Probleme de Integrale definite — Clasa a 12-a

Pregătire BAC M1Analiza Matematica • 598 probleme cu rezolvări complete
Teorie Integrale definite — Formule si exemple rezolvate

Integralele definite calculează aria sub graficul unei funcții pe un interval. Include formula lui Leibniz-Newton și metode de integrare, capitol cheie la BAC.

Verificat de profesori de matematică

Ușor

68

probleme

Mediu

190

probleme

Greu

28

probleme

Grile de Integrale definite

312 întrebări cu variante de răspuns

→

Exemple de probleme

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Găsirea punctelor de intersecție. Se rezolvă ecuația x2−4x+3=−x2+2x+3⇒2x2−6x=0⇒2x(x−3)=0⇒x=0x^2 - 4x + 3 = -x^2 + 2x + 3 \Rightarrow 2x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 2x(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 0 sau x=3x = 3. Punctele de intersecție sunt (0,3)(0,3) și (3,0)(3,0) (se verifică în una dintre ecuații: pentru x=0x=0, y=3y=3; pentru x=3x=3, y=0y=0).
22 puncte
Stabilirea care funcție este mai mare pe intervalul [0,3][0,3]. Se evaluează un punct, de exemplu x=1x=1: y1=12−4⋅1+3=0y_1 = 1^2 - 4\cdot1 + 3 = 0, y2=−12+2⋅1+3=4y_2 = -1^2 + 2\cdot1 + 3 = 4, deci −x2+2x+3>x2−4x+3-x^2 + 2x + 3 > x^2 - 4x + 3 pe [0,3][0,3].
32 puncte
Scrierea integralei pentru arie. Aria A=∫03[(−x2+2x+3)−(x2−4x+3)]dx=∫03(−2x2+6x)dxA = \int_0^3 [(-x^2 + 2x + 3) - (x^2 - 4x + 3)] dx = \int_0^3 (-2x^2 + 6x) dx.
42 puncte
Calculul integralei. ∫03(−2x2+6x)dx=[−23x3+3x2]03=(−23⋅27+3⋅9)−0=(−18+27)=9\int_0^3 (-2x^2 + 6x) dx = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 \right]_0^3 = \left( -\frac{2}{3}\cdot27 + 3\cdot9 \right) - 0 = (-18 + 27) = 9.
51 punct
Rezultatul final. Aria este 99 unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Găsiți punctele de intersecție ale curbelor rezolvând ecuația x2−4x+3=−x2+6x−5x^2 - 4x + 3 = -x^2 + 6x - 5. Se obține 2x2−10x+8=02x^2 - 10x + 8 = 0 sau x2−5x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0, cu soluțiile x=1x=1 și x=4x=4.
22 puncte
Determinați care curbă este deasupra pe intervalul [1,4][1,4]. Pentru x=2x=2, y1=22−4⋅2+3=−1y_1 = 2^2 - 4\cdot2 + 3 = -1 și y2=−22+6⋅2−5=3y_2 = -2^2 + 6\cdot2 - 5 = 3, deci y2>y1y_2 > y_1. Aria se calculează cu integrala ∫14[(−x2+6x−5)−(x2−4x+3)]dx=∫14(−2x2+10x−8)dx\int_{1}^{4} [(-x^2+6x-5) - (x^2-4x+3)] dx = \int_{1}^{4} (-2x^2+10x-8) dx.
35 puncte
Calculați integrala: ∫(−2x2+10x−8)dx=−2x33+5x2−8x\int (-2x^2+10x-8) dx = -\frac{2x^3}{3} + 5x^2 - 8x. Evaluați de la 1 la 4: la x=4x=4, −2⋅643+5⋅16−32=−1283+80−32=−1283+48=−128+1443=163-\frac{2\cdot64}{3} + 5\cdot16 - 32 = -\frac{128}{3} + 80 - 32 = -\frac{128}{3} + 48 = \frac{-128+144}{3} = \frac{16}{3}; la x=1x=1, −23+5−8=−23−3=−113-\frac{2}{3} + 5 - 8 = -\frac{2}{3} - 3 = -\frac{11}{3}. Aria =163−(−113)=273=9= \frac{16}{3} - (-\frac{11}{3}) = \frac{27}{3} = 9 unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Profitul total P(x)P(x) este primitiva profitului marginal: P(x)=∫P′(x) dxP(x) = \int P'(x) \, dx.
23 puncte
Se calculează primitiva: P(x)=∫(10−0.1x) dx=10x−0.05x2+CP(x) = \int (10 - 0.1x) \, dx = 10x - 0.05x^2 + C.
32 puncte
Se folosește condiția inițială P(0)=0P(0) = 0: 0=10⋅0−0.05⋅02+C⇒C=00 = 10 \cdot 0 - 0.05 \cdot 0^2 + C \Rightarrow C = 0, deci P(x)=10x−0.05x2P(x) = 10x - 0.05x^2.
42 puncte
Se calculează P(100)P(100): P(100)=10⋅100−0.05⋅1002=1000−500=500P(100) = 10 \cdot 100 - 0.05 \cdot 100^2 = 1000 - 500 = 500.
51 punct
Interpretare: Profitul total pentru 100 de unități este 500500 mii de euro.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Determinarea punctelor de intersecție între y=x2y = x^2 și y=2x+3y = 2x + 3: x2=2x+3⇒x2−2x−3=0⇒(x−3)(x+1)=0x^2 = 2x + 3 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+1)=0, deci x=−1x = -1 și x=3x = 3. Pe domeniul dat (0≤x≤20 \leq x \leq 2, datorită axei Oy și a dreptei x=2x = 2), funcțiile nu se intersectează în interior; se compară valorile lor.
