Probleme de nivel mediu de Logică matematică

Clasa a 9-a • 27 probleme de nivel mediu

Ușor (73)Toate
Mediu#1Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaFuncția de gradul I
Fie polinomul P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Se consideră propozițiile: AA: „P(x)P(x) are două rădăcini reale distincte”, BB: „Δ=b2−4ac>0\Delta = b^2 - 4ac > 0”, CC: „P(x)P(x) are cel puțin o rădăcină reală”. Să se studieze implicațiile logice între AA, BB și CC, în cazul a≠0a \neq 0 și în cazul a=0a=0.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Pentru a≠0a \neq 0, condițiile pentru rădăcini reale: dacă Δ>0\Delta > 0, atunci P(x)P(x) are două rădăcini reale distincte; dacă Δ=0\Delta = 0, are o rădăcină reală dublă; dacă Δ<0\Delta < 0, are rădăcini complexe.
23 puncte
A⇒BA \Rightarrow B este adevărată (din definiție), și B⇒AB \Rightarrow A este adevărată (pentru că Δ>0\Delta > 0 implică două rădăcini reale distincte), deci A⇔BA \Leftrightarrow B în cazul a≠0a \neq 0.
32 puncte
B⇒CB \Rightarrow C este adevărată (dacă Δ>0\Delta > 0 sau Δ=0\Delta = 0, există rădăcini reale), dar C⇒BC \Rightarrow B nu este întotdeauna adevărată; contraexemplu: a=1,b=2,c=1a=1, b=2, c=1, atunci Δ=0\Delta = 0, deci CC adevărată, dar BB falsă (pentru că Δ=0\Delta = 0, nu >0>0).
42 puncte
Pentru a=0a=0, polinomul devine P(x)=bx+cP(x) = bx + c, de gradul I. Dacă b≠0b \neq 0, are o rădăcină reală unică, deci CC adevărată, iar AA falsă (nu are două rădăcini), și BB nu este aplicabilă în sens strict (discriminantul nu este definit). Dacă b=0b=0, atunci P(x)=cP(x)=c constant; dacă c=0c=0, orice xx este rădăcină, deci CC adevărată, altfel CC falsă.
51 punct
Concluzie: În cazul a≠0a \neq 0, A⇔BA \Leftrightarrow B, și B⇒CB \Rightarrow C, dar C⇒BC \Rightarrow B este falsă în general. Pentru a=0a=0, propozițiile trebuie reinterpretate în funcție de coeficienți.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Logică matematicăNumere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C}, z≠0z \neq 0. Considerăm propozițiile: P:∣z∣=1P: |z| = 1 și Q:z+1z∈RQ: z + \frac{1}{z} \in \mathbb{R}. Studiați implicația P⇒QP \Rightarrow Q și reciproca Q⇒PQ \Rightarrow P.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Demonstrație pentru P⇒QP \Rightarrow Q: dacă ∣z∣=1|z|=1, atunci zzˉ=1z \bar{z}=1, deci 1z=zˉ\frac{1}{z} = \bar{z}. Atunci z+1z=z+zˉ=2Re⁡(z)∈Rz + \frac{1}{z} = z + \bar{z} = 2\operatorname{Re}(z) \in \mathbb{R}, deci P⇒QP \Rightarrow Q este adevărată.
25 puncte
Verificare pentru Q⇒PQ \Rightarrow P: fie z=a+biz = a+bi cu a,b∈Ra,b \in \mathbb{R}. Atunci z+1z=a+bi+a−bia2+b2=(a+aa2+b2)+i(b−ba2+b2)z + \frac{1}{z} = a+bi + \frac{a-bi}{a^2+b^2} = \left(a + \frac{a}{a^2+b^2}\right) + i\left(b - \frac{b}{a^2+b^2}\right). Pentru ca această expresie să fie reală, partea imaginară trebuie să fie zero: b(1−1a2+b2)=0b\left(1 - \frac{1}{a^2+b^2}\right) = 0. Aceasta implică b=0b=0 sau a2+b2=1a^2+b^2=1. Dacă b=0b=0, de exemplu z=2z=2, atunci z+1z=2+0.5=2.5∈Rz + \frac{1}{z} = 2 + 0.5 = 2.5 \in \mathbb{R}, dar ∣z∣=2≠1|z|=2 \neq 1, deci există un contraexemplu. Astfel, Q⇒PQ \Rightarrow P este falsă.
31 punct
Concluzie: implicația P⇒QP \Rightarrow Q este adevărată, dar reciproca Q⇒PQ \Rightarrow P este falsă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Logică matematicăAlgebră și Calcule cu Numere RealeEcuații logaritmice
Considerăm propozițiile p:x∈R,x2−4x+3≤0p: x \in \mathbb{R}, x^2 - 4x + 3 \leq 0 și q:x∈R,log⁡2(x−1)>0q: x \in \mathbb{R}, \log_2(x-1) > 0. Determinați valorile reale ale lui xx pentru care implicația p→qp \rightarrow q este adevărată. Apoi, stabiliți dacă propoziția ∀x∈R,(p→q)\forall x \in \mathbb{R}, (p \rightarrow q) este adevărată sau falsă.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Rezolvăm pp: x2−4x+3≤0⇒(x−1)(x−3)≤0x^2 - 4x + 3 \leq 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) \leq 0, deci x∈[1,3]x \in [1,3].
