Probleme de nivel mediu de Polinoame

Clasa a 9-a • 265 probleme de nivel mediu

Ușor (85)Greu (1)Toate
Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți toate polinoamele de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] de forma ax2+bx+cax^2+bx+c cu a,b,c∈Z3a,b,c \in \mathbb{Z}_3, a≠0a \neq 0; verificați ireductibilitatea testând rădăcinile în Z3\mathbb{Z}_3 și factorizările posibile; polinoamele ireductibile sunt x2+1x^2+1, x2+x+2x^2+x+2, x2+2x+2x^2+2x+2 (sau echivalente după simplificări).
23 puncte
Pentru un polinom ireductibil f(x)f(x), arătați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) nu are divizori ai lui zero: presupunând g(x)h(x)≡0mod  f(x)g(x)h(x) \equiv 0 \mod f(x), deduceți că f(x)f(x) divide g(x)h(x)g(x)h(x) și, folosind ireductibilitatea, că f(x)f(x) divide g(x)g(x) sau h(x)h(x), deci clasele sunt zero.
34 puncte
Demonstrați că orice element nenul din Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) are invers: fie [g(x)][g(x)] o clasă nenulă, deci f(x)f(x) nu divide g(x)g(x); folosiți algoritmul lui Euclid pentru polinoame pentru a găsi u(x),v(x)u(x), v(x) astfel încât g(x)u(x)+f(x)v(x)=1g(x)u(x) + f(x)v(x) = 1, de unde [g(x)][u(x)]=[1][g(x)][u(x)] = [1], deci [u(x)][u(x)] este inversul lui [g(x)][g(x)].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.

