Probleme ușoare de Integrale definite

Clasa a 12-a • 68 probleme de nivel ușor

Mediu (190)Greu (28)Toate
Ușor#1Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Profitul total P(x)P(x) este primitiva profitului marginal: P(x)=∫P′(x) dxP(x) = \int P'(x) \, dx.
23 puncte
Se calculează primitiva: P(x)=∫(10−0.1x) dx=10x−0.05x2+CP(x) = \int (10 - 0.1x) \, dx = 10x - 0.05x^2 + C.
32 puncte
Se folosește condiția inițială P(0)=0P(0) = 0: 0=10⋅0−0.05⋅02+C⇒C=00 = 10 \cdot 0 - 0.05 \cdot 0^2 + C \Rightarrow C = 0, deci P(x)=10x−0.05x2P(x) = 10x - 0.05x^2.
42 puncte
Se calculează P(100)P(100): P(100)=10⋅100−0.05⋅1002=1000−500=500P(100) = 10 \cdot 100 - 0.05 \cdot 100^2 = 1000 - 500 = 500.
51 punct
Interpretare: Profitul total pentru 100 de unități este 500500 mii de euro.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a domeniului plan mărginit de curbele y=xy = \sqrt{x} și y=xy = x.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Determinarea punctelor de intersecție prin rezolvarea x=x\sqrt{x} = x: se obține x=0x=0 și x=1x=1, deci punctele sunt (0,0)(0,0) și (1,1)(1,1).
23 puncte
Aplicarea formulei pentru volumul de rotație: V=π∫ab[f(x)2−g(x)2]dxV = \pi \int_a^b [f(x)^2 - g(x)^2] dx, unde pe [0,1][0,1], f(x)=xf(x)=\sqrt{x} și g(x)=xg(x)=x, deci V=π∫01(x−x2)dxV = \pi \int_0^1 (x - x^2) dx.
35 puncte
Calculul integralei: ∫01(x−x2)dx=[x22−x33]01=12−13=16\int_0^1 (x - x^2) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}, deci V=π⋅16=π6V = \pi \cdot \frac{1}{6} = \frac{\pi}{6}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Integrale definiteArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria regiunii mărginite de curbele y=x2y = x^2 și y=2x−x2y = 2x - x^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Găsiți punctele de intersecție ale curbelor. Rezolvăm x2=2x−x2⇒2x2−2x=0⇒2x(x−1)=0x^2 = 2x - x^2 \Rightarrow 2x^2 - 2x = 0 \Rightarrow 2x(x-1)=0, deci x=0x=0 și x=1x=1.
24 puncte
Aria este dată de integrala diferenței funcțiilor: ∫01[(2x−x2)−(x2)]dx=∫01(2x−2x2)dx\int_{0}^{1} [(2x - x^2) - (x^2)] dx = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2) dx.
33 puncte
Calculați integrala: ∫(2x−2x2)dx=x2−23x3+C\int (2x - 2x^2) dx = x^2 - \frac{2}{3}x^3 + C, deci ∫01(2x−2x2)dx=[x2−23x3]01=(1−23)−0=13\int_{0}^{1} (2x - 2x^2) dx = [x^2 - \frac{2}{3}x^3]_{0}^{1} = (1 - \frac{2}{3}) - 0 = \frac{1}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului mărginit de curbele y=xy = \sqrt{x} și y=x2y = x^2 pentru x∈[0,1]x \in [0,1].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Identificați punctele de intersecție rezolvând x=x2\sqrt{x} = x^2, de unde x=0x = 0 și x=1x = 1, deci domeniul este [0,1][0,1].
24 puncte
Scrieți integrala pentru aria: A=∫01(x−x2) dx=∫01(x1/2−x2) dxA = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx = \int_{0}^{1} (x^{1/2} - x^2) \, dx.
33 puncte
Calculați integrala: A=[23x3/2−13x3]01=(23−13)−0=13A = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{1}{3} x^3 \right]_{0}^{1} = \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \right) - 0 = \frac{1}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Integrale definiteArii și volume
Să se determine aria domeniului mărginit de curbele y=xy = \sqrt{x} și y=x2y = x^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se determină punctele de intersecție ale curbelor rezolvând ecuația x=x2\sqrt{x} = x^2, obținând x=0x=0 și x=1x=1.
23 puncte
Pe intervalul [0,1][0,1], curba y=xy=\sqrt{x} este deasupra lui y=x2y=x^2, deci aria este dată de ∫01(x−x2) dx\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx.
34 puncte
Se calculează integrala: ∫x dx=23x3/2\int \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3} x^{3/2}, ∫x2 dx=13x3\int x^2 \, dx = \frac{1}{3} x^3, deci [23x3/2−13x3]01=23−13=13\left[ \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{1}{3} x^3 \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6Integrale definiteArii și volumePrimitive
Determină aria regiunii mărginite de curbele y=xy = \sqrt{x} și y=x2y = x^2 pentru x∈[0,1]x \in [0,1].
Ușor#7Integrale definiteArii și volume
Determinați aria regiunii mărginite de curbele y=xy = \sqrt{x} și y=x2y = x^2 pentru x∈[0,1]x \in [0,1].
Ușor#8Integrale definiteArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Să se determine aria suprafeței mărginite de curbele y=x2y = x^2 și y=2x−x2y = 2x - x^2.
Ușor#9Integrale definiteArii și volume
Determinați aria suprafeței plane mărginită de curbele y=x2y = x^2 și y=xy = \sqrt{x}.
Ușor#10Integrale definiteArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria regiunii mărginite de curbele y=x2y = x^2 și y=2x−x2y = 2x - x^2.
Ușor#11Integrale definiteArii și volume
Fie funcția f:[0,2]→Rf: [0,2] \to \mathbb{R} definită prin f(x)={x,daca˘ 0≤x≤12−x,daca˘ 1<x≤2f(x) = \begin{cases} x, & \text{dacă } 0 \leq x \leq 1 \\ 2-x, & \text{dacă } 1 < x \leq 2 \end{cases}. Calculați ∫02f(x)dx\int_{0}^{2} f(x) dx și interpretați geometric rezultatul ca arie.
Ușor#12Integrale definiteArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Să se determine aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2y = x^2 și y=2x−x2y = 2x - x^2.
Ușor#13Integrale definiteArii și volumePrimitive
Determinați aria regiunii mărginite de curbele y=xy = \sqrt{x} și y=x2y = x^2.
Ușor#14Integrale definiteArii și volumePrimitive
Determină aria regiunii mărginite de curbele y=x2y = x^2 și y=xy = \sqrt{x} pentru x∈[0,1]x \in [0,1].
Ușor#15Integrale definiteArii și volume
Fie funcția f(x)=4−x2f(x) = \sqrt{4 - x^2} definită pe intervalul [0,2][0,2]. a) Calculați ∫02f(x) dx\int_{0}^{2} f(x) \, dx interpretând-o ca arie. b) Determinați volumul corpului obținut prin rotația graficului lui ff în jurul axei Ox.

Și alte 53 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Accesează toate cele 68 probleme de Integrale definite cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.