22 puncte
Identificarea funcțiilor și a limitelor: Pentru x∈[0,2]x \in [0,2], 2x+3>x22x + 3 > x^2 (verificat prin calcul, de exemplu pentru x=1x=1: 2⋅1+3=5>12=12\cdot1+3=5 > 1^2=1). Aria este dată de integrala diferenței funcțiilor: ∫02[(2x+3)−x2] dx\int_{0}^{2} [(2x+3) - x^2] \, dx.
32 puncte
Setarea integralei: A=∫02(2x+3−x2) dxA = \int_{0}^{2} (2x+3 - x^2) \, dx.
42 puncte
Calculul integralei: A=[x2+3x−x33]02=(22+3⋅2−233)−0=(4+6−83)=10−83=30−83=223A = \left[ x^2 + 3x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left( 2^2 + 3\cdot2 - \frac{2^3}{3} \right) - 0 = \left( 4 + 6 - \frac{8}{3} \right) = 10 - \frac{8}{3} = \frac{30-8}{3} = \frac{22}{3}.
52 puncte
Evaluarea ariei totale: A=223A = \frac{22}{3} unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a domeniului plan mărginit de curbele y=xy = \sqrt{x} și y=xy = x.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Determinarea punctelor de intersecție prin rezolvarea x=x\sqrt{x} = x: se obține x=0x=0 și x=1x=1, deci punctele sunt (0,0)(0,0) și (1,1)(1,1).
23 puncte
Aplicarea formulei pentru volumul de rotație: V=π∫ab[f(x)2−g(x)2]dxV = \pi \int_a^b [f(x)^2 - g(x)^2] dx, unde pe [0,1][0,1], f(x)=xf(x)=\sqrt{x} și g(x)=xg(x)=x, deci V=π∫01(x−x2)dxV = \pi \int_0^1 (x - x^2) dx.
35 puncte
Calculul integralei: ∫01(x−x2)dx=[x22−x33]01=12−13=16\int_0^1 (x - x^2) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}, deci V=π⋅16=π6V = \pi \cdot \frac{1}{6} = \frac{\pi}{6}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Integrale definiteProprietăți ale integralelorMatematică aplicată
Un rezervor cilindric vertical are raza bazei R=2R = 2 m și înălțimea H=5H = 5 m. Rezervorul este umplut cu apă, care curge printr-un orificiu din fund cu viteza v=khv = k\sqrt{h}, unde hh este înălțimea apei, iar kk este constantă. Dacă la t=0t=0, h=5h=5 m, iar după t=10t=10 minute, h=4h=4 m, determinați timpul TT necesar pentru ca rezervorul să se golească complet (h=0h=0).
Mediu#7Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma delimitată de curbele de ecuații y=x2−4x+5y = x^2 - 4x + 5 și y=−x2+6x−3y = -x^2 + 6x - 3. Calculați aria terenului, exprimând rezultatul în unități pătrate.
Greu#8Integrale definite
Fie I(a)=∫01ln⁡(1+ax)1+x2dxI(a) = \int_0^1 \frac{\ln(1 + a x)}{1 + x^2} dx, unde a>0a > 0. a) Calculați I′(a)I'(a) și deduceți o expresie pentru I(a)I(a) în funcție de aa. b) Folosind rezultatul de la a), calculați lim⁡n→∞n⋅I(1n)\lim_{n \to \infty} n \cdot I\left(\frac{1}{n}\right). c) Demonstrați inegalitatea ∫01ln⁡(1+x)1+x2dx≤π8ln⁡2\int_0^1 \frac{\ln(1 + x)}{1 + x^2} dx \leq \frac{\pi}{8} \ln 2.
Greu#9Integrale definite
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin an=∫0π/2sin⁡nx1+sin⁡nxdxa_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^n x}{\sqrt{1 + \sin^n x}} dx. a) Demonstrați că an≤∫0π/2sin⁡nx dxa_n \leq \int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx și deduceți că lim⁡n→∞an=0\lim_{n \to \infty} a_n = 0. b) Folosind substituția t=sin⁡xt = \sin x, exprimați ana_n ca o integrală în tt și deduceți o formulă de recurență pentru In=∫01tn1+tndtI_n = \int_0^1 \frac{t^n}{\sqrt{1 + t^n}} dt. c) Calculați lim⁡n→∞n⋅an\lim_{n \to \infty} n \cdot a_n.
Greu#10Integrale definite
Fie I(a)=∫01ln⁡(1+ax)1+x2dxI(a) = \int_0^1 \frac{\ln(1+ax)}{1+x^2} dx, a>0a > 0. a) Calculați I′(a)I'(a). b) Demonstrați că I(a)≤π4ln⁡(1+a)I(a) \leq \frac{\pi}{4} \ln(1+a) pentru orice a>0a > 0. c) Calculați lim⁡a→∞I(a)ln⁡a\lim_{a \to \infty} \frac{I(a)}{\ln a}.