23 puncte
Rezolvăm qq: log⁡2(x−1)>0⇒x−1>1⇒x>2\log_2(x-1) > 0 \Rightarrow x-1 > 1 \Rightarrow x > 2, cu condiția x−1>0⇒x>1x-1 > 0 \Rightarrow x > 1. Deci qq adevărată pentru x>2x > 2.
32 puncte
Implicația p→qp \rightarrow q este echivalentă cu ¬p∨q\neg p \lor q. Mulțimea unde pp falsă: x<1x < 1 sau x>3x > 3. Mulțimea unde qq adevărată: x>2x > 2. Reuniunea: x<1x < 1 sau x>2x > 2. Deci p→qp \rightarrow q adevărată pentru x∈(−∞,1)∪(2,∞)x \in (-\infty,1) \cup (2,\infty).
42 puncte
Propoziția ∀x∈R,(p→q)\forall x \in \mathbb{R}, (p \rightarrow q) este falsă, deoarece pentru x=1.5∈[1,3]x=1.5 \in [1,3], pp adevărată dar qq falsă, deci p→qp \rightarrow q falsă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Logică matematicăTeoria Mulțimilor
Fie AA și BB două mulțimi nevide de numere reale. Considerăm propozițiile: pp: "∀x∈A,∃y∈B\forall x \in A, \exists y \in B astfel încât x=y2x = y^2." qq: "∃y∈B\exists y \in B astfel încât ∀x∈A,x=y2\forall x \in A, x = y^2." a) Scrieți negațiile propozițiilor pp și qq folosind cuantificatori. b) Arătați că implicația p⇒qp \Rightarrow q este falsă, oferind un contraexemplu concret. c) Pentru A={1,4,9}A = \{1,4,9\} și B={−3,−2,−1,1,2,3}B = \{-3,-2,-1,1,2,3\}, determinați valoarea de adevăr a propozițiilor pp și qq.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
a) Negațiile: ¬p:∃x∈A,∀y∈B,x≠y2\neg p: \exists x \in A, \forall y \in B, x \neq y^2; ¬q:∀y∈B,∃x∈A,x≠y2\neg q: \forall y \in B, \exists x \in A, x \neq y^2.
24 puncte
b) Contraexemplu: Se consideră A={1,4}A = \{1,4\} și B={−1,1,−2,2}B = \{-1,1,-2,2\}. Atunci pp este adevărată (pentru x=1x=1, există y=1y=1 sau y=−1y=-1; pentru x=4x=4, există y=2y=2 sau y=−2y=-2), iar qq este falsă (nu există y∈By \in B astfel încât pentru ambele x∈Ax \in A, x=y2x=y^2). Implicația p⇒qp \Rightarrow q este falsă.
33 puncte
c) Pentru A={1,4,9}A = \{1,4,9\} și B={−3,−2,−1,1,2,3}B = \{-3,-2,-1,1,2,3\}: Propoziția pp este adevărată (pentru x=1x=1, există y=1y=1 sau y=−1y=-1; pentru x=4x=4, există y=2y=2 sau y=−2y=-2; pentru x=9x=9, există y=3y=3 sau y=−3y=-3). Propoziția qq este falsă (nu există y∈By \in B astfel încât pentru toate x∈Ax \in A, x=y2x=y^2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Logică matematicăInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați, folosind inducția matematică, că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, egalitatea 13+23+⋯+n3=(n(n+1)2)21^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 este adevărată. Discutați rolul implicației logice P(n)⇒P(n+1)P(n) \Rightarrow P(n+1) în structura demonstrației prin inducție.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificarea cazului de bază pentru n=1n=1: calculăm 13=11^3 = 1 și (1⋅22)2=1\left( \frac{1 \cdot 2}{2} \right)^2 = 1, deci P(1)P(1) este adevărată.
24 puncte
Presupunem că P(n)P(n) este adevărată, adică 13+23+⋯+n3=(n(n+1)2)21^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2. Demonstrăm implicația P(n)⇒P(n+1)P(n) \Rightarrow P(n+1): adunăm (n+1)3(n+1)^3 ambelor părți și, folosind algebra, arătăm că 13+⋯+(n+1)3=((n+1)(n+2)2)21^3 + \dots + (n+1)^3 = \left( \frac{(n+1)(n+2)}{2} \right)^2.
32 puncte
Explicăm că implicația logică P(n)⇒P(n+1)P(n) \Rightarrow P(n+1) este crucială în inducție, asigurând că dacă propoziția este adevărată pentru un nn, atunci rămâne adevărată pentru n+1n+1, permițând extrapolarea de la cazul de bază la toate numerele naturale.
