are exact 2n2^n submulțimi, unde n este un număr natural.
Mediu#11Inducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere RealeȘiruri de numere reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Mediu#12Inducție matematicăMatematică financiarăProgresii Geometrice
Considerăm o depunere anuală constantă de PP lei la începutul fiecărui an, cu o rată anuală a dobânzii de rr (sub formă zecimală). Suma totală acumulată după nn ani, notată SnS_n, se calculează cu dobândă compusă. Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, Sn=P(1+r)n−1r(1+r)S_n = P \frac{(1+r)^n - 1}{r} (1+r).
Mediu#13Inducție matematicăCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice n∈Nn \in \mathbb{N}, suma combinatorică ∑k=0n(nk)=2n\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n.
Mediu#14Inducție matematicăIdentități algebriceȘiruri de numere reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Mediu#15Inducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural nn, numărul 11n+2+122n+111^{n+2} + 12^{2n+1} este divizibil cu 133.

Și alte 52 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Accesează toate cele 67 probleme de Inducție matematică cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.