Probleme de nivel mediu de Inele și corpuri

Clasa a 12-a • 206 probleme de nivel mediu

Ușor (16)Greu (2)Toate
Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm închiderea la adunare și înmulțire. Pentru orice a+b2,c+d2∈Aa+b\sqrt{2}, c+d\sqrt{2} \in A, avem (a+b2)+(c+d2)=(a+c)+(b+d)2∈A(a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})=(a+c)+(b+d)\sqrt{2} \in A și (a+b2)⋅(c+d2)=(ac+2bd)+(ad+bc)2∈A(a+b\sqrt{2})\cdot(c+d\sqrt{2})=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2} \in A, deoarece a,b,c,d∈Za,b,c,d \in \mathbb{Z}.
23 puncte
Verificăm proprietățile algebrice: adunarea și înmulțirea sunt asociative și comutative (urmează din proprietățile numerelor reale). Elementul neutru la adunare este 0=0+02∈A0=0+0\sqrt{2} \in A, iar la înmulțire este 1=1+02∈A1=1+0\sqrt{2} \in A. Fiecare element a+b2a+b\sqrt{2} are opusul −a−b2∈A-a-b\sqrt{2} \in A.
32 puncte
Verificăm distributivitatea: pentru orice x,y,z∈Ax,y,z \in A, avem x⋅(y+z)=x⋅y+x⋅zx\cdot(y+z)=x\cdot y + x\cdot z, ceea ce rezultă din distributivitatea înmulțirii față de adunare în numerele reale.
43 puncte
Pentru a determina dacă AA este corp, verificăm existența inverselor multiplicative pentru elementele nenule. Fie a+b2≠0a+b\sqrt{2} \neq 0; inversul său în numerele reale este a−b2a2−2b2\frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}. Acest invers aparține lui AA doar dacă aa2−2b2∈Z\frac{a}{a^2-2b^2} \in \mathbb{Z} și −ba2−2b2∈Z\frac{-b}{a^2-2b^2} \in \mathbb{Z}, ceea ce nu este adevărat pentru toate a,b∈Za,b \in \mathbb{Z} cu a2−2b2≠0a^2-2b^2 \neq 0. De exemplu, pentru 2+22+\sqrt{2}, inversul 2−22\frac{2-\sqrt{2}}{2} nu este în AA, deci AA nu este corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm închiderea la adunare și înmulțire. Pentru orice (a,b),(c,d)∈Z×Z(a,b), (c,d) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, suma (a+c,b+d)(a+c, b+d) și produsul (ac−bd,ad+bc)(ac-bd, ad+bc) sunt în Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, deoarece a,b,c,d∈Za,b,c,d \in \mathbb{Z}.
23 puncte
Verificăm proprietățile algebrice: adunarea este asociativă și comutativă (urmează din adunarea întregilor). Elementul neutru la adunare este (0,0)(0,0). Înmulțirea este asociativă și comutativă (se poate verifica prin calcul direct). Elementul neutru la înmulțire este (1,0)(1,0), deoarece (a,b)⋅(1,0)=(a⋅1−b⋅0,a⋅0+b⋅1)=(a,b)(a,b)\cdot(1,0)=(a\cdot1 - b\cdot0, a\cdot0 + b\cdot1)=(a,b).
32 puncte
Verificăm distributivitatea: pentru orice (a,b),(c,d),(e,f)∈Z×Z(a,b), (c,d), (e,f) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, avem (a,b)⋅((c,d)+(e,f))=(a,b)⋅(c,d)+(a,b)⋅(e,f)(a,b)\cdot((c,d)+(e,f)) = (a,b)\cdot(c,d) + (a,b)\cdot(e,f), ceea ce se demonstrează prin calcul explicit.
43 puncte
Pentru a verifica dacă este corp, căutăm inverse multiplicative. Fie (a,b)≠(0,0)(a,b) \neq (0,0); căutăm (x,y)(x,y) astfel încât (a,b)⋅(x,y)=(1,0)(a,b)\cdot(x,y)=(1,0). Acest sistem este: {ax−by=1ay+bx=0\begin{cases} ax - by = 1 \\ ay + bx = 0 \end{cases}. Din a doua ecuație, y=−baxy = -\frac{b}{a}x dacă a≠0a \neq 0, sau se analizează cazuri. Soluțiile în Z\mathbb{Z} există doar dacă a2+b2=1a^2+b^2 = 1 (de exemplu, pentru (1,0)(1,0) inversul este (1,0)(1,0), pentru (0,1)(0,1) inversul este (0,−1)(0,-1)). Pentru alte elemente, cum ar fi (2,0)(2,0), sistemul nu are soluții întregi, deci nu toate elementele nenule au inverse în Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, așadar inelul nu este corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se arată că pentru orice A,B∈MA, B \in M, cu A=(a1b10a1)A = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ 0 & a_1 \end{pmatrix} și B=(a2b20a2)B = \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ 0 & a_2 \end{pmatrix}, suma A+B=(a1+a2b1+b20a1+a2)∈MA+B = \begin{pmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2 \\ 0 & a_1+a_2 \end{pmatrix} \in M, deci MM este închisă la adunare.
22 puncte
Se calculează produsul A⋅B=(a1a2a1b2+b1a20a1a2)∈MA \cdot B = \begin{pmatrix} a_1a_2 & a_1b_2 + b_1a_2 \\ 0 & a_1a_2 \end{pmatrix} \in M, deci MM este închisă la înmulțire.
32 puncte
Se verifică axiomele inelului: adunarea este asociativă și comutativă, elementul neutru aditiv este (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, opusul lui AA este (−a1−b10−a1)\begin{pmatrix} -a_1 & -b_1 \\ 0 & -a_1 \end{pmatrix}, înmulțirea este asociativă, și distributivitatea A⋅(B+C)=A⋅B+A⋅CA \cdot (B+C) = A \cdot B + A \cdot C și (A+B)⋅C=A⋅C+B⋅C(A+B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C.
42 puncte
Deoarece toate axiomele sunt satisfăcute, (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel (necomutativ, deoarece în general A⋅B≠B⋅AA \cdot B \neq B \cdot A).
52 puncte
Pentru a fi corp, inelul trebuie să fie comutativ și fiecare element nenul să aibă invers multiplicativ. Înmulțirea nu este comutativă (exemplu: pentru A=(1101)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și B=(1001)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, dar A⋅B≠B⋅AA \cdot B \neq B \cdot A în general), deci (M,+,⋅)(M, +, \cdot) nu este corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se evaluează f(x)f(x) pentru x=0,1,2x = 0, 1, 2 în Z3\mathbb{Z}_3: f(0)=1f(0)=1, f(1)=2f(1)=2, f(2)=2f(2)=2, deci f(x)f(x) nu are rădăcini în Z3\mathbb{Z}_3.
23 puncte
Deoarece f(x)f(x) are gradul 2 și nu are rădăcini în Z3\mathbb{Z}_3, rezultă că este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 (un polinom de grad 2 este ireductibil dacă și numai dacă nu are rădăcini).
33 puncte
Corpul de extindere este K=Z3[x]/(f(x))K = \mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Elementele sale sunt clasele de echivalență modulo f(x)f(x), reprezentate de polinoame de grad mai mic decât 2: a+bxa + bx cu a,b∈Z3a, b \in \mathbb{Z}_3. Enumerarea: 0,1,2,x,1+x,2+x,2x,1+2x,2+2x0, 1, 2, x, 1+x, 2+x, 2x, 1+2x, 2+2x (9 elemente).
42 puncte
Ordinea corpului KK este 32=93^2 = 9, deoarece Z3\mathbb{Z}_3 are 3 elemente și extinderea este de grad 2, deci ∣K∣=9|K| = 9.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Inele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea R={a+b3∣a,b∈Z}R = \{a + b\sqrt{3} \mid a, b \in \mathbb{Z}\} cu operațiile de adunare și înmulțire obișnuite. a) Arătați că (R,+,⋅)(R, +, \cdot) este un inel comutativ cu unitate. b) Determinați toate elementele x∈Rx \in R care satisfac ecuația x2−4x+1=0x^2 - 4x + 1 = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se verifică că RR este închisă față de adunare și înmulțire. Adunarea este asociativă, comutativă, are element neutru 0=0+030 = 0 + 0\sqrt{3} și fiecare element a+b3a + b\sqrt{3} are opusul −a−b3-a - b\sqrt{3}.
23 puncte
Înmulțirea este asociativă, comutativă, are element neutru 1=1+031 = 1 + 0\sqrt{3} și este distributivă față de adunare.
33 puncte
Pentru ecuația x2−4x+1=0x^2 - 4x + 1 = 0, se consideră x=a+b3x = a + b\sqrt{3} cu a,b∈Za,b \in \mathbb{Z}. Se obține (a2+3b2−4a+1)+(2ab−4b)3=0(a^2 + 3b^2 - 4a + 1) + (2ab - 4b)\sqrt{3} = 0, de unde sistemul {a2+3b2−4a+1=02ab−4b=0\begin{cases} a^2 + 3b^2 - 4a + 1 = 0 \\ 2ab - 4b = 0 \end{cases}. Din a doua ecuație, b=0b=0 sau a=2a=2. Pentru b=0b=0, prima ecuație devine a2−4a+1=0a^2 - 4a + 1=0, care nu are soluții întregi. Pentru a=2a=2, se obține 4+3b2−8+1=0⇒3b2=3⇒b2=1⇒b=±14 + 3b^2 - 8 + 1 = 0 \Rightarrow 3b^2 = 3 \Rightarrow b^2 = 1 \Rightarrow b = \pm 1. Soluțiile sunt x=2+3x = 2 + \sqrt{3} și x=2−3x = 2 - \sqrt{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Inele și corpuriMatrici
Fie inelul SS al matricilor de forma A=(ab0a)A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}, înzestrat cu adunarea și înmulțirea matricilor. a) Demonstrați că SS este un inel comutativ cu unitate. b) Determinați toate matricele X∈SX \in S care satisfac ecuația X2=(4604)X^2 = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}.
Mediu#7Inele și corpuriSisteme de Ecuații Liniare
Considerăm mulțimea Z5={0,1,2,3,4}\mathbb{Z}_5 = \{0,1,2,3,4\} cu operațiile de adunare și înmulțire modulo 5. Demonstrați că Z5\mathbb{Z}_5 este un corp. Apoi, rezolvați în Z5\mathbb{Z}_5 sistemul de ecuații: {2x+3y=1x+2y=3\begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ x + 2y = 3 \end{cases}.
Mediu#8Inele și corpuriLegi de compoziție
Fie mulțimea R={a+b2∣a,b∈Z}R = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire a numerelor reale. Demonstrați că (R,+,⋅)(R, +, \cdot) este un inel. Determinați elementele inversabile ale acestui inel.
Mediu#9Inele și corpuriNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea G={a+bi∣a,b∈Z}G = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Z} \}, unde i2=−1i^2 = -1, cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire a numerelor complexe. Verificați dacă (G,+,⋅)(G, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Găsiți toate elementele z∈Gz \in G astfel încât z2=5z^2 = 5.
Mediu#10Inele și corpuriPolinoameAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie inelul Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] al polinoamelor cu coeficienți în corpul Z3\mathbb{Z}_3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1. Demonstrați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3. Arătați că inelul factor Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x] / (f(x)) este un corp. În acest corp, găsiți inversul elementului x+1‾\overline{x+1}.
Mediu#11Inele și corpuriLegi de compoziție
Fie nn un număr natural, n≥2n \geq 2. Considerăm mulțimea Zn={0,1,2,…,n−1}\mathbb{Z}_n = \{0, 1, 2, \dots, n-1\} cu operațiile de adunare și înmulțire modulo nn. Arătați că (Zn,+,⋅)(\mathbb{Z}_n, +, \cdot) este un inel pentru orice nn. Determinați pentru ce valori ale lui nn acest inel este un corp și demonstrați afirmația.
Mediu#12Inele și corpuriPolinoame
Fie R[x]\mathbb{R}[x] inelul polinoamelor cu coeficienți reali. Considerăm idealul I=(x2+1)I = (x^2 + 1) generat de polinomul x2+1x^2 + 1 și inelul coeficient R[x]/I\mathbb{R}[x]/I. Demonstrați că R[x]/I\mathbb{R}[x]/I este un corp și calculați inversul elementului 2x+3‾\overline{2x + 3} în acest corp.
Mediu#13Inele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Considerăm mulțimea M={a+b2∣a,b∈Z}M = \{a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z}\} cu operațiile de adunare și înmulțire obișnuite. Demonstrați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel comutativ și unitar. Apoi, determinați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp.
Mediu#14Inele și corpuriMatriciAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie corpul Z5={0,1,2,3,4}\mathbb{Z}_5 = \{0,1,2,3,4\} cu adunarea și înmulțirea modulo 5. a) Rezolvați ecuația 2x+3=12x + 3 = 1 în Z5\mathbb{Z}_5. b) Considerați mulțimea M2(Z5)M_2(\mathbb{Z}_5) a matricelor pătratice de ordin 2 cu elemente din Z5\mathbb{Z}_5. Demonstrați că (M2(Z5),+,⋅)(M_2(\mathbb{Z}_5), +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. c) Explicați de ce acest inel nu este un corp.
Mediu#15Inele și corpuriPolinoameAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie inelul Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] al polinoamelor cu coeficienți în corpul Z3={0,1,2}\mathbb{Z}_3 = \{0,1,2\}. a) Determinați dacă polinomul p(x)=x2+1p(x) = x^2 + 1 este ireductibil în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. b) Dacă da, considerați inelul factor K=Z3[x]/(p(x))K = \mathbb{Z}_3[x] / (p(x)). Arătați că KK este un corp și calculați inversul elementului α=x+1\alpha = x + 1 în acest corp.

Și alte 191 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Accesează toate cele 206 probleme de Inele și corpuri cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.