Probleme de Polinoame — Clasa a 9-a

Exerciții pentru școalăAlgebra • 647 probleme cu rezolvări complete
Teorie Polinoame — Formule si exemple rezolvate

Polinoamele sunt expresii algebrice cu una sau mai multe variabile. Include operații, teorema împărțirii cu rest, rădăcini și descompuneri în factori.

Verificat de profesori de matematică

Ușor

85

probleme

Mediu

265

probleme

Greu

1

probleme

Grile de Polinoame

296 întrebări cu variante de răspuns

→

Exemple de probleme

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți toate polinoamele de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] de forma ax2+bx+cax^2+bx+c cu a,b,c∈Z3a,b,c \in \mathbb{Z}_3, a≠0a \neq 0; verificați ireductibilitatea testând rădăcinile în Z3\mathbb{Z}_3 și factorizările posibile; polinoamele ireductibile sunt x2+1x^2+1, x2+x+2x^2+x+2, x2+2x+2x^2+2x+2 (sau echivalente după simplificări).
23 puncte
Pentru un polinom ireductibil f(x)f(x), arătați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) nu are divizori ai lui zero: presupunând g(x)h(x)≡0mod  f(x)g(x)h(x) \equiv 0 \mod f(x), deduceți că f(x)f(x) divide g(x)h(x)g(x)h(x) și, folosind ireductibilitatea, că f(x)f(x) divide g(x)g(x) sau h(x)h(x), deci clasele sunt zero.
34 puncte
Demonstrați că orice element nenul din Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) are invers: fie [g(x)][g(x)] o clasă nenulă, deci f(x)f(x) nu divide g(x)g(x); folosiți algoritmul lui Euclid pentru polinoame pentru a găsi u(x),v(x)u(x), v(x) astfel încât g(x)u(x)+f(x)v(x)=1g(x)u(x) + f(x)v(x) = 1, de unde [g(x)][u(x)]=[1][g(x)][u(x)] = [1], deci [u(x)][u(x)] este inversul lui [g(x)][g(x)].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.

