Probleme de nivel mediu de Integrale definite

Clasa a 12-a • 190 probleme de nivel mediu

Ușor (68)Greu (28)Toate
Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Găsirea punctelor de intersecție. Se rezolvă ecuația x2−4x+3=−x2+2x+3⇒2x2−6x=0⇒2x(x−3)=0⇒x=0x^2 - 4x + 3 = -x^2 + 2x + 3 \Rightarrow 2x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 2x(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 0 sau x=3x = 3. Punctele de intersecție sunt (0,3)(0,3) și (3,0)(3,0) (se verifică în una dintre ecuații: pentru x=0x=0, y=3y=3; pentru x=3x=3, y=0y=0).
22 puncte
Stabilirea care funcție este mai mare pe intervalul [0,3][0,3]. Se evaluează un punct, de exemplu x=1x=1: y1=12−4⋅1+3=0y_1 = 1^2 - 4\cdot1 + 3 = 0, y2=−12+2⋅1+3=4y_2 = -1^2 + 2\cdot1 + 3 = 4, deci −x2+2x+3>x2−4x+3-x^2 + 2x + 3 > x^2 - 4x + 3 pe [0,3][0,3].
32 puncte
Scrierea integralei pentru arie. Aria A=∫03[(−x2+2x+3)−(x2−4x+3)]dx=∫03(−2x2+6x)dxA = \int_0^3 [(-x^2 + 2x + 3) - (x^2 - 4x + 3)] dx = \int_0^3 (-2x^2 + 6x) dx.
42 puncte
Calculul integralei. ∫03(−2x2+6x)dx=[−23x3+3x2]03=(−23⋅27+3⋅9)−0=(−18+27)=9\int_0^3 (-2x^2 + 6x) dx = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 \right]_0^3 = \left( -\frac{2}{3}\cdot27 + 3\cdot9 \right) - 0 = (-18 + 27) = 9.
51 punct
Rezultatul final. Aria este 99 unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Găsiți punctele de intersecție ale curbelor rezolvând ecuația x2−4x+3=−x2+6x−5x^2 - 4x + 3 = -x^2 + 6x - 5. Se obține 2x2−10x+8=02x^2 - 10x + 8 = 0 sau x2−5x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0, cu soluțiile x=1x=1 și x=4x=4.
22 puncte
Determinați care curbă este deasupra pe intervalul [1,4][1,4]. Pentru x=2x=2, y1=22−4⋅2+3=−1y_1 = 2^2 - 4\cdot2 + 3 = -1 și y2=−22+6⋅2−5=3y_2 = -2^2 + 6\cdot2 - 5 = 3, deci y2>y1y_2 > y_1. Aria se calculează cu integrala ∫14[(−x2+6x−5)−(x2−4x+3)]dx=∫14(−2x2+10x−8)dx\int_{1}^{4} [(-x^2+6x-5) - (x^2-4x+3)] dx = \int_{1}^{4} (-2x^2+10x-8) dx.
35 puncte
Calculați integrala: ∫(−2x2+10x−8)dx=−2x33+5x2−8x\int (-2x^2+10x-8) dx = -\frac{2x^3}{3} + 5x^2 - 8x. Evaluați de la 1 la 4: la x=4x=4, −2⋅643+5⋅16−32=−1283+80−32=−1283+48=−128+1443=163-\frac{2\cdot64}{3} + 5\cdot16 - 32 = -\frac{128}{3} + 80 - 32 = -\frac{128}{3} + 48 = \frac{-128+144}{3} = \frac{16}{3}; la x=1x=1, −23+5−8=−23−3=−113-\frac{2}{3} + 5 - 8 = -\frac{2}{3} - 3 = -\frac{11}{3}. Aria =163−(−113)=273=9= \frac{16}{3} - (-\frac{11}{3}) = \frac{27}{3} = 9 unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Determinarea punctelor de intersecție între y=x2y = x^2 și y=2x+3y = 2x + 3: x2=2x+3⇒x2−2x−3=0⇒(x−3)(x+1)=0x^2 = 2x + 3 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+1)=0, deci x=−1x = -1 și x=3x = 3. Pe domeniul dat (0≤x≤20 \leq x \leq 2, datorită axei Oy și a dreptei x=2x = 2), funcțiile nu se intersectează în interior; se compară valorile lor.
22 puncte
Identificarea funcțiilor și a limitelor: Pentru x∈[0,2]x \in [0,2], 2x+3>x22x + 3 > x^2 (verificat prin calcul, de exemplu pentru x=1x=1: 2⋅1+3=5>12=12\cdot1+3=5 > 1^2=1). Aria este dată de integrala diferenței funcțiilor: ∫02[(2x+3)−x2] dx\int_{0}^{2} [(2x+3) - x^2] \, dx.
32 puncte
Setarea integralei: A=∫02(2x+3−x2) dxA = \int_{0}^{2} (2x+3 - x^2) \, dx.
42 puncte
Calculul integralei: A=[x2+3x−x33]02=(22+3⋅2−233)−0=(4+6−83)=10−83=30−83=223A = \left[ x^2 + 3x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left( 2^2 + 3\cdot2 - \frac{2^3}{3} \right) - 0 = \left( 4 + 6 - \frac{8}{3} \right) = 10 - \frac{8}{3} = \frac{30-8}{3} = \frac{22}{3}.
52 puncte
Evaluarea ariei totale: A=223A = \frac{22}{3} unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Integrale definiteProprietăți ale integralelorMatematică aplicată
Un rezervor cilindric vertical are raza bazei R=2R = 2 m și înălțimea H=5H = 5 m. Rezervorul este umplut cu apă, care curge printr-un orificiu din fund cu viteza v=khv = k\sqrt{h}, unde hh este înălțimea apei, iar kk este constantă. Dacă la t=0t=0, h=5h=5 m, iar după t=10t=10 minute, h=4h=4 m, determinați timpul TT necesar pentru ca rezervorul să se golească complet (h=0h=0).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scrieți ecuația diferențială pentru scăderea înălțimii: dhdt=−αh\frac{dh}{dt} = -\alpha \sqrt{h}, unde α=k4π\alpha = \frac{k}{4\pi} (deoarece volumul este V=4πhV = 4\pi h).
23 puncte
Rezolvați ecuația prin integrare: ∫dhh=−α∫dt⇒2h=−αt+C\int \frac{dh}{\sqrt{h}} = -\alpha \int dt \Rightarrow 2\sqrt{h} = -\alpha t + C.
32 puncte
Determinați constantele folosind condițiile: la t=0t=0, h=5h=5 dă C=25C = 2\sqrt{5}; la t=10t=10, h=4h=4 dă α=5−25\alpha = \frac{\sqrt{5} - 2}{5}.
42 puncte
Pentru h=0h=0, rezolvați 0=−αT+250 = -\alpha T + 2\sqrt{5} pentru a obține T=50+205T = 50 + 20\sqrt{5} minute.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma delimitată de curbele de ecuații y=x2−4x+5y = x^2 - 4x + 5 și y=−x2+6x−3y = -x^2 + 6x - 3. Calculați aria terenului, exprimând rezultatul în unități pătrate.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Găsim punctele de intersecție ale curbelor rezolvând sistemul: x2−4x+5=−x2+6x−3x^2 - 4x + 5 = -x^2 + 6x - 3. Obținem 2x2−10x+8=02x^2 - 10x + 8 = 0, adică x2−5x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0, cu soluțiile x1=1x_1 = 1 și x2=4x_2 = 4.
22 puncte
Aria se calculează cu integrala definită: A=∫14[(−x2+6x−3)−(x2−4x+5)] dx=∫14(−2x2+10x−8) dxA = \int_{1}^{4} [(-x^2 + 6x - 3) - (x^2 - 4x + 5)] \, dx = \int_{1}^{4} (-2x^2 + 10x - 8) \, dx.
33 puncte
Calculăm integrala: ∫(−2x2+10x−8) dx=−23x3+5x2−8x\int (-2x^2 + 10x - 8) \, dx = -\frac{2}{3}x^3 + 5x^2 - 8x. Evaluăm de la 1 la 4: la x=4x=4 obținem 163\frac{16}{3}, la x=1x=1 obținem −113-\frac{11}{3}, deci A=163−(−113)=273=9A = \frac{16}{3} - (-\frac{11}{3}) = \frac{27}{3} = 9.
42 puncte
Interpretare: Aria terenului este de 9 unități pătrate. Într-un context real, dacă unitățile sunt metri, aria este de 9 m².

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Integrale definiteArii și volumeTrigonometrie
Determinați aria suprafeței plane mărginite de graficele funcțiilor f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x și g(x)=cos⁡xg(x) = \cos x pe intervalul [0,π2][0, \frac{\pi}{2}].
Mediu#7Integrale definiteArii și volumeTrigonometrie
Calculați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei Ox a regiunii cuprinse între curbele y=sin⁡xy = \sin x și y=cos⁡xy = \cos x pentru x∈[0,π4]x \in \left[0, \frac{\pi}{4}\right].
Mediu#8Integrale definiteProprietăți ale integralelor
Folosind proprietatea că ∫0af(x) dx=∫0af(a−x) dx\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx, calculați integrala definită ∫0π/2sin⁡xsin⁡x+cos⁡x dx\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx.
Mediu#9Integrale definiteArii și volumePrimitive
Determină volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei Ox a domeniului mărginit de curbele y=exy = e^x, y=e−xy = e^{-x} și dreptele x=0x = 0 și x=1x = 1.
Mediu#10Integrale definiteArii și volumePrimitive
Determinați aria suprafeței cuprinse între graficul funcției f(x)=∣x2−1∣f(x) = |x^2 - 1| și axa Ox, pentru x∈[0,2]x \in [0, 2].
Mediu#11Integrale definiteArii și volume
Determină aria regiunii din primul cadran mărginite de curbele y=exy = e^x, y=e−xy = e^{-x} și dreapta x=1x = 1.
Mediu#12Integrale definiteArii și volumeGeometrie Analitică
Determinați aria suprafeței mărginite de curbele y=x3−3xy = x^3 - 3x și y=xy = x.
Mediu#13Integrale definiteArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determină aria regiunii plane mărginite de curba y=x2−2xy = x^2 - 2x, axa Ox și dreptele x=−1x = -1 și x=3x = 3.
Mediu#14Integrale definiteProprietăți ale integralelorArii și volume
Să se calculeze integrala definită ∫02∣x2−3x+2∣dx\int_{0}^{2} |x^2 - 3x + 2| dx.
Mediu#15Integrale definiteArii și volumeEcuații iraționale
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=xy = \sqrt{x}, y=2−xy = 2-x și axa OxOx.

Și alte 175 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Accesează toate cele 190 probleme de Integrale definite cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.