Probleme ușoare de Logică matematică

Clasa a 9-a • 73 probleme de nivel ușor

Mediu (27)Toate
Ușor#1Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră ecuația x2−(m+1)x+m=0x^2 - (m+1)x + m = 0, cu m∈Rm \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: pp: „Discriminantul ecuației este pozitiv.” qq: „Suma rădăcinilor este mai mare decât produsul rădăcinilor.” rr: „Ecuația are o rădăcină egală cu 1.” a) Determinați valorile lui mm pentru care propoziția pp este adevărată. b) Stabiliți dacă propoziția qq este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}. c) Demonstrați că propoziția p∧q→rp \land q \rightarrow r este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm discriminantul Δ=(m+1)2−4m=m2−2m+1=(m−1)2\Delta = (m+1)^2 - 4m = m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2. Propoziția pp este adevărată dacă Δ>0\Delta > 0, adică (m−1)2>0(m-1)^2 > 0, deci pentru m≠1m \neq 1.
23 puncte
Suma rădăcinilor este S=m+1S = m+1, iar produsul este P=mP = m. Propoziția qq: S>PS > P implică m+1>mm+1 > m, adică 1>01 > 0, care este întotdeauna adevărată. Așadar, qq este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}.
34 puncte
Analizăm p∧q→rp \land q \rightarrow r. Pentru m≠1m \neq 1, pp este adevărată, qq adevărată, iar rădăcinile ecuației sunt x1=1x_1 = 1 și x2=mx_2 = m (deoarece x2−(m+1)x+m=(x−1)(x−m)x^2 - (m+1)x + m = (x-1)(x-m)), deci rr este adevărată. Pentru m=1m=1, pp este falsă, deci p∧qp \land q este falsă, iar implicația este adevărată. În toate cazurile, propoziția este adevărată, confirmând că este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Logică matematicăNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră numărul complex z=a+biz = a + bi, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: PP: „zz este real.” QQ: „z2z^2 este real.” RR: „∣z∣=1|z| = 1.” a) Determinați condițiile asupra lui aa și bb pentru care propoziția PP este adevărată. b) Arătați că propoziția QQ este echivalentă cu ab=0ab = 0. c) Studiați valoarea de adevăr a implicației P∨Q→RP \lor Q \rightarrow R și dați un contraexemplu dacă este falsă.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Propoziția PP: zz este real dacă și numai dacă partea imaginară este zero, adică b=0b=0. Astfel, PP este adevărată pentru b=0b=0.
23 puncte
Calculăm z2=(a+bi)2=a2−b2+2abiz^2 = (a+bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi. z2z^2 este real dacă partea imaginară 2ab=02ab = 0, deci ab=0ab=0. Prin urmare, QQ este adevărată dacă și numai dacă ab=0ab=0.
34 puncte
Implicația P∨Q→RP \lor Q \rightarrow R: P∨QP \lor Q este adevărată dacă b=0b=0 sau ab=0ab=0. RR este adevărată dacă a2+b2=1\sqrt{a^2 + b^2} = 1. Această implicație nu este întotdeauna adevărată; de exemplu, pentru a=2a=2 și b=0b=0, avem PP adevărată (deoarece b=0b=0), dar RR falsă (∣z∣=2≠1|z| = 2 \neq 1), deci implicația este falsă. Astfel, propoziția nu este o tautologie.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Logică matematicăTeoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie predicatele p(x):x2−3x+2≥0p(x): x^2 - 3x + 2 \geq 0 și q(x):x≤1q(x): x \leq 1 sau x≥2x \geq 2, definite pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R}. Să se studieze valabilitatea echivalenței logice p(x)⇔q(x)p(x) \Leftrightarrow q(x) pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} și să se determine mulțimile A={x∈R∣p(x)}A = \{x \in \mathbb{R} \mid p(x)\} și B={x∈R∣q(x)}B = \{x \in \mathbb{R} \mid q(x)\}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Rezolvăm inecuația x2−3x+2≥0x^2 - 3x + 2 \geq 0. Se obține x2−3x+2=(x−1)(x−2)≥0x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) \geq 0, cu soluțiile x≤1x \leq 1 sau x≥2x \geq 2. Deci, A=(−∞,1]∪[2,∞)A = (-\infty, 1] \cup [2, \infty).
23 puncte
Din definiția lui q(x)q(x), B={x∈R∣x≤1 sau x≥2}=(−∞,1]∪[2,∞)B = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 1 \text{ sau } x \geq 2\} = (-\infty, 1] \cup [2, \infty).
32 puncte
Comparând mulțimile, avem A=BA = B.
