Probleme de nivel mediu de Matematică aplicată

Clasa a 12-a • 176 probleme de nivel mediu

Ușor (186)Greu (1)Toate
Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrieți funcția profitului P(x)=R(x)−C(x)P(x) = R(x) - C(x), unde R(x)=x⋅p(x)R(x) = x \cdot p(x) este venitul total.
23 puncte
Calculați R(x)=x(50−0.5x)=50x−0.5x2R(x) = x(50 - 0.5x) = 50x - 0.5x^2 și exprimați P(x)=(50x−0.5x2)−(0.1x3−2x2+15x+10)=−0.1x3+1.5x2+35x−10P(x) = (50x - 0.5x^2) - (0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10) = -0.1x^3 + 1.5x^2 + 35x - 10.
33 puncte
Găsiți derivata P′(x)=−0.3x2+3x+35P'(x) = -0.3x^2 + 3x + 35. Rezolvați P′(x)=0P'(x) = 0 pentru punctele critice: −0.3x2+3x+35=0-0.3x^2 + 3x + 35 = 0. Multiplicați cu 10: −3x2+30x+350=0-3x^2 + 30x + 350 = 0 sau 3x2−30x−350=03x^2 - 30x - 350 = 0. Discriminantul: Δ=900+4200=5100\Delta = 900 + 4200 = 5100, deci x=30±51006x = \frac{30 \pm \sqrt{5100}}{6}. Având în vedere x≥0x \geq 0, se consideră rădăcina pozitivă, de exemplu x=30+10516=5+5513x = \frac{30 + 10\sqrt{51}}{6} = 5 + \frac{5\sqrt{51}}{3} (sau aproximativ 16.9).
42 puncte
Verificați că punctul critic este de maxim folosind a doua derivată: P′′(x)=−0.6x+3P''(x) = -0.6x + 3. Pentru xx găsit, P′′(x)<0P''(x) < 0, deci este maxim. Calculați P(x)P(x) la acest xx pentru profitul maxim, de exemplu Pmax≈296.15P_{\text{max}} \approx 296.15 mii lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Identificați parametrii distribuției binomiale: numărul de încercări n=20n = 20, probabilitatea de succes p=0.3p = 0.3, probabilitatea de eșec q=1−p=0.7q = 1 - p = 0.7.
23 puncte
Pentru probabilitatea exactă, folosiți formula: P(X=8)=(208)(0.3)8(0.7)12P(X=8) = \binom{20}{8} (0.3)^8 (0.7)^{12}. Calculați coeficientul binomial (208)=125970\binom{20}{8} = 125970 și puterile: (0.3)8≈0.00006561(0.3)^8 \approx 0.00006561, (0.7)12≈0.013841(0.7)^{12} \approx 0.013841.
33 puncte
Pentru probabilitatea cel puțin 5, calculați P(X≥5)=1−P(X<5)=1−∑k=04P(X=k)P(X \geq 5) = 1 - P(X < 5) = 1 - \sum_{k=0}^{4} P(X=k), unde P(X=k)=(20k)(0.3)k(0.7)20−kP(X=k) = \binom{20}{k} (0.3)^k (0.7)^{20-k}. De exemplu, calculați P(X=0),P(X=1),P(X=2),P(X=3),P(X=4)P(X=0), P(X=1), P(X=2), P(X=3), P(X=4) și suma lor.
42 puncte
Efectuați calculele numerice: P(X=8)≈125970×0.00006561×0.013841≈0.1144P(X=8) \approx 125970 \times 0.00006561 \times 0.013841 \approx 0.1144. Pentru P(X≥5)P(X \geq 5), suma parțială ∑k=04P(X=k)≈0.0008+0.0068+0.0278+0.0716+0.1304≈0.2374\sum_{k=0}^{4} P(X=k) \approx 0.0008 + 0.0068 + 0.0278 + 0.0716 + 0.1304 \approx 0.2374, deci P(X≥5)≈1−0.2374=0.7626P(X \geq 5) \approx 1 - 0.2374 = 0.7626.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Matematică aplicatăProcenteLogaritmi
Un investitor depune o sumă de bani într-un fond cu dobândă compusă anuală. După 5 ani, investiția a crescut cu 27,63% față de suma inițială. Determinați rata anuală a dobânzii. Apoi, calculați numărul minim de ani necesari pentru ca investiția să se tripleze, presupunând aceeași rată a dobânzii și rotunjind rezultatul la cel mai apropiat număr întreg. Formula pentru valoarea viitoare este V=P(1+r100)nV = P(1 + \frac{r}{100})^n, unde PP este suma inițială, rr este rata anuală în procente, și nn este numărul de ani.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrierea ecuației pentru creșterea după 5 ani: P(1+r100)5=P+0.2763P=1.2763PP(1 + \frac{r}{100})^5 = P + 0.2763P = 1.2763P, deci (1+r100)5=1.2763(1 + \frac{r}{100})^5 = 1.2763.
