Probleme ușoare de Inducție matematică

Clasa a 9-a • 31 probleme de nivel ușor

Mediu (67)Toate
Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificarea pentru n=1: a1=1a_1 = 1 și 21−1=12^1 - 1 = 1, deci egalitatea este adevărată.
23 puncte
Presupunem că pentru un k≥1k \geq 1, ak=2k−1a_k = 2^k - 1 (ipoteza de inducție).
35 puncte
Demonstrația pentru n=k+1: ak+1=2ak+1=2(2k−1)+1=2k+1−2+1=2k+1−1a_{k+1} = 2a_k + 1 = 2(2^k - 1) + 1 = 2^{k+1} - 2 + 1 = 2^{k+1} - 1, ceea ce confirmă formula.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificarea pentru n=1: x1−1=x−1x^1 - 1 = x-1, care este evident divizibil cu x−1x-1.
23 puncte
Presupunem că pentru un k≥1k \geq 1, xk−1x^k - 1 este divizibil cu x−1x-1, adică există un polinom Q(x) astfel încât xk−1=(x−1)Q(x)x^k - 1 = (x-1)Q(x).
35 puncte
Demonstrația pentru n=k+1: xk+1−1=x⋅xk−1=x(xk−1)+x−1=x(x−1)Q(x)+(x−1)=(x−1)(xQ(x)+1)x^{k+1} - 1 = x \cdot x^k - 1 = x(x^k - 1) + x - 1 = x(x-1)Q(x) + (x-1) = (x-1)(xQ(x) + 1), deci divizibil cu x−1x-1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificarea pentru n=1n=1. Se calculează a1=2a_1 = 2 din enunț și 3⋅21−1−1=3⋅1−1=23 \cdot 2^{1-1} - 1 = 3 \cdot 1 - 1 = 2, deci egalitatea este adevărată.
22 puncte
Ipoteza de inducție: se presupune că pentru un n≥1n \geq 1, are loc an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1.
36 puncte
Demonstrația pentru n+1n+1. Folosind relația de recurență, an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1. Înlocuind ipoteza, an+1=2(3⋅2n−1−1)+1=3⋅2n−2+1=3⋅2n−1a_{n+1} = 2(3 \cdot 2^{n-1} - 1) + 1 = 3 \cdot 2^n - 2 + 1 = 3 \cdot 2^n - 1. Dar 3⋅2(n+1)−1−1=3⋅2n−13 \cdot 2^{(n+1)-1} - 1 = 3 \cdot 2^n - 1, deci an+1=3⋅2(n+1)−1−1a_{n+1} = 3 \cdot 2^{(n+1)-1} - 1, ceea ce demonstrează afirmația pentru n+1n+1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2+ana_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an<2a_n < 2 pentru toți n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
12 puncte
Verificăm pentru n=1n=1. Avem a1=1a_1 = 1, și 1<21 < 2, deci afirmația este adevărată.
28 puncte
Presupunem că afirmația este adevărată pentru n=kn=k, adică ak<2a_k < 2. Demonstrăm pentru n=k+1n=k+1: ak+1=2+aka_{k+1} = \sqrt{2 + a_k}. Din ipoteza inductivă, ak<2a_k < 2, deci 2+ak<2+2=42 + a_k < 2 + 2 = 4. Atunci 2+ak<4=2\sqrt{2 + a_k} < \sqrt{4} = 2, deci ak+1<2a_{k+1} < 2. Prin principiul inducției matematice, an<2a_n < 2 pentru toți n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Inducție matematicăProgresii AritmeticeIdentități algebrice
Folosind inducția matematică, demonstrați că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1n(3k−1)=n(3n+1)2\sum_{k=1}^{n} (3k-1) = \frac{n(3n+1)}{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm pentru n=1n=1: ∑k=11(3k−1)=3⋅1−1=2\sum_{k=1}^{1} (3k-1) = 3\cdot1-1=2 și 1⋅(3⋅1+1)2=42=2\frac{1\cdot(3\cdot1+1)}{2} = \frac{4}{2}=2, deci egalitatea este adevărată.
22 puncte
Presupunem că egalitatea este adevărată pentru un n≥1n \geq 1, adică ∑k=1n(3k−1)=n(3n+1)2\sum_{k=1}^{n} (3k-1) = \frac{n(3n+1)}{2} (ipoteza de inducție).
35 puncte
Demonstrăm pentru n+1n+1: ∑k=1n+1(3k−1)=∑k=1n(3k−1)+(3(n+1)−1)=n(3n+1)2+(3n+2)=n(3n+1)+2(3n+2)2=3n2+n+6n+42=3n2+7n+42\sum_{k=1}^{n+1} (3k-1) = \sum_{k=1}^{n} (3k-1) + (3(n+1)-1) = \frac{n(3n+1)}{2} + (3n+2) = \frac{n(3n+1) + 2(3n+2)}{2} = \frac{3n^2+n+6n+4}{2} = \frac{3n^2+7n+4}{2}. Pe de altă parte, (n+1)(3(n+1)+1)2=(n+1)(3n+4)2=3n2+4n+3n+42=3n2+7n+42\frac{(n+1)(3(n+1)+1)}{2} = \frac{(n+1)(3n+4)}{2} = \frac{3n^2+4n+3n+4}{2} = \frac{3n^2+7n+4}{2}. Cele două expresii sunt egale, deci egalitatea este adevărată pentru n+1n+1.
41 punct
Prin principiul inducției matematice, egalitatea este adevărată pentru orice n≥1n \geq 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1=2 și an+1=2an+3a_{n+1} = 2a_n + 3 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, an=5⋅2n−1−3a_n = 5 \cdot 2^{n-1} - 3.
Ușor#7Inducție matematicăMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră matricea A=(1101)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Să se demonstreze prin inducție matematică că pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, An=(1n01)A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Folosind acest rezultat, să se rezolve sistemul de ecuații liniare: {x+ny=5y=2\begin{cases} x + ny = 5 \\ y = 2 \end{cases}, unde n∈N∗n \in \mathbb{N}^* este același exponent din demonstrație, iar x,yx, y sunt necunoscute reale.
Ușor#8Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural nenul nn, are loc egalitatea: 1+3+5+⋯+(2n−1)=n21 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2.
Ușor#9Inducție matematicăMatrici
Fie matricea A=(1101)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, An=(1n01)A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
Ușor#10Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Folosind inducția matematică, demonstrați că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1n1k(k+1)=nn+1\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}.
Ușor#11Inducție matematicăȘiruri de numere realeIdentități algebrice
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=an+(2n+1)a_{n+1} = a_n + (2n+1) pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=n2a_n = n^2 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#12Inducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n, are loc egalitatea 13+23+…+n3=(n(n+1)2)21^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#13Inducție matematicăȘiruri de numere realeIdentități algebrice
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=3an−2a_{n+1} = 3a_n - 2 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2+3n−1a_n = 2 + 3^{n-1} pentru orice n≥1n \geq 1.
Ușor#14Inducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Fie P(n)P(n) afirmația: 1⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=n(n+1)(n+2)31 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} pentru orice număr natural n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că P(n)P(n) este adevărată pentru toate n≥1n \geq 1.
Ușor#15Inducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere RealeȘiruri de numere reale
Folosind metoda inducției matematice, demonstrați că pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, are loc egalitatea: ∑k=1n1k(k+1)=nn+1\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}.

Și alte 16 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Accesează toate cele 31 probleme de Inducție matematică cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.