42 puncte
Deoarece A=BA = B, pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, p(x)p(x) este adevărată dacă și numai dacă q(x)q(x) este adevărată. Prin urmare, echivalența logică p(x)⇔q(x)p(x) \Leftrightarrow q(x) este adevărată pentru toți x∈Rx \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Logică matematicăAlgebră și Calcule cu Numere RealeTeoria Mulțimilor
Fie P(x)P(x) și Q(x)Q(x) propoziții cu variabilă reală xx, definite astfel: P(x):x2−5x+6=0P(x): x^2 - 5x + 6 = 0 și Q(x):x∈{2,3}Q(x): x \in \{2,3\}. Determinați valorile lui x∈Rx \in \mathbb{R} pentru care propoziția P(x)⇔Q(x)P(x) \Leftrightarrow Q(x) este adevărată.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Rezolvăm ecuația x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0; factorizăm sau folosim formula de rezolvare: (x−2)(x−3)=0(x-2)(x-3)=0, deci x=2x=2 sau x=3x=3.
22 puncte
Propoziția Q(x)Q(x) este adevărată dacă și numai dacă x=2x=2 sau x=3x=3, deoarece x∈{2,3}x \in \{2,3\}.
33 puncte
Pentru ca P(x)⇔Q(x)P(x) \Leftrightarrow Q(x) să fie adevărată, P(x)P(x) și Q(x)Q(x) trebuie să aibă aceeași valoare de adevăr. Analizăm cazurile: dacă x=2x=2 sau x=3x=3, atât P(x)P(x) cât și Q(x)Q(x) sunt adevărate; dacă x≠2x \neq 2 și x≠3x \neq 3, atunci P(x)P(x) este falsă (ecuația nu are alte rădăcini reale) și Q(x)Q(x) este falsă (deoarece x∉{2,3}x \notin \{2,3\}).
42 puncte
În toate cazurile, P(x)P(x) și Q(x)Q(x) coincid ca valoare de adevăr, deci P(x)⇔Q(x)P(x) \Leftrightarrow Q(x) este adevărată pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Logică matematicăFuncția de gradul al II-lea
Se consideră propozițiile p:"a>0"p: "a > 0", q:"b2−4ac≥0"q: "b^2 - 4ac \geq 0" și r:"ax2+bx+c=0r: "ax^2 + bx + c = 0 are soluții reale". Să se arate că p∧q⇒rp \land q \Rightarrow r este o tautologie. Apoi, să se determine condițiile asupra numerelor reale a,b,ca, b, c pentru care propoziția (p∧¬q)∨r(p \land \neg q) \lor r este falsă.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Arătați că p∧q⇒rp \land q \Rightarrow r este adevărată pentru orice a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Justificați folosind definiția implicației: dacă pp și qq sunt adevărate, atunci a>0a > 0 și b2−4ac≥0b^2 - 4ac \geq 0, deci discriminantul este nenegativ, iar pentru a>0a > 0, ecuația are soluții reale, deci rr este adevărată; astfel implicația este întotdeauna adevărată.
26 puncte
Propoziția (p∧¬q)∨r(p \land \neg q) \lor r este falsă dacă ambele (p∧¬q)(p \land \neg q) și rr sunt false. rr fals înseamnă că ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 nu are soluții reale, deci b2−4ac<0b^2 - 4ac < 0. (p∧¬q)(p \land \neg q) fals înseamnă că pp este fals sau ¬q\neg q este fals (adică qq adevărat). Analizați cazurile: dacă a≤0a \leq 0, atunci pp fals, deci (p∧¬q)(p \land \neg q) fals, iar rr fals necesită b2−4ac<0b^2 - 4ac < 0. Condițiile finale: a≤0a \leq 0 și b2−4ac<0b^2 - 4ac < 0, sau a>0a > 0 și b2−4ac≥0b^2 - 4ac \geq 0 (caz în care rr ar fi adevărat, dar trebuie rr fals, deci acest caz este exclus). Deci condițiile sunt a≤0a \leq 0 și b2−4ac<0b^2 - 4ac < 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6Logică matematicăProbabilități
Fie EE un experiment aleator și A,BA, B două evenimente asociate. Se știe că P(A)=0.6P(A) = 0.6, P(B)=0.4P(B) = 0.4 și că propoziția logică A⇒BA \Rightarrow B este adevărată (adică AA implică BB). Să se calculeze P(A∪B)P(A \cup B) și P(A∩B)P(A \cap B). Explicați folosind logică matematică de ce A⊆BA \subseteq B.
