Probleme ușoare de Monotonie și convexitate

Clasa a 11-a • 67 probleme de nivel ușor

Mediu (324)Toate
Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Calculați derivata: y' = -\big((x-2)^2 + 2x(x-2)\) = -(x-2)(3x-2) și determinați punctele critice x=2x=2 și x=23x=\frac{2}{3}.
26 puncte
Studiați semnul lui y′y' pe intervalele determinate de punctele critice și concluzionați: yy este descrescătoare pe (−∞,23)(-\infty,\frac{2}{3}), crescătoare pe (23,2)(\frac{2}{3},2) și descrescătoare pe (2,∞)(2,\infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați derivata y′=6x2+6x=6x(x+1)y'=6x^2+6x=6x(x+1).
23 puncte
Găsiți punctele critice rezolvând y′=0⇒x=0,  x=−1y'=0\Rightarrow x=0,\;x=-1.
33 puncte
Determinați semnul lui y′y' pe intervale: pentru x<−1x<-1 avem y′>0y'>0, pentru −1<x<0-1<x<0 avem y′<0y'<0, pentru x>0x>0 avem y′>0y'>0.
42 puncte
Concluzionați intervalele de creștere (−∞,−1)(-\infty,-1) și (0,∞)(0,\infty) și intervalul de descreștere (−1,0)(-1,0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați derivata y′=2x2−2x−4=2(x−2)(x+1)y'=2x^2-2x-4=2(x-2)(x+1).
23 puncte
Găsiți punctele critice rezolvând y′=0⇒x=2,  x=−1y'=0\Rightarrow x=2,\;x=-1.
33 puncte
Determinați semnul lui y′y' pe intervale: pentru x<−1x<-1 avem y′>0y'>0, pentru −1<x<2-1<x<2 avem y′<0y'<0, pentru x>2x>2 avem y′>0y'>0; puteți verifica natura extremelor și cu y′′(x)=4x−2y''(x)=4x-2.
42 puncte
Concluzionați: maxim local la x=−1x=-1 cu y(−1)=223y(-1)=\frac{22}{3}, minim local la x=2x=2 cu y(2)=−53y(2)=-\frac{5}{3}; intervale de creștere (−∞,−1)(-\infty,-1) și (2,∞)(2,\infty), descreștere (−1,2)(-1,2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = 4x4−2x2+34x^4 - 2x^2 + 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați derivata y′=16x3−4x=4x(4x2−1)=4x(2x−1)(2x+1)y'=16x^3-4x=4x(4x^2-1)=4x(2x-1)(2x+1) și determinați punctele critice x=−12,0,12x=-\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{2}.
24 puncte
Analizați semnul lui y′y' pe intervale: pentru x<−12x<-\tfrac{1}{2} y′<0y'<0 (descrescătoare), pentru −12<x<0-\tfrac{1}{2}<x<0 y′>0y'>0 (crescătoare), pentru 0<x<120<x<\tfrac{1}{2} y′<0y'<0 (descrescătoare), pentru x>12x>\tfrac{1}{2} y′>0y'>0 (crescătoare). Determinați natura extremelor după semnul lui y′y'.
33 puncte
Calculați valorile funcției în punctele critice: y(±12)=114y(\pm\tfrac{1}{2})=\tfrac{11}{4}, y(0)=3y(0)=3. Astfel: puncte de minim local (−12,114)(-\tfrac{1}{2},\tfrac{11}{4}) și (12,114)(\tfrac{1}{2},\tfrac{11}{4}), punct de maxim local (0,3)(0,3); intervalele de monotonicitate sunt (−∞,−12)(-\infty,-\tfrac{1}{2}) descrescătoare, (−12,0)(-\tfrac{1}{2},0) crescătoare, (0,12)(0,\tfrac{1}{2}) descrescătoare, (12,∞)(\tfrac{1}{2},\infty) crescătoare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Monotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Considerați funcția g:(0,∞)→Rg: (0, \infty) \to \mathbb{R}, g(x)=ln⁡x−x+1g(x) = \ln x - x + 1. Studiați monotonia și convexitatea acestei funcții. Determinați valoarea maximă a funcției. Aplicați aceste rezultate pentru a demonstra inegalitatea ln⁡x≤x−1\ln x \leq x - 1 pentru orice x>0x > 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se calculează derivata întâi: g′(x)=1x−1g'(x) = \frac{1}{x} - 1. Se rezolvă g′(x)=0g'(x)=0 obținând x=1x=1. Semnul derivatei: pentru x∈(0,1)x \in (0,1), g′(x)>0g'(x) > 0 deci gg crescătoare; pentru x∈(1,∞)x \in (1,\infty), g′(x)<0g'(x) < 0 deci gg descrescătoare.\n
23 puncte
Se calculează derivata a doua: g′′(x)=−1x2g''(x) = -\frac{1}{x^2}. Pentru x>0x>0, g′′(x)<0g''(x) < 0, deci funcția gg este concavă pe (0,∞)(0,\infty).\n
32 puncte