42 puncte
Concluzionăm prin principiul inducției matematice: deoarece P(1)P(1) este adevărată și P(n)⇒P(n+1)P(n) \Rightarrow P(n+1) pentru orice n≥1n \geq 1, rezultă că P(n)P(n) este adevărată pentru toate n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Considerăm predicatele P(x):x2+ax+b=0P(x): x^2 + ax + b = 0 și Q(x):x∈ZQ(x): x \in \mathbb{Z}, unde aa și bb sunt numere întregi. a) Să se determine condițiile pe aa și bb astfel încât propoziția ∀x∈R,P(x)⇒Q(x)\forall x \in \mathbb{R}, P(x) \Rightarrow Q(x) să fie adevărată. b) Pentru a=−5a = -5 și b=6b = 6, să se verifice dacă propoziția ∃x∈R,P(x)∧¬Q(x)\exists x \in \mathbb{R}, P(x) \land \neg Q(x) este adevărată.
Mediu#7Logică matematicăTeoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimile A={x∈R∣(x2−4)(x−1)>0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid (x^2 - 4)(x-1) > 0 \} și B={x∈R∣log⁡2(x+1)≤1}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid \log_2(x+1) \leq 1 \}. Determinați mulțimea C=(A∩B)∪(A∖B)C = (A \cap B) \cup (A \setminus B) și exprimați-o folosind operații logice asupra condițiilor care definesc A și B. Demonstrați că C=A∪BC = A \cup B.
Mediu#8Logică matematicăInducție matematicăȘiruri de numere reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, propoziția P(n):′12+22+...+n2=n(n+1)(2n+1)6′P(n): '1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}' este adevărată. Apoi, folosind această formulă, determinați pentru ce valori ale lui nn este adevărată implicația: dacă nn este par, atunci suma pătratelor este divizibilă cu 4. Analizați valabilitatea implicației inverse: dacă suma pătratelor este divizibilă cu 4, atunci nn este par.
Mediu#9Logică matematicăAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Să se determine valorile reale ale lui aa pentru care implicația (∀x∈R,x2+ax+1>0)⇒(a>−2)(\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + ax + 1 > 0) \Rightarrow (a > -2) este adevărată.
Mediu#10Logică matematicăTeoria Mulțimilor
Fie AA și BB două submulțimi ale mulțimii numerelor reale R\mathbb{R}. Considerați propoziția P:∀x∈R,(x∈A⇒x∈B)P: \forall x \in \mathbb{R}, (x \in A \Rightarrow x \in B). Demonstrați că PP este echivalentă cu A⊆BA \subseteq B. Utilizând această echivalență, determinați condițiile necesare și suficiente pentru care A∩B=∅A \cap B = \emptyset implică fie A=∅A = \emptyset, fie B=∅B = \emptyset.
Mediu#11Logică matematicăInducție matematicăȘiruri de numere reale
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2+ana_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an<2a_n < 2 pentru toți n∈Nn \in \mathbb{N}. Apoi, folosind raționament logic, argumentați dacă șirul este convergent și, în caz afirmativ, determinați limita sa.
Mediu#12Logică matematicăInducție matematicăȘiruri de numere reale
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2+ana_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} pentru orice n≥1n \geq 1. a) Folosiți principiul inducției matematice pentru a demonstra că an<2a_n < 2 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. b) Arătați că șirul este crescător. c) Demonstrați că șirul este convergent și calculați limita sa.
Mediu#13Logică matematicăTeoria Mulțimilor
Fie A={x∈R∣P(x)}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid P(x) \} și B={x∈R∣Q(x)}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid Q(x) \}, unde P(x)P(x) și Q(x)Q(x) sunt predicate. Să se demonstreze că (A⊆B)⇔(∀x∈R,P(x)⇒Q(x))(A \subseteq B) \Leftrightarrow (\forall x \in \mathbb{R}, P(x) \Rightarrow Q(x)). Apoi, aplicați aceasta pentru a determina relația dintre mulțimile A={x∈R∣x2−3x+2≤0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 3x + 2 \leq 0 \} și B={x∈R∣x2−4x+3≤0}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 4x + 3 \leq 0 \}.
Mediu#14Logică matematicăPolinoame
Considerăm polinomul f(X)=X2+aX+bf(X) = X^2 + aX + b cu coeficienți reali. Demonstrați că următoarea afirmație este adevărată: (∀x∈R,f(x)≥0)⇔(a2−4b≤0)(\forall x \in \mathbb{R}, f(x) \geq 0) \Leftrightarrow (a^2 - 4b \leq 0). Folosiți logică matematică pentru a justifica echivalența.
Mediu#15Logică matematicăFuncția de gradul al II-lea
Fie f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}, a≠0a \neq 0. Se consideră propozițiile: AA: "Funcția ff are minimul egal cu 0", BB: "Discriminantul Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac este egal cu 0", CC: "f(x)≥0f(x) \geq 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}". Stabiliți care dintre următoarele implicații sunt adevărate și demonstrați: i) A⇒BA \Rightarrow B, ii) B⇒CB \Rightarrow C, iii) C⇒AC \Rightarrow A.

Și alte 12 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logică matematică cu AI

Accesează toate cele 27 probleme de Logică matematică cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.