Ușor#7Logică matematicăȘiruri de numere realeInducție matematică
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=an+32a_{n+1} = \frac{a_n + 3}{2} pentru n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an>1a_n > 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. Apoi, folosind logică, discutați valabilitatea propoziției: "Dacă an<3a_n < 3 pentru un anumit nn, atunci an+1<3a_{n+1} < 3."
Ușor#8Logică matematicăInducție matematicăIdentități algebrice
Fie P(n)P(n) propoziția: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2. Demonstrați prin inducție matematică că P(n)P(n) este adevărată pentru orice număr natural nenul nn.
Ușor#9Logică matematicăȘiruri de numere realeInducție matematică
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=an+2n+1a_{n+1} = a_n + 2n + 1 pentru n≥1n \geq 1. Demonstrați că an=n2a_n = n^2 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^* prin inducție matematică. Apoi, analizați logic valoarea de adevăr a următoarelor afirmații: (i) ana_n este număr par dacă și numai dacă nn este par; (ii) Dacă ana_n este divizibil cu 3, atunci nn este multiplu de 3.
Ușor#10Logică matematicăTeoria MulțimilorNumere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} și mulțimile A={z∈C:∣z∣=1}A = \{ z \in \mathbb{C} : |z| = 1 \} și B={z∈C:Re(z)=Im(z)}B = \{ z \in \mathbb{C} : \text{Re}(z) = \text{Im}(z) \}. Se definește propoziția Q(z)Q(z): 'z∈A∩Bz \in A \cap B'. (a) Exprimați Q(z)Q(z) în termeni de condiții asupra părților reale și imaginare ale lui zz. (b) Determinați elementele mulțimii A∩BA \cap B. (c) Stabiliți valoarea de adevăr a afirmației: 'Dacă z∈A∩Bz \in A \cap B, atunci z2z^2 este număr real negativ.'
Ușor#11Logică matematicăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie propozițiile p:x>2p: x > 2 și q:x2−3x+2>0q: x^2 - 3x + 2 > 0, cu x∈Rx \in \mathbb{R}. Determinați pentru ce valori reale ale lui xx implicația p⇒qp \Rightarrow q este adevărată. Studiați dacă echivalența logică p⇔qp \Leftrightarrow q este valabilă pe întregul domeniu R\mathbb{R}.
Ușor#12Logică matematicăProbabilitățiTeoria Mulțimilor
Fie evenimentele AA: "un student ales la întâmplare studiază matematică" și BB: "un student ales la întâmplare studiază fizică". Se știe că P(A)=0.6P(A) = 0.6, P(B)=0.4P(B) = 0.4 și P(A∩B)=0.3P(A \cap B) = 0.3. a) Exprimați în limbaj logic evenimentele: "studentul studiază matematică sau fizică" și "studentul studiază doar matematică". b) Utilizând legile lui De Morgan, demonstrați că P(A‾∩B‾)=1−P(A∪B)P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - P(A \cup B). c) Calculați probabilitatea ca un student să nu studieze nici matematică, nici fizică.
Ușor#13Logică matematicăPolinoame
Fie P(x)=x2+ax+bP(x) = x^2 + ax + b un polinom cu coeficienți reali. Considerăm propozițiile: AA: 'P(x) are rădăcini reale'; BB: 'a2−4b≥0a^2 - 4b \geq 0'. a) Demonstrați că A  ⟺  BA \iff B. b) Pentru a=3a=3 și b=2b=2, determinați valoarea de adevăr a propoziției A∧¬BA \land \neg B.
Ușor#14Logică matematicăTeoria Mulțimilor
Fie mulțimile A={x∈R∣x2−3x+2≤0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 3x + 2 \leq 0 \} și B={x∈R∣x>1}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 1 \}. Considerăm propoziția PP: 'A \subseteq B$'. a) Determinați mulțimile AA și BB. b) Demonstrați că propoziția PP este adevărată sau falsă. c) Exprimați negarea propoziției PP folosind cuantificatori$.
Ușor#15Logică matematicăFuncția de gradul al II-lea
Fie pp și qq propoziții matematice. Considerăm propoziția: "Dacă x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0, atunci x=2x = 2 sau x=3x = 3." Stabiliți valoarea de adevăr a acestei propoziții și demonstrați folosind metode logice. Apoi, determinați pentru ce valori reale ale lui aa propoziția: "Dacă x2+ax+1=0x^2 + ax + 1 = 0 are rădăcini reale, atunci a≤−2a \leq -2 sau a≥2a \geq 2" este adevărată.

Și alte 58 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logică matematică cu AI

Accesează toate cele 73 probleme de Logică matematică cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.