Și alte 276 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Accesează toate cele 598 probleme de Integrale definite cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Alte capitole pentru clasa a 12-a

→Grupuri
579 probleme
→Inele și corpuri
486 probleme
→Legi de compoziție
641 probleme
→Matematică aplicată
653 probleme
→Primitive
595 probleme

Întrebări frecvente despre Integrale definite

Cum se calculează integralele definite la BAC?
Integralele definite la BAC se rezolvă folosind formula lui Leibniz-Newton: se calculează primitiva funcției, apoi se evaluează la capetele intervalului. Cele mai frecvente metode sunt integrarea prin părți și substituția.
Câte probleme de integrale apar la BAC M1?
La BAC Matematica M1 apar de regulă 1-2 probleme de integrale definite, de obicei la Subiectul III. Problemele testează calculul integralelor, ariile și proprietățile integralelor.
Ce formule de integrale trebuie știute pentru BAC?
Formulele esențiale includ: primitiva lui x^n, e^x, sin(x), cos(x), 1/x, formula de integrare prin părți și substituțiile standard. De asemenea, formula ariei dintre două curbe.

Câștigă XP și badge-uri rezolvând probleme

Sistem de niveluri (1-20), clasament săptămânal și serie zilnică de învățare. Începe gratuit cu 50 de credite.