Probleme ușoare de Matematică aplicată

Clasa a 12-a • 186 probleme de nivel ușor

Mediu (176)Greu (1)Toate
Ușor#1Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Din condiția P(2)=4000P(2) = 4000, obținem 4000=1000⋅e2k4000 = 1000 \cdot e^{2k}, deci e2k=4e^{2k} = 4. Rezolvând, k=ln⁡42=ln⁡2k = \frac{\ln 4}{2} = \ln 2.\n
24 puncte
Înlocuind kk în legea de creștere, avem P(t)=1000⋅etln⁡2=1000⋅2tP(t) = 1000 \cdot e^{t \ln 2} = 1000 \cdot 2^t.\n
33 puncte
Pentru P(t)=16000P(t) = 16000, ecuația devine 16000=1000⋅2t16000 = 1000 \cdot 2^t, deci 2t=162^t = 16. Rezolvând, t=4t = 4 ore.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrierea formulei pentru suma finală în cazul dobânzii compuse anuale: A=P(1+r)tA = P(1+r)^t, unde P=5000P=5000, r=0.05r=0.05.\n
23 puncte
Stabilirea ecuației pentru dublarea sumei: 2P=P(1.05)t2P = P(1.05)^t, de unde 2=(1.05)t2 = (1.05)^t.\n
33 puncte
Aplicarea logaritmului natural: ln⁡2=t⋅ln⁡1.05\ln 2 = t \cdot \ln 1.05.\n
42 puncte
Calculul lui tt: t=ln⁡2ln⁡1.05≈0.69310.04879≈14.206t = \frac{\ln 2}{\ln 1.05} \approx \frac{0.6931}{0.04879} \approx 14.206. Deci, suma se dublează după aproximativ 14 ani.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Matematică aplicatăAplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un observator se află pe o linie orizontală și vede vârful unui turn sub un unghi de elevație de 60∘60^\circ. Mergând 30 de metri îndepărtându-se de turn, unghiul de elevație devine 30∘30^\circ. Care este înălțimea turnului? (Se consideră că observatorul și baza turnului sunt pe aceeași linie orizontală.)

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notăm cu hh înălțimea turnului și cu xx distanța inițială de la observator la baza turnului. Din primul triunghi dreptunghic: tan⁡60∘=hx\tan 60^\circ = \frac{h}{x}, deci h=xtan⁡60∘=x3h = x \tan 60^\circ = x \sqrt{3}.\n
23 puncte
După îndepărtare, distanța devine x+30x+30. Din al doilea triunghi: tan⁡30∘=hx+30\tan 30^\circ = \frac{h}{x+30}, deci h=(x+30)tan⁡30∘=(x+30)33h = (x+30) \tan 30^\circ = (x+30) \frac{\sqrt{3}}{3}.\n
32 puncte
Egalam cele două expresii pentru hh: x3=(x+30)33x \sqrt{3} = (x+30) \frac{\sqrt{3}}{3}. Simplificăm 3\sqrt{3} și obținem x=x+303x = \frac{x+30}{3}.\n
42 puncte
Rezolvăm ecuația: 3x=x+30→2x=30→x=153x = x+30 \rightarrow 2x=30 \rightarrow x=15 metri. Atunci h=153h = 15 \sqrt{3} metri.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorGeometrie Analitică
Un fermier dorește să construiască un teren dreptunghiular adiacent unui zid existent, astfel încât să folosească zidul ca una dintre laturi. Pentru celelalte trei laturi, are la dispoziție 100 m de gard. Determinați dimensiunile terenului (lungimea și lățimea) astfel încât aria acestuia să fie maximă.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Notăm cu xx lungimea laturii perpendiculare pe zid și cu yy lungimea laturii paralele cu zidul. Conform enunțului, avem 2x+y=1002x + y = 100.
22 puncte
Aria terenului este A=x⋅yA = x \cdot y. Din ecuația precedentă, exprimăm y=100−2xy = 100 - 2x și înlocuim: A(x)=x(100−2x)=100x−2x2A(x) = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2.
32 puncte
Calculăm derivata funcției: A′(x)=100−4xA'(x) = 100 - 4x.
42 puncte
Rezolvăm ecuația A′(x)=0A'(x) = 0 pentru a găsi punctele critice: 100−4x=0⇒x=25100 - 4x = 0 \Rightarrow x = 25.
51 punct
Verificăm că este maxim examinând semnul derivatei: pentru x<25x < 25, A′(x)>0A'(x) > 0 (funcția crește), iar pentru x>25x > 25, A′(x)<0A'(x) < 0 (funcția descrește), deci x=25x = 25 este punct de maxim.
61 punct
Calculăm y=100−2⋅25=50y = 100 - 2 \cdot 25 = 50. Deci, dimensiunile sunt lungimea y=50y = 50 m și lățimea x=25x = 25 m.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Matematică aplicatăMatematică financiarăLogaritmi
O bancă oferă un depozit cu o dobândă anuală de 4%4\%, compusă anual. Un client depune 30003000 de lei. Calculați suma acumulată după 88 ani. Apoi, determinați timpul necesar (în ani întregi) pentru ca suma inițială să se tripleze, folosind logaritmi.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Formula pentru dobânda compusă este A=P(1+r)tA = P(1 + r)^t, unde P=3000P = 3000, r=0.04r = 0.04, și tt este timpul în ani.
22 puncte
Pentru t=8t = 8, calculăm A=3000(1+0.04)8=3000⋅1.048A = 3000(1 + 0.04)^8 = 3000 \cdot 1.04^8.
32 puncte
Efectuăm calculul: 1.048≈1.36861.04^8 \approx 1.3686 (se poate folosi calculatorul sau aproximări), deci A≈3000⋅1.3686=4105.8A \approx 3000 \cdot 1.3686 = 4105.8 lei.
42 puncte
Pentru triplarea sumei, avem A=3P=9000A = 3P = 9000. Setăm ecuația: 9000=3000(1.04)t⇒3=(1.04)t9000 = 3000(1.04)^t \Rightarrow 3 = (1.04)^t.
52 puncte
Aplicăm logaritmul: ln⁡3=t⋅ln⁡1.04⇒t=ln⁡3ln⁡1.04\ln 3 = t \cdot \ln 1.04 \Rightarrow t = \frac{\ln 3}{\ln 1.04}. Calculăm: ln⁡3≈1.0986\ln 3 \approx 1.0986, ln⁡1.04≈0.0392\ln 1.04 \approx 0.0392, deci t≈1.09860.0392≈28.03t \approx \frac{1.0986}{0.0392} \approx 28.03 ani.
60 puncte
(pentru completitudine) Timpul necesar pentru triplare este de 2929 ani întregi (deoarece după 2828 ani suma nu a atins încă triplul, iar după 2929 ani depășește).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6Matematică aplicatăMatematică financiarăProcente
O companie investește 5000 euro într-un proiect cu creștere anuală a capitalului. Pentru primii 2 ani, rata anuală este de 8%8\%, iar pentru următorii 3 ani, rata anuală este de 6%6\%. Calculați valoarea finală a investiției după 5 ani folosind formula dobânzii compuse A=P(1+r)nA = P(1 + r)^n. Apoi, determinați procentul mediu anual de creștere rmr_m care, aplicat constant pe 5 ani, ar conduce la aceeași valoare finală.
Ușor#7Matematică aplicatăAplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un observator dorește să măsoare înălțimea unui turn. De la o distanță necunoscută dd (în metri), unghiul de elevație la vârful turnului este de 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 50 de metri, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Folosind funcții trigonometrice, calculați înălțimea turnului hh și distanța inițială dd.
Ușor#8Matematică aplicatăEcuații exponentiale
Populația unei orașe crește exponențial după legea P(t)=50000⋅e0.03tP(t) = 50000 \cdot e^{0.03t}, unde tt este timpul în ani. Determinați după câți ani populația va atinge 75 000 de locuitori și calculați rata medie anuală de creștere pe această perioadă.
Ușor#9Matematică aplicatăMatematică financiarăLogaritmi
Un investitor depune 12.000 lei într-un cont de economii cu dobândă compusă la o rată anuală de 6%. Dobânda se capitalizează anual. Determinați după câți ani suma din cont va depăși 18.000 lei. Utilizați logaritmi pentru rezolvare.
Ușor#10Matematică aplicatăMatematică financiarăLogaritmi
O persoană depune o sumă de 10.000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă cu o rată anuală de 5%. După câți ani suma va depăși 15.000 de lei, dacă dobânda se capitalizează anual? Utilizați logaritmi pentru rezolvare.
Ușor#11Matematică aplicatăProgresii GeometriceLogaritmi
Un investitor depune o sumă de 10.000 de lei într-un cont bancar cu dobândă compusă anuală de 5%. El dorește să știe după câți ani suma va fi cel puțin dublă. Rezolvați problema folosind logaritmi.
Ușor#12Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorFuncția de gradul al II-lea
O fabrică produce un articol cu un cost total dat de funcția C(x)=0.1x2+10x+1000C(x) = 0.1x^2 + 10x + 1000 lei, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este de 50 lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#13Matematică aplicatăLogaritmiEcuații exponentiale
O sumă de 5000 de lei este depusă într-un cont bancar cu o rată anuală a dobânzii de 5%, compusă continuu. a) Determinați suma din cont după 10 ani. b) În câți ani suma se va dubla? Folosiți formula A=PertA = P e^{rt}, unde AA este suma finală, PP este suma inițială, rr este rata dobânzii, și tt este timpul în ani.
Ușor#14Matematică aplicatăFuncția de gradul al II-leaAplicații ale derivatelor
Un producător estimează că profitul său lunar (în mii de lei) în funcție de prețul de vânzare pp (în lei pe unitate) este dat de funcția P(p)=−2p2+120p−1000P(p) = -2p^2 + 120p - 1000. a) Determinați prețul care maximizează profitul. b) Calculați profitul maxim. c) Pentru ce interval de prețuri profitul este pozitiv?
Ușor#15Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, probabilitatea ca un client să cumpere un produs A este 0.4, să cumpere produsul B este 0.3, și să cumpere ambele produse este 0.1. Dacă se aleg aleatoriu 5 clienți, care este probabilitatea ca exact 3 dintre ei să cumpere cel puțin unul dintre produsele A sau B?

Și alte 171 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Accesează toate cele 186 probleme de Matematică aplicată cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.