Valoarea maximă a funcției este atinsă în x=1x=1, cu g(1)=ln⁡1−1+1=0g(1) = \ln 1 - 1 + 1 = 0.\n
42 puncte
Din studiul monotonia, g(x)≤g(1)=0g(x) \leq g(1) = 0 pentru orice x>0x>0, deci ln⁡x−x+1≤0\ln x - x + 1 \leq 0, adică ln⁡x≤x−1\ln x \leq x - 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6Monotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un dreptunghi are perimetrul de 20 cm. Exprimați aria dreptunghiului în funcție de lungimea unei laturi, notată cu xx. Studiați monotonia și convexitatea funcției ariei. Apoi, folosiți derivatele pentru a determina dimensiunile dreptunghiului care maximizează aria.
Ușor#7Monotonie și convexitateAplicații ale derivatelorArii și volume
Un dreptunghi are perimetrul fixat egal cu 20 cm. Fie xx lungimea unei laturi, cu 0<x<100 < x < 10. Exprimați aria A(x)A(x) a dreptunghiului în funcție de xx. Studiați monotonia și convexitatea funcției AA pe intervalul (0,10)(0,10). Determinați dimensiunile dreptunghiului pentru care aria este maximă.
Ușor#8Monotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un dreptunghi are perimetrul de 20 cm. Să se determine dimensiunile dreptunghiului care maximizează aria, folosind derivata funcției ariei. Apoi, să se studieze monotonia și convexitatea funcției ariei în funcție de una dintre laturi.
Ușor#9Monotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=xln⁡x−xf(x) = x \ln x - x. Să se studieze monotonia și convexitatea funcției ff. Apoi, să se determine valoarea minimă a funcției pe domeniul său de definiție și să se arate că funcția este convexă pe întreg domeniul.
Ușor#10Monotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Demonstrați că pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, are loc inegalitatea ex≥x+1e^x \geq x + 1, folosind proprietăți de monotonie și convexitate ale funcției h(x)=ex−x−1h(x) = e^x - x - 1.
Ușor#11Monotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un dreptunghi are perimetrul constant egal cu PP (cu P>0P>0). Notăm cu xx lungimea unei laturi, cu x∈(0,P2)x \in (0, \frac{P}{2}). Exprimați aria AA a dreptunghiului în funcție de xx. Studiați monotonia și convexitatea funcției A(x)A(x) și determinați valoarea lui xx pentru care aria este maximă. Verificați că punctul critic este de maxim folosind convexitatea.
Ușor#12Monotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Fie funcția g:(0,∞)→Rg: (0, \infty) \to \mathbb{R}, g(x)=xln⁡(x)−xg(x) = x \ln(x) - x. Să se studieze monotonia și convexitatea funcției gg și să se determine valoarea minimă a acesteia pe intervalul (0,∞)(0, \infty).
Ușor#13Monotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=xln⁡xf(x) = x \ln x. Determinați intervalele pe care funcția este monotonă și convexă/concavă. Apoi găsiți punctul de minim al funcției și valoarea minimă.
Ușor#14Monotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un dreptunghi are perimetrul de 20 cm. Determinați dimensiunile dreptunghiului astfel încât aria să fie maximă, folosind derivate. Apoi, studiați monotonia funcției arie în funcție de o dimensiune și verificați convexitatea acesteia.
Ușor#15Monotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un dreptunghi are perimetrul de 20 cm. Dacă notăm cu xx lungimea unei laturi, exprimați aria A(x)A(x) a dreptunghiului în funcție de xx și determinați valoarea lui xx pentru care aria este maximă. Studiați monotonia și convexitatea funcției A(x)A(x) pe domeniul său de definiție și arătați că punctul găsit este maxim.

Și alte 52 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Accesează toate cele 67 probleme de Monotonie și convexitate cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.