Probleme grele de Inele și corpuri

Clasa a 12-a • 2 probleme de nivel greu

Ușor (16)Mediu (206)Toate
Greu#1Inele și corpuriPolinoameSisteme de Ecuații Liniare
În inelul polinoamelor Z6[x]\mathbb{Z}_6[x], un polinom f(x)f(x) se numește divizor al lui zero dacă există un polinom nenul g(x)∈Z6[x]g(x) \in \mathbb{Z}_6[x] astfel încât f(x)⋅g(x)=0f(x) \cdot g(x) = 0. Determinați toate polinoamele de forma f(x)=ax2+bx+c∈Z6[x]f(x) = ax^2 + bx + c \in \mathbb{Z}_6[x], cu a,b,c∈Z6a, b, c \in \mathbb{Z}_6, care sunt divizori ai lui zero.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se folosește faptul că un polinom f(x)∈Z6[x]f(x) \in \mathbb{Z}_6[x] este divizor al lui zero dacă și numai dacă există un întreg d∈Z6d \in \mathbb{Z}_6, d≠0d \neq 0, astfel încât dd divide toți coeficienții a,b,ca, b, c și gcd⁡(d,6)≠1\gcd(d, 6) \neq 1.
24 puncte
Se analizează valorile posibile pentru dd: 2, 3, 4, 6. Pentru fiecare, se rezolvă condițiile asupra lui a,b,ca, b, c: dacă d=2d=2, atunci a,b,c∈{0,2,4}a, b, c \in \{0,2,4\}; dacă d=3d=3, atunci a,b,c∈{0,3}a, b, c \in \{0,3\}; dacă d=4d=4, atunci a,b,c∈{0,2,4}a, b, c \in \{0,2,4\} (dar gcd⁡(4,6)=2\gcd(4,6)=2, deci se suprapune cu d=2d=2); dacă d=6d=6, atunci a=b=c=0a=b=c=0, dar polinomul zero nu este considerat divizor al lui zero. Se exclud cazurile în care f(x)f(x) este polinomul zero.
33 puncte
Se listează toate polinoamele f(x)f(x) care satisfac condițiile: cele cu toți coeficienții divizibili cu 2 sau cu 3, dar nu toți zero. De exemplu, 2x2+4x+22x^2 + 4x + 2, 3x2+33x^2 + 3, etc. Se specifică că numărul total de astfel de polinoame este finit și se pot enumera.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#2Inele și corpuriPolinoameAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie inelul polinoamelor Q[x]\mathbb{Q}[x] cu coeficienți raționali. Se consideră polinomul f(x)=x2−2f(x) = x^2 - 2. a) Arătați că idealul generat de f(x)f(x) este maximal, deci inelul factor Q[x]/(x2−2)\mathbb{Q}[x] / (x^2 - 2) este un corp. b) Descrieți elementele acestui corp și arătați că este izomorf cu corpul Q(2)\mathbb{Q}(\sqrt{2}).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Arătarea că idealul (x2−2)(x^2 - 2) este maximal: Polinomul x2−2x^2 - 2 este ireductibil în Q[x]\mathbb{Q}[x] deoarece nu are rădăcini raționale (rădăcinile sunt ±2\pm\sqrt{2}, care nu sunt raționale). Într-un inel principal, idealul generat de un polinom ireductibil este maximal.
23 puncte
Concluzia că inelul factor este corp: Dacă un ideal este maximal într-un inel comutativ cu unitate, atunci inelul factor este corp. Astfel, Q[x]/(x2−2)\mathbb{Q}[x] / (x^2 - 2) este corp.
33 puncte
Descrierea și izomorfismul: Elementele lui Q[x]/(x2−2)\mathbb{Q}[x] / (x^2 - 2) sunt clase de echivalență de forma a+bxˉa + b\bar{x}, unde a,b∈Qa,b \in \mathbb{Q} și xˉ2=2\bar{x}^2 = 2. Aceasta definește o structură izomorfă cu Q(2)\mathbb{Q}(\sqrt{2}), prin corespondența a+bxˉ↔a+b2a + b\bar{x} \leftrightarrow a + b\sqrt{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Accesează toate cele 2 probleme de Inele și corpuri cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.