23 puncte
Rezolvarea pentru rr: 1+r100=1.27635≈1.051 + \frac{r}{100} = \sqrt[5]{1.2763} \approx 1.05, deci r≈5%r \approx 5\%.
34 puncte
Pentru triplare, P(1.05)n≥3PP(1.05)^n \geq 3P, deci (1.05)n≥3(1.05)^n \geq 3. Rezolvând, n≥ln⁡3ln⁡1.05≈22.52n \geq \frac{\ln 3}{\ln 1.05} \approx 22.52, deci numărul minim de ani este 23.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Un fermier are la dispoziție 100 m de gard pentru a construi un depozit dreptunghiular. El dorește să maximizeze aria depozitului. Determinați dimensiunile care asigură aria maximă. Apoi, presupunând că costul construcției peretelui este de 200 lei/m pentru laturile lungi și 150 lei/m pentru laturile scurte, și că depozitul trebuie să aibă o arie de cel puțin 600 m², găsiți dimensiunile care minimizează costul total al construcției.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Fie ll lungimea și LL lățimea. Perimetrul: 2l+2L=1002l + 2L = 100, deci L=50−lL = 50 - l. Aria: A(l)=l(50−l)=50l−l2A(l) = l(50 - l) = 50l - l^2. Derivata: A′(l)=50−2lA'(l) = 50 - 2l. Punând A′(l)=0A'(l) = 0, l=25l = 25, L=25L = 25. Verificare: A′′(l)=−2<0A''(l) = -2 < 0, deci maxim. Dimensiuni pentru aria maximă: 25 m x 25 m.
23 puncte
Costul total: C(l)=2l⋅150+2L⋅200=300l+400(50−l)=300l+20000−400l=20000−100lC(l) = 2l \cdot 150 + 2L \cdot 200 = 300l + 400(50 - l) = 300l + 20000 - 400l = 20000 - 100l. Condiția de arie: A(l)=l(50−l)≥600A(l) = l(50 - l) \geq 600. Rezolvând 50l−l2≥60050l - l^2 \geq 600, adică l2−50l+600≤0l^2 - 50l + 600 \leq 0, factorizând (l−20)(l−30)≤0(l-20)(l-30) \leq 0, deci 20≤l≤3020 \leq l \leq 30.
34 puncte
Costul C(l)=20000−100lC(l) = 20000 - 100l este o funcție descrescătoare în ll. Pentru a minimiza costul sub constrângerea 20≤l≤3020 \leq l \leq 30, alege ll maxim, adică l=30l = 30, atunci L=20L = 20. Costul minim: C(30)=20000−100⋅30=17000C(30) = 20000 - 100 \cdot 30 = 17000 lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+20C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 20, pentru x≥0x \ge 0. Cererea p(x)p(x) (prețul unitar în lei) este dată de p(x)=100−2xp(x) = 100 - 2x, pentru x≥0x \ge 0, unde xx este numărul de unități vândute. Determinați: a) Venitul total V(x)V(x) și profitul total P(x)P(x). b) Numărul de unități xx care maximizează profitul și profitul maxim. c) Intervalul de producție pentru care profitul este pozitiv.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Scriem venitul total: V(x)=x⋅p(x)=x(100−2x)=100x−2x2V(x) = x \cdot p(x) = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2. Profitul este P(x)=V(x)−C(x)=(100x−2x2)−(0.1x3−3x2+30x+20)=−0.1x3+x2+70x−20P(x) = V(x) - C(x) = (100x - 2x^2) - (0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 20) = -0.1x^3 + x^2 + 70x - 20.
24 puncte
Derivăm P(x)P(x): P′(x)=−0.3x2+2x+70P'(x) = -0.3x^2 + 2x + 70. Rezolvăm P′(x)=0P'(x)=0: −0.3x2+2x+70=0⇒3x2−20x−700=0-0.3x^2 + 2x + 70 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 20x - 700 = 0. Discriminant: Δ=400+8400=8800\Delta = 400 + 8400 = 8800, deci x1,2=20±88006=20±20226=10(1±22)3x_{1,2} = \frac{20 \pm \sqrt{8800}}{6} = \frac{20 \pm 20\sqrt{22}}{6} = \frac{10(1 \pm \sqrt{22})}{3}. Doar x=10(1+22)3>0x = \frac{10(1+\sqrt{22})}{3} > 0. Verificăm că este maxim calculând P′′(x)=−0.6x+2P''(x) = -0.6x + 2; pentru x=10(1+22)3x = \frac{10(1+\sqrt{22})}{3}, P′′(x)<0P''(x) < 0. Profitul maxim: P(10(1+22)3)=−0.1(10(1+22)3)3+(10(1+22)3)2+70⋅10(1+22)3−20P\left(\frac{10(1+\sqrt{22})}{3}\right) = -0.1\left(\frac{10(1+\sqrt{22})}{3}\right)^3 + \left(\frac{10(1+\sqrt{22})}{3}\right)^2 + 70\cdot\frac{10(1+\sqrt{22})}{3} - 20; se poate aproxima numeric la ≈985.1\approx 985.1 mii lei.
34 puncte
Rezolvăm P(x)>0P(x) > 0: −0.1x3+x2+70x−20>0-0.1x^3 + x^2 + 70x - 20 > 0. Ecuația P(x)=0P(x)=0 are o rădăcină pozitivă mică și una mai mare. Folosind metode numerice (ex.: metoda înjumătățirii sau calculatorul), găsim x1≈0.286x_1 \approx 0.286 și x2≈35.7x_2 \approx 35.7. Deci profitul este pozitiv pentru x∈(0.286,35.7)x \in (0.286, 35.7).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Matematică aplicatăMatematică financiarăȘiruri de numere reale
Un investitor depune o sumă S0=5000S_0 = 5000 lei într-un cont bancar cu dobândă compusă la o rată anuală r=5%r = 5\%. El retrage la sfârșitul fiecărui an o sumă fixă R=300R = 300 lei. Notăm cu SnS_n suma rămasă în cont după nn ani (după retragerea anuală). a) Deduceți relația de recurență pentru SnS_n și exprimați SnS_n în funcție de nn. b) Determinați după câți ani suma din cont devine mai mică decât 1000 lei. c) Dacă investitorul dorește să retragă suma fixă RR timp de 20 de ani, iar după aceea să mai aibă în cont cel puțin 2000 lei, care ar trebui să fie suma inițială S0S_0 (rotunjită la cel mai apropiat leu)?
Mediu#7Matematică aplicatăAplicații ale derivatelor
O companie produce un produs. Costul total de producție pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.2x3−3x2+20x+500C(x) = 0.2x^3 - 3x^2 + 20x + 500, iar prețul de vânzare pe unitate este p(x)=100−2xp(x) = 100 - 2x (în lei). Determinați cantitatea xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#8Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O firmă produce un bun. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse (în mii). Prețul de vânzare pe unitate este p=50−0.5xp = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați cantitatea de produse care maximizează profitul firmei și calculați profitul maxim.
Mediu#9Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorSisteme de Ecuații Neliniare
O companie produce două produse, A și B. Funcția costului total este C(x,y)=2x2+3y2+4xy+10C(x,y) = 2x^2 + 3y^2 + 4xy + 10, unde xx și yy sunt cantitățile produse. Funcția de venit este V(x,y)=100x+120yV(x,y) = 100x + 120y. Determinați cantitățile xx și yy care maximizează profitul, presupunând că x,y≥0x, y \geq 0.
Mediu#10Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100 (mii de lei), iar prețul de vânzare este p(x)=60−0.5xp(x) = 60 - 0.5x (mii de lei pe unitate). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#11Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
Pentru a dubla o sumă de bani depusă la bancă cu dobândă compusă anuală, se folosește regula lui 72, care afirmă că timpul de dublare este aproximativ 72 împărțit la rata dobânzii procentuală. Verificați acestă regulă pentru o rată anuală de 8%, comparând rezultatul aproximativ cu cel exact obținut folosind logaritmi.
Mediu#12Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un produs la un cost total dat de funcția C(x)=0.01x3−0.6x2+13x+100C(x) = 0.01x^3 - 0.6x^2 + 13x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#13Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorFuncția de gradul al II-lea
O firmă produce un produs cu costul variabil c(x)=50x+1000c(x) = 50x + 1000 lei și vinde produsul la prețul p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei pe unitate, unde xx este numărul de unități produse. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#14Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
O companie are 10 angajați, dintre care 4 sunt specializați în marketing și 6 în vânzări. Se formează o echipă de 5 persoane alegându-i la întâmplare. Care este probabilitatea ca în echipă să fie cel puțin 2 specializați în marketing?
Mediu#15Matematică aplicatăMatematică financiarăProcente
Pentru a achiziționa o mașină, o persoană contractează un împrumut de 20000 de euro cu o rată anuală nominală de 6%, compusă semestrial. Rambursarea se face în 4 ani prin rate semestriale constante. Determinați suma fiecărei rate și dobânda totală plătită.

Și alte 161 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Accesează toate cele 176 probleme de Matematică aplicată cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.