Rezolvare completă

  1. 2 puncte: Demonstrați că f(x)=x2+x+1f(x) = x^2 + x + 1 este ireductibil peste Z2\mathbb{Z}_2: se evaluează f(0)=1f(0) = 1 și f(1)=1+1+1=1f(1) = 1 + 1 + 1 = 1 în Z2\mathbb{Z}_2, deci nu are rădăcini în Z2\mathbb{Z}_2; fiind polinom de grad 2, ireductibilitatea este echivalentă cu absența rădăcinilor.
  2. 2 puncte: Explicați că dacă f(x)f(x) este un polinom ireductibil peste un corp KK, atunci idealul (f(x))(f(x)) este maximal în K[x]K[x], deci inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp.
  3. 2 puncte: Elementele inelului factor sunt clasele de resturi modulo f(x)f(x) de grad cel mult 1: {0+(f(x)),1+(f(x)),x+(f(x)),x+1+(f(x))}\{0 + (f(x)), 1 + (f(x)), x + (f(x)), x+1 + (f(x))\}, unde 00 și 11 sunt elementele din Z2\mathbb{Z}_2.
  4. 2 puncte: Arătați că aceste patru clase sunt distincte: dacă două polinoame de grad cel mult 1 sunt congruente modulo f(x)f(x), diferența lor este divizibilă cu f(x)f(x), dar gradul diferenței este cel mult 1, deci trebuie să fie polinomul nul.
  5. 2 puncte: Verificați că corpul are 4 elemente: din pașii anteriori, mulțimea are exact 4 elemente; pentru a confirma că este corp, se poate verifica că fiecare element nenul are invers, de exemplu (x+(f(x)))⋅(x+1+(f(x)))=x(x+1)+(f(x))=x2+x+(f(x))(x + (f(x))) \cdot (x+1 + (f(x))) = x(x+1) + (f(x)) = x^2 + x + (f(x)), și cum x2+x≡1mod  f(x)x^2 + x \equiv 1 \mod f(x) (deoarece f(x)=x2+x+1f(x) = x^2 + x + 1), rezultă că xx și x+1x+1 sunt inverse unul altuia.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Factorizați: x4+5x3+6x2=x2(x+2)(x+3)x^4+5x^3+6x^2=x^2(x+2)(x+3) și x2−3x−10=(x+2)(x−5)x^2-3x-10=(x+2)(x-5); eliminați factorul comun (x+2)(x+2).
26 puncte
Evaluați expresia rezultată în x=−2x=-2: lim⁡x→−2x2(x+3)x−5=4⋅1−7=−47\lim_{x\to -2} \frac{x^2(x+3)}{x-5}=\frac{4\cdot1}{-7}=-\frac{4}{7}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Se verifică substituția și se obține forma nedeterminată 00\frac{0}{0}.;
24 puncte
Se factorizează numărătorul x4−2x2+1=(x2−1)2=(x−1)2(x+1)2x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2=(x-1)^2(x+1)^2 și numitorul x3−1=(x−1)(x2+x+1)x^3-1=(x-1)(x^2+x+1).;
34 puncte
Se simplifică un factor (x−1)(x-1) și se calculează limita prin substituție, obținând 00.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5PolinoameDerivateAplicații ale derivatelor
În funcție de p, indicați valorile lui a pentru care ecuația x3+2px2+p=ax^3+2p x^2+p=a are trei rădăcini reale distincte.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Considerăm funcția F(x)=x3+2px2+pF(x)=x^3+2p x^2+p; derivata este F′(x)=3x2+4px=x(3x+4p)F'(x)=3x^2+4px= x(3x+4p), deci punctele critice sunt x1=0x_1=0 și x2=−4p3x_2=-\frac{4p}{3}. Evaluăm valorile: F(0)=pF(0)=p și F(−4p3)=p+32p327F\left(-\frac{4p}{3}\right)=p+\frac{32p^3}{27}.
24 puncte
Pentru ca ecuația F(x)=aF(x)=a să aibă trei rădăcini reale distincte este necesar și suficient ca aa să fie strict între valorile extremelor locale (valorile la punctele critice) și ca aceste extreme să fie distincte, adică p≠0p\neq 0. Astfel, dacă p>0p>0 atunci F(−4p3)=p+32p327>pF\left(-\frac{4p}{3}\right)=p+\frac{32p^3}{27}>p și condiția este p<a<p+32p327p<a<p+\frac{32p^3}{27}; dacă p<0p<0 atunci p+32p327<pp+\frac{32p^3}{27}<p și condiția este p+32p327<a<pp+\frac{32p^3}{27}<a<p.
32 puncte
Observați că pentru p=0p=0 nu există trei rădăcini reale distincte (ecuația devine x3=ax^3=a), deci p≠0p\neq 0 este necesar.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6PolinoameDerivateAplicații ale derivatelor
Găsiți valorile maximă și minimă ale funcției f(x)=x3−3x2+2f(x)=x^3-3x^2+2 pe intervalul [−1,3][-1,3] și construiți graficul acesteia pe acel interval.
Mediu#7PolinoameDerivateMonotonie și convexitate
Dată funcția y=x4−10x2+9y = x^4 - 10x^2 + 9. Investigați comportamentul ei și schițați aproximativ graficul.
Mediu#8PolinoameStudiul funcțiilor
Dată funcția y=(x−1)2(x−2)3y = (x - 1)^2 (x - 2)^3. Investigați variația acesteia și construiți graficul.
Mediu#9PolinoameProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați polinomul P(x)P(x) de gradul al treilea cu coeficienți reali, știind că P(1)=0P(1)=0, P(2)=4P(2)=4, și că rădăcinile polinomului sunt în progresie aritmetică.
Mediu#10PolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul Q(x)=x4+ax3+bx2+cx+dQ(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d cu coeficienți reali. Știind că Q(i)=0Q(i) = 0 și Q(1+i)=0Q(1+i) = 0, unde ii este unitatea imaginară, determinați coeficienții a,b,c,da, b, c, d.

Și alte 341 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Accesează toate cele 647 probleme de Polinoame cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Alte capitole pentru clasa a 9-a

→Algebră și Calcule cu Numere Reale
511 probleme
→Aplicații ale trigonometriei în geometrie
411 probleme
→Funcția de gradul I
399 probleme
→Identități algebrice
396 probleme
→Inducție matematică
391 probleme

Câștigă XP și badge-uri rezolvând probleme

Sistem de niveluri (1-20), clasament săptămânal și serie zilnică de învățare. Începe gratuit cu 50 de credite.