Probleme ușoare de Polinoame

Clasa a 9-a • 85 probleme de nivel ușor

Mediu (265)Greu (1)Toate
Ușor#1PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Factorizați: x4+5x3+6x2=x2(x+2)(x+3)x^4+5x^3+6x^2=x^2(x+2)(x+3) și x2−3x−10=(x+2)(x−5)x^2-3x-10=(x+2)(x-5); eliminați factorul comun (x+2)(x+2).
26 puncte
Evaluați expresia rezultată în x=−2x=-2: lim⁡x→−2x2(x+3)x−5=4⋅1−7=−47\lim_{x\to -2} \frac{x^2(x+3)}{x-5}=\frac{4\cdot1}{-7}=-\frac{4}{7}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Se verifică substituția și se obține forma nedeterminată 00\frac{0}{0}.;
24 puncte
Se factorizează numărătorul x4−2x2+1=(x2−1)2=(x−1)2(x+1)2x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2=(x-1)^2(x+1)^2 și numitorul x3−1=(x−1)(x2+x+1)x^3-1=(x-1)(x^2+x+1).;
34 puncte
Se simplifică un factor (x−1)(x-1) și se calculează limita prin substituție, obținând 00.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3PolinoameDerivateAplicații ale derivatelor
Găsiți valorile maximă și minimă ale funcției f(x)=x3−3x2+2f(x)=x^3-3x^2+2 pe intervalul [−1,3][-1,3] și construiți graficul acesteia pe acel interval.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2) și determinați punctele critice x=0,2x=0,2.;
22 puncte
Evaluați funcția în punctele critice și la capetele intervalului: f(−1)=−2f(-1)=-2, f(0)=2f(0)=2, f(2)=−2f(2)=-2, f(3)=2f(3)=2.;
33 puncte
Determinați maximele și minime pe baza valorilor evaluate: maxime 22 la x=0,3x=0,3, minime −2-2 la x=−1,2x=-1,2.;
42 puncte
Construiți graficul funcției pe intervalul [−1,3][-1,3] indicând punctele de extremă și valorile corespunzătoare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4PolinoameProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(X)=X3+aX2+bX+cP(X) = X^3 + aX^2 + bX + c cu coeficienți reali. Știind că rădăcinile lui PP sunt în progresie aritmetică, suma lor este 6 și produsul lor este 8, determinați coeficienții a,b,ca, b, c.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm rădăcinile polinomului ca x1=r−dx_1 = r-d, x2=rx_2 = r, x3=r+dx_3 = r+d, unde dd este rația progresiei aritmetice.\n
23 puncte
Din suma rădăcinilor: x1+x2+x3=3r=6x_1 + x_2 + x_3 = 3r = 6, deci r=2r = 2. Din produsul rădăcinilor: x1x2x3=(2−d)⋅2⋅(2+d)=8⇒2(4−d2)=8⇒4−d2=4⇒d2=0⇒d=0x_1 x_2 x_3 = (2-d) \cdot 2 \cdot (2+d) = 8 \Rightarrow 2(4