Rezolvare completă

  1. 2 puncte: Demonstrați că f(x)=x2+x+1f(x) = x^2 + x + 1 este ireductibil peste Z2\mathbb{Z}_2: se evaluează f(0)=1f(0) = 1 și f(1)=1+1+1=1f(1) = 1 + 1 + 1 = 1 în Z2\mathbb{Z}_2, deci nu are rădăcini în Z2\mathbb{Z}_2; fiind polinom de grad 2, ireductibilitatea este echivalentă cu absența rădăcinilor.
  2. 2 puncte: Explicați că dacă f(x)f(x) este un polinom ireductibil peste un corp KK, atunci idealul (f(x))(f(x)) este maximal în K[x]K[x], deci inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp.
  3. 2 puncte: Elementele inelului factor sunt clasele de resturi modulo f(x)f(x) de grad cel mult 1: {0+(f(x)),1+(f(x)),x+(f(x)),x+1+(f(x))}\{0 + (f(x)), 1 + (f(x)), x + (f(x)), x+1 + (f(x))\}, unde 00 și 11 sunt elementele din Z2\mathbb{Z}_2.
  4. 2 puncte: Arătați că aceste patru clase sunt distincte: dacă două polinoame de grad cel mult 1 sunt congruente modulo f(x)f(x), diferența lor este divizibilă cu f(x)f(x), dar gradul diferenței este cel mult 1, deci trebuie să fie polinomul nul.
  5. 2 puncte: Verificați că corpul are 4 elemente: din pașii anteriori, mulțimea are exact 4 elemente; pentru a confirma că este corp, se poate verifica că fiecare element nenul are invers, de exemplu (x+(f(x)))⋅(x+1+(f(x)))=x(x+1)+(f(x))=x2+x+(f(x))(x + (f(x))) \cdot (x+1 + (f(x))) = x(x+1) + (f(x)) = x^2 + x + (f(x)), și cum x2+x≡1mod  f(x)x^2 + x \equiv 1 \mod f(x) (deoarece f(x)=x2+x+1f(x) = x^2 + x + 1), rezultă că xx și x+1x+1 sunt inverse unul altuia.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3PolinoameDerivateAplicații ale derivatelor
În funcție de p, indicați valorile lui a pentru care ecuația x3+2px2+p=ax^3+2p x^2+p=a are trei rădăcini reale distincte.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Considerăm funcția F(x)=x3+2px2+pF(x)=x^3+2p x^2+p; derivata este F′(x)=3x2+4px=x(3x+4p)F'(x)=3x^2+4px= x(3x+4p), deci punctele critice sunt x1=0x_1=0 și x2=−4p3x_2=-\frac{4p}{3}. Evaluăm valorile: F(0)=pF(0)=p și F(−4p3)=p+32p327F\left(-\frac{4p}{3}\right)=p+\frac{32p^3}{27}.
24 puncte
Pentru ca ecuația F(x)=aF(x)=a să aibă trei rădăcini reale distincte este necesar și suficient ca aa să fie strict între valorile extremelor locale (valorile la punctele critice) și ca aceste extreme să fie distincte, adică p≠0p\neq 0. Astfel, dacă p>0p>0 atunci F(−4p3)=p+32p327>pF\left(-\frac{4p}{3}\right)=p+\frac{32p^3}{27}>p și condiția este p<a<p+32p327p<a<p+\frac{32p^3}{27}; dacă p<0p<0 atunci p+32p327<pp+\frac{32p^3}{27}<p și condiția este p+32p327<a<pp+\frac{32p^3}{27}<a<p.
32 puncte
Observați că pentru p=0p=0 nu există trei rădăcini reale distincte (ecuația devine x3=ax^3=a), deci p≠0p\neq 0 este necesar.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4PolinoameDerivateMonotonie și convexitate
Dată funcția y=x4−10x2+9y = x^4 - 10x^2 + 9. Investigați comportamentul ei și schițați aproximativ graficul.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Domeniu, simetrie și intersecții cu axe — determinați D(y)=RD( y )=\mathbb{R}, observați că funcția este pară, calculați y(0)=9y(0)=9 și factorizați pentru găsirea rădăcinilor: x4−10x2+9=(x2−9)(x2−1)=(x−3)(x+3)(x−1)(x+1)x^4-10x^2+9=(x^2-9)(x^2-1)=(x-3)(x+3)(x-1)(x+1), deci rădăcini x=±1,±3x=\pm1,\pm3.
22 puncte
Comportamentul la infinit și asimptote — determinați limita pentru x→±∞x\to\pm\infty folosind termenul dominant x4x^4, obţineți y→+∞y\to+\infty pentru ambele capete (fără asimptote oblice sau orizontale).
33 puncte
Derivate, puncte critice și monotonia — calculați y′=4x3−20x=4x(x2−5)y'=4x^3-20x=4x(x^2-5), găsiți punctele critice x=0,±5x=0,\pm\sqrt{5}; analizaţi monotonia pe intervale şi clasificaţi extremelor (evaluări: y(0)=9y(0)=9 maxim local, y(±5)=25−50+9=−16y(\pm\sqrt{5})=25-50+9=-16 minime locale).
41 punct
Concavitate și puncte de inflexiune — calculați y′′=12x2−20y''=12x^2-20, găsiți y′′=0⇒x=±5/3y''=0\Rightarrow x=\pm\sqrt{5/3} și determinaţi schimbările de concavitate; calculați coordonatele punctelor de inflexiune.
52 puncte
Schițați graficul aproximativ indicând rădăcinile, extremele, punctele de inflexiune, semnele derivatelor pe intervale şi traiectoria funcţiei (comportament la infinit).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5PolinoameStudiul funcțiilor
Dată funcția y=(x−1)2(x−2)3y = (x - 1)^2 (x - 2)^3. Investigați variația acesteia și construiți graficul.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Domeniu și rădăcini — determinați D(y)=RD(y)=\mathbb{R}, găsiți rădăcinile x=1x=1 (multiplicitate 2) și x=2x=2 (multiplicitate 3), calculați valori uşoare (y(1)=0y(1)=0, y(2)=0y(2)=0) și observaţi comportarea la rădăcini în funcție de multiplicitate.
22 puncte
Limite la infinit — observați gradul polinomului (5) și coeficientul dominant pozitiv, deci y→−∞y\to-\infty când x→−∞x\to-\infty și y→+∞y\to+\infty când x→+∞x\to+\infty.
33 puncte
Derivată, puncte critice și monotonia — calculați y′=2(x−1)(x−2)3+3(x−1)2(x−2)2=(x−1)(x−2)2(5x−7)y'=2(x-1)(x-2)^3+3(x-1)^2(x-2)^2=(x-1)(x-2)^2(5x-7), identificați punctele critice x=1,x=2,x=7/5x=1, x=2, x=7/5, analizaţi semnul derivatelor pe intervale şi clasificaţi punctele: la x=1x=1 schimbare de la creștere la descreștere (maxim local, y(1)=0y(1)=0), la x=7/5x=7/5 minim local (y(7/5)=(2/5)2(−3/5)3=−108/3125y(7/5)=(2/5)^2(-3/5)^3=-108/3125), la x=2x=2 derivata nu-și schimbă semnul (punct staționar fără extrem local, comportare de trecere cu aplatizare datorită multiplicității).
41 punct
Concavitate și puncte de inflexiune — investigați y′′y'' (sau analiza schimbărilor de semn ale y′y') pentru a găsi intervalele de concavitate și pozițiile aproximative ale punctelor de inflexiune (observați în special comportarea în jurul lui x=2x=2).
52 puncte
Schițați graficul aproximativ indicând rădăcinile cu multiplicităţi, pozițiile și tipurile extremelor, monotonia pe intervale și comportamentul la infinit.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6PolinoameProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați polinomul P(x)P(x) de gradul al treilea cu coeficienți reali, știind că P(1)=0P(1)=0, P(2)=4P(2)=4, și că rădăcinile polinomului sunt în progresie aritmetică.
Mediu#7PolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul Q(x)=x4+ax3+bx2+cx+dQ(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d cu coeficienți reali. Știind că Q(i)=0Q(i) = 0 și Q(1+i)=0Q(1+i) = 0, unde ii este unitatea imaginară, determinați coeficienții a,b,c,da, b, c, d.
Mediu#8PolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(X)=X4+4P(X) = X^4 + 4. a) Descompuneți P(X)P(X) în factori ireductibili peste R\mathbb{R}. b) Descompuneți P(X)P(X) în factori ireductibili peste C\mathbb{C}.
Mediu#9PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Fie polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c cu coeficienți reali și rădăcinile x1,x2,x3x_1, x_2, x_3. Se știe că x1+x2+x3=0x_1 + x_2 + x_3 = 0 și x12+x22+x32=1x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1. Demonstrați că a=0a = 0 și exprimați S=x14+x24+x34S = x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 în funcție de bb.
Mediu#10PolinoameNumere Complexe
Fie polinomul Q(z)=z4+az3+bz2+az+1Q(z) = z^4 + az^3 + bz^2 + az + 1, unde a,b∈Ca, b \in \mathbb{C}. Dacă toate rădăcinile ecuației Q(z)=0Q(z) = 0 au modulul egal cu 1, demonstrați că aa și bb sunt numere reale și determinați o relație între aa și bb.
Mediu#11PolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(x)=x3−3x2+4x−2P(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2. Să se demonstreze că polinomul are o rădăcină reală și două rădăcini complex conjugate, și să se calculeze ∣z1∣2+∣z2∣2|z_1|^2 + |z_2|^2, unde z1z_1 și z2z_2 sunt rădăcinile complexe.
Mediu#12PolinoameDerivateStudiul funcțiilor
Fie polinomul P(x)=x4−2x3+x2P(x) = x^4 - 2x^3 + x^2. Să se determine punctele de extrem ale funcției f(x)=P(x)f(x) = P(x) și să se arate că polinomul are două rădăcini duble.
Mediu#13PolinoameProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c, cu coeficienți reali. Știind că rădăcinile polinomului sunt în progresie aritmetică, suma rădăcinilor este 6 și produsul rădăcinilor este 8, determinați coeficienții aa, bb și cc.
Mediu#14PolinoameNumere ComplexeGeometrie Analitică
Fie polinomul Q(x)=x4+4Q(x) = x^4 + 4. Determinați rădăcinile complexe ale acestui polinom și demonstrați că acestea sunt vârfurile unui pătrat în planul complex.
Mediu#15PolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(X)=X4−2X3+3X2−4X+5P(X) = X^4 - 2X^3 + 3X^2 - 4X + 5. Se știe că P(i)=0P(i) = 0, unde ii este unitatea imaginară. Determinați toate rădăcinile complexe ale polinomului și scrieți-l ca produs de factori ireductibili peste R\mathbb{R}.

Și alte 250 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Accesează toate cele 265 probleme de Polinoame cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.