Probleme ușoare de Inele și corpuri

Clasa a 12-a • 16 probleme de nivel ușor

Mediu (206)Greu (2)Toate
Ușor#1Inele și corpuriGrupuri
Fie inelul (Z6,+,⋅)(\mathbb{Z}_6, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 6. Arătați că acest inel nu este un corp. Găsiți toate elementele inversabile din acest inel și determinați dacă mulțimea acestora formează un grup sub înmulțire.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Arătăm că Z6\mathbb{Z}_6 nu este corp deoarece există divizori ai lui zero. De exemplu, 2⋅3=0mod  62 \cdot 3 = 0 \mod 6, cu 2≠02 \neq 0 și 3≠03 \neq 0, ceea ce înseamnă că nu toate elementele nenule sunt inversabile, deci condiția de corp nu este îndeplinită.
24 puncte
Determinăm elementele inversabile din Z6\mathbb{Z}_6. Un element a∈Z6a \in \mathbb{Z}_6 este inversabil dacă și numai dacă gcd⁡(a,6)=1\gcd(a,6)=1. Elementele care îndeplinesc această condiție sunt 11 și 55, deoarece gcd⁡(1,6)=1\gcd(1,6)=1 și gcd⁡(5,6)=1\gcd(5,6)=1. Verificăm: 1⋅1=1mod  61 \cdot 1 = 1 \mod 6 și 5⋅5=25≡1mod  65 \cdot 5 = 25 \equiv 1 \mod 6.
33 puncte
Mulțimea elementelor inversabile este U(Z6)={1,5}U(\mathbb{Z}_6) = \{1,5\}. Verificăm că aceasta formează un grup sub înmulțire: închidere (1⋅1=11 \cdot 1=1, 1⋅5=51 \cdot 5=5, 5⋅1=55 \cdot 1=5, 5⋅5=15 \cdot 5=1), asociativitatea (moștenită din inel), element neutru 11, și fiecare element are invers (inversul lui 11 este 11, al lui 55 este 55).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Inele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere RealeLegi de compoziție
Fie inelul Z6\mathbb{Z}_6 al claselor de resturi modulo 6. Determinați toate elementele inversabile și toate divizorii lui zero din Z6\mathbb{Z}_6. Este Z6\mathbb{Z}_6 un corp?

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Elementele lui Z6\mathbb{Z}_6 sunt {0,1,2,3,4,5}\{0,1,2,3,4,5\}, reprezentând clasele de resturi modulo 6.
23 puncte
Un element a∈Z6a \in \mathbb{Z}_6 este inversabil dacă și numai dacă gcd⁡(a,6)=1\gcd(a,6)=1. Astfel, se calculează: gcd⁡(1,6)=1\gcd(1,6)=1, gcd⁡(5,6)=1\gcd(5,6)=1, iar pentru celelalte, gcd⁡(2,6)=2\gcd(2,6)=2, gcd⁡(3,6)=3\gcd(3,6)=3, gcd⁡(4,6)=2\gcd(4,6)=2, deci elementele inversabile sunt 11 și 55, cu inversele 1−1=11^{-1}=1 și 5−1=55^{-1}=5.
32 puncte
Divizorii lui zero sunt elementele a≠0a \neq 0 pentru care există b≠0b \neq 0 cu a⋅b=0a \cdot b = 0 în Z6\mathbb{Z}_6. Prin verificare: 2⋅3=02 \cdot 3 = 0, 3⋅2=03 \cdot 2 = 0, 4⋅3=04 \cdot 3 = 0, deci divizorii lui zero sunt 2,3,42,3,4.
42 puncte
Deoarece Z6\mathbb{Z}_6 are divizori ai lui zero (de exemplu, 2⋅3=02 \cdot 3 = 0), nu poate fi corp, întrucât într-un corp toate elementele nenule sunt inversabile și nu există divizori ai lui zero.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Inele și corpuriLegi de compoziție
Fie inelul (Z6,+,⋅)(\mathbb{Z}_6, +, \cdot). Arătați că acesta nu este un corp. Determinați toate elementele inversabile (unități) și toate divizorii lui zero.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Definiți inelul Z6\mathbb{Z}_6 ca mulțimea {0,1,2,3,4,5}\{0,1,2,3,4,5\} cu adunarea și înmulțirea modulo 6.\n
23 puncte
Pentru a arăta că nu este un corp, demonstrați că elementul 22 nu are invers în Z6\mathbb{Z}_6, deoarece nu există xx astfel încât 2⋅x≡1(mod6)2 \cdot x \equiv 1 \pmod{6} (de exemplu, verificând toate elementele).\n
33 puncte
Elementele inversabile sunt acelea care sunt coprime cu 6. Astfel, unitățile sunt 11 și 55, deoarece gcd⁡(1,6)=1\gcd(1,6)=1 și gcd⁡(5,6)=1\gcd(5,6)=1; verificați că 1⋅1=11 \cdot 1 = 1 și 5⋅5=15 \cdot 5 = 1 modulo 6.\n
42 puncte
Divizorii lui zero sunt elementele aa pentru care există b≠0b \neq 0 cu a⋅b=0a \cdot b = 0 modulo 6. În Z6\mathbb{Z}_6, aceștia sunt 2,3,42,3,4 deoarece 2⋅3=02 \cdot 3 = 0, 3⋅2=03 \cdot 2 = 0, 4⋅3=04 \cdot 3 = 0 (modulo 6).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Inele și corpuriPolinoame
Fie corpul R\mathbb{R} al numerelor reale și inelul R[x]\mathbb{R}[x] al polinoamelor cu coeficienți reali. a) Arătați că polinomul p(x)=x2+1p(x) = x^2 + 1 este ireductibil în R[x]\mathbb{R}[x]. b) Determinați care dintre polinoamele f(x)=x2f(x) = x^2, g(x)=2x2+3x+1g(x) = 2x^2 + 3x + 1, h(x)=1h(x) = 1 sunt inversabile în R[x]\mathbb{R}[x].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru a), un polinom de gradul 2 este ireductibil peste R\mathbb{R} dacă discriminantul său este negativ. Pentru p(x)=x2+1p(x) = x^2 + 1, discriminantul este Δ=02−4⋅1⋅1=−4<0\Delta = 0^2 - 4\cdot1\cdot1 = -4 < 0, deci ecuația x2+1=0x^2 + 1 = 0 nu are soluții reale; astfel, p(x)p(x) nu poate fi descompus în factori de gradul I în R[x]\mathbb{R}[x] și este ireductibil.
23 puncte
Pentru b), în inelul R[x]\mathbb{R}[x], un polinom este inversabil dacă și numai dacă este polinom constant nenul, deoarece gradul produsului a două polinoame este suma gradelor și singurul polinom de grad 0 care are invers este constanta nenulă.
33 puncte
Aplicând aceasta: f(x)=x2f(x) = x^2 are gradul 2, deci nu este inversabil; g(x)=2x2+3x+1g(x) = 2x^2 + 3x + 1 are gradul 2, deci nu este inversabil; h(x)=1h(x) = 1 are gradul 0 și este nenul, deci este inversabil (inversul său este 11).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Inele și corpuriSisteme de Ecuații Liniare
Considerăm inelele (Z6,+,⋅)(\mathbb{Z}_6, +, \cdot) și (Z7,+,⋅)(\mathbb{Z}_7, +, \cdot). a) Determinați divizorii lui zero și elementele inversabile în Z6\mathbb{Z}_6. b) Verificați dacă Z7\mathbb{Z}_7 este un corp. c) Rezolvați ecuația 3x≡5(mod7)3x \equiv 5 \pmod{7}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Pentru \mathbb{Z}_6, elementele sunt {0,1,2,3,4,5}. Divizorii lui zero sunt elementele care nu sunt coprime cu 6: 2, 3 și 4 (deoarece 2 \cdot 3 \equiv 0 \mod 6, 3 \cdot 4 \equiv 0 \mod 6). Elementele inversabile (unități) sunt cele coprime cu 6: 1 și 5.
23 puncte
Pentru \mathbb{Z}_7, care este prim, orice element nenul are invers. De exemplu, inversul lui 3 este 5 deoarece 3 \cdot 5 \equiv 15 \equiv 1 \mod 7. Astfel, \mathbb{Z}_7 este un corp.
32 puncte
Rezolvarea ecuației 3x \equiv 5 \pmod{7}. Înmulțind ambii membri cu inversul lui 3 în \mathbb{Z}_7, care este 5, obținem x \equiv 5 \cdot 5 \equiv 25 \equiv 4 \mod 7. Deci soluția este x \equiv 4.
42 puncte
Concluzie: \mathbb{Z}_6 are divizori ai lui zero și nu este corp, în timp ce \mathbb{Z}_7 este corp, iar ecuația are soluție unică în \mathbb{Z}_7.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6Inele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere RealeLegi de compoziție
Considerăm inelul (Z6,+,⋅)(\mathbb{Z}_6, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 6. Determinați care elemente au invers multiplicativ și verificați dacă Z6\mathbb{Z}_6 este un corp.
Ușor#7Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Considerăm inelul Z6\mathbb{Z}_6 al claselor de resturi modulo 6. Determinați toate elementele inversabile (unități) și toate divizorii lui zero din acest inel. Stabiliți dacă Z6\mathbb{Z}_6 este corp.
Ușor#8Inele și corpuriSisteme de Ecuații Liniare
Fie inelul (Z5,+5,⋅5)(\mathbb{Z}_5, +_5, \cdot_5) al claselor de resturi modulo 5. Arătați că acesta este un corp. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația [2]x+[3]=[1][2]x + [3] = [1].
Ușor#9Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră inelul (Z5,+,⋅)(\mathbb{Z}_5, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 5. a) Calculați suma și produsul elementelor 2ˉ\bar{2} și 3ˉ\bar{3} în acest inel. b) Determinați toate elementele inversabile din Z5\mathbb{Z}_5. c) Arătați că Z5\mathbb{Z}_5 este un corp.
Ușor#10Inele și corpuriLegi de compoziție
Considerăm inelul Zn\mathbb{Z}_n al claselor de resturi modulo nn, cu n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. Pentru ce valori ale lui nn este Zn\mathbb{Z}_n un corp? Justificați răspunsul.
Ușor#11Inele și corpuriMatrici
Considerăm inelul (M2(R),+,⋅)(M_2(\mathbb{R}), +, \cdot) al matricilor pătratice de ordinul 2 cu elemente reale. Demonstrați că acesta nu este un corp, găsind un element care nu are invers. Apoi, determinați elementele inversabile din acest inel.
Ușor#12Inele și corpuriLegi de compoziție
Considerați inelul Z6={0,1,2,3,4,5}\mathbb{Z}_6 = \{0,1,2,3,4,5\} cu adunarea și înmulțirea modulo 6. a) Determinați elementele inversabile în acest inel. b) Arătați că Z6\mathbb{Z}_6 nu este un corp. c) Găsiți toate divizorii lui zero în Z6\mathbb{Z}_6.
Ușor#13Inele și corpuriLegi de compoziție
Fie inelul (Z6,+,⋅)(\mathbb{Z}_6, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 6. Determinați toate elementele inversabile și toți divizorii lui zero din Z6\mathbb{Z}_6. Arătați că Z6\mathbb{Z}_6 nu este un corp.
Ușor#14Inele și corpuriPolinoame
Fie R[X]\mathbb{R}[X] inelul polinoamelor cu coeficienți reali. Se consideră polinoamele f(X)=X2−2X+1f(X) = X^2 - 2X + 1 și g(X)=X−1g(X) = X - 1. a) Arătați că R[X]\mathbb{R}[X] este un inel comutativ cu unitate. b) Calculați f(X)⋅g(X)f(X) \cdot g(X) și determinați dacă f(X)f(X) sau g(X)g(X) sunt elemente inversabile în inel. c) Demonstrați că R[X]\mathbb{R}[X] nu este un corp.
Ușor#15Inele și corpuriSisteme de Ecuații Liniare
Fie Zn\mathbb{Z}_n inelul claselor de resturi modulo nn, unde nn este un număr natural, n≥2n \geq 2. a) Pentru n=6n = 6, verificați dacă Z6\mathbb{Z}_6 are divizori ai lui zero și determinați toți divizorii lui zero. b) Determinați pentru ce valori ale lui nn inelul Zn\mathbb{Z}_n este un corp. Justificați răspunsul. c) Rezolvați în Z7\mathbb{Z}_7 ecuația 3x+4=03x + 4 = 0.

Și alte 1 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Accesează toate cele 16 probleme de Inele și corpuri cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.