Probleme de nivel mediu de Monotonie și convexitate

Clasa a 11-a • 324 probleme de nivel mediu

Ușor (67)Toate
Mediu#1Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați derivata y′=4x3−12x2−16x=4x(x2−3x−4)=4x(x−4)(x+1)y'=4x^3-12x^2-16x=4x(x^2-3x-4)=4x(x-4)(x+1) și determinați punctele critice x=−1,0,4x=-1,0,4.
24 puncte
Analizați semnul lui y′y' pe intervale: pentru x<−1x<-1 y′<0y'<0 (descrescătoare), pentru −1<x<0-1<x<0 y′>0y'>0 (crescătoare), pentru 0<x<40<x<4 y′<0y'<0 (descrescătoare), pentru x>4x>4 y′>0y'>0 (crescătoare). Concluzionați natura extremelor după semnul lui y′y'.
33 puncte
Calculați valorile funcției în punctele critice: y(−1)=0y(-1)=0, y(0)=3y(0)=3, y(4)=−125y(4)=-125. Astfel: puncte de minim local (−1,0)(-1,0) și (4,−125)(4,-125), punct de maxim local (0,3)(0,3); intervalele de monotonicitate sunt (−∞,−1)(-\infty,-1) descrescătoare, (−1,0)(-1,0) crescătoare, (0,4)(0,4) descrescătoare, (4,∞)(4,\infty) crescătoare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției f(x)=(x−2)(8−x)x2f(x)=\frac{(x-2)(8-x)}{x^2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Determinați domeniul de definiție al funcției și calculați f′(x)f'(x).
24 puncte
Găsiți punctele critice rezolvând f′(x)=0f'(x)=0 și analizați semnul lui f′(x)f'(x) pe intervale, ținând cont de eventuale discontinuități.
33 puncte
Clasificați punctele critice ca maximum sau minimum local și indicați intervalele de monotonicitate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de monotonicitate și extremele funcției f(x) = x−125x2−13x3x - \frac{12}{5}x^2 - \frac{1}{3}x^3 și construiți graficul acesteia.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata f′(x)=1−245x−x2f'(x)=1-\frac{24}{5}x - x^2 și determinați punctele critice rezolvând f′(x)=0f'(x)=0.
23 puncte
Realizați tabelul de semne pentru f′f' pe intervalele determinate și stabiliți intervalele de monotonicitate.
32 puncte
Determinați natura extremelor (maxim/min) cu ajutorul semnului lui f′f' și calculați valorile funcției în punctele critice.
42 puncte
Studiați concavitatea cu f′′(x)f''(x) și comportamentul la ±∞\pm\infty, apoi schițați graficul rezultant, marcând intervalele monotone și extremele.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateAsimptote
Investigați comportamentul funcției y = 8(x3+x)/(2x−1)38(x^3 + x)/(2x - 1)^3 și construiți graficul. Câte rădăcini are ecuația 8(x3+x)/(2x−1)3=c8(x^3 + x)/(2x - 1)^3 = c?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniu de definiție, simetrii (dacă există), limite la x→±∞x\to\pm\infty și în apropierea punctului singular x=12x=\tfrac{1}{2}; identificarea asimptotelor (verticală și comportament asimptotic).;
24 puncte
Calcularea derivatei y′y' și, dacă este necesar, a y′′y''; studiu al monotonicității și al extremelor locale; studiu al concavității și punctelor de inflexiune.;
33 puncte
Construirea graficului coerent cu informațiile anterioare; determinarea imaginii funcției și, pe baza acesteia și a comportamentului monotonic, justificarea numărului de soluții ale ecuației 8(x3+x)/(2x−1)3=c8(x^3 + x)/(2x - 1)^3 = c pentru diferite valori ale lui cc.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Monotonie și convexitateDerivateAsimptote
Investigați comportamentul funcției y = 8(x3+x)/(2x+1)38(x^3 + x)/(2x + 1)^3 și construiți graficul. Câte rădăcini are ecuația 8(x3+x)/(2x+1)3=c8(x^3 + x)/(2x + 1)^3 = c?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniu de definiție, simetrii (dacă există), limite la x→±∞x\to\pm\infty și în apropierea punctului singular x=−12x=-\tfrac{1}{2}; identificarea asimptotelor (verticală și comportament asimptotic).;
24 puncte
Calcularea derivatei y′y' și, dacă este necesar, a y′′y''; studiu al monotonicității și al extremelor locale; studiu al concavității și punctelor de inflexiune.;
33 puncte
Construirea graficului coerent cu informațiile anterioare; determinarea imaginii funcției și, pe baza acesteia și a comportamentului monotonic, justificarea numărului de soluții ale ecuației 8(x3+x)/(2x+1)3=c8(x^3 + x)/(2x + 1)^3 = c pentru diferite valori ale lui cc.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Monotonie și convexitateAplicații ale derivatelorEcuații exponentiale
Fie funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=ex−x−1f(x) = e^x - x - 1. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. b) Demonstrați că pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, ex≥x+1e^x \geq x + 1, cu egalitate doar pentru x=0x=0. c) Folosind punctul b), determinați condițiile pe parametrii reali aa și bb astfel încât ecuația ex=ax+be^x = ax + b să aibă o soluție unică.
Mediu#7Monotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf : (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=xln⁡x−xf(x) = x \ln x - x. a) Determinați intervalele de monotonie și convexitate ale funcției ff. b) Aflați punctul de minim al funcției și calculați valoarea minimă. c) Rezolvați inecuația xln⁡x>x−1x \ln x > x - 1 pentru x>0x > 0.
Mediu#8Monotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2−9x+5f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă x=1x = 1. c) Aflați valorile parametrului real mm pentru care ecuația f(x)=mf(x) = m are trei soluții reale distincte.
Mediu#9Monotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x2ln⁡xf(x) = x^2 \ln x. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. b) Demonstrați că f(x)≥−12ef(x) \geq -\frac{1}{2e} pentru orice x>0x > 0. c) Calculați limita lim⁡x→0+f(x)\lim_{x \to 0^+} f(x).
Mediu#10Monotonie și convexitateAplicații ale derivatelorEcuații exponentiale
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2}. Se cere: a) Să se studieze monotonia și convexitatea funcției ff. b) Să se determine, în funcție de parametrii reali aa și bb, numărul de soluții reale ale ecuației e−x2=ax+be^{-x^2} = ax + b.
Mediu#11Monotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un producător estimează că profitul obținut din vânzarea a xx unități dintr-un produs este dat de funcția P(x)=−x3+12x2+60x−100P(x) = -x^3 + 12x^2 + 60x - 100, pentru x≥0x \geq 0. Se cere: a) Să se studieze monotonia funcției profit pe domeniul de definiție. b) Să se determine punctele de extrem local și să se arate că funcția este concavă pe un anumit interval. c) Să se afle numărul de unități care maximizează profitul.
Mediu#12Monotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x+x2−3xf(x) = e^{-x} + x^2 - 3x. Să se determine intervalele de monotonie și convexitate ale funcției ff. Apoi, folosind aceste proprietăți, să se arate că ecuația f(x)=0f(x) = 0 are exact două soluții reale distincte.
Mediu#13Monotonie și convexitateAplicații ale derivatelorArii și volume
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡x−ax+bf(x) = x \ln x - ax + b, unde aa și bb sunt parametri reali. Să se determine aa și bb astfel încât ff să fie convexă pe (0,∞)(0, \infty) și să aibă un punct de minim local în x=ex = e cu f(e)=0f(e) = 0. Apoi, pentru aceste valori, să se calculeze aria suprafeței delimitate de graficul lui ff, axa OxOx și dreptele x=1x = 1 și x=ex = e.
Mediu#14Monotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. Determinați intervalele de monotonie și convexitate ale funcției ff, precum și punctele de extrem și de inflexiune. Apoi, scrieți ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă x=1x = 1.
Mediu#15Monotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡xf(x) = x \ln x. Studiați monotonia și convexitatea acestei funcții. Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea f(x)≥−1ef(x) \geq -\frac{1}{e}, utilizând proprietățile derivatelor.

Și alte 309 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Accesează toate cele 324 probleme de Monotonie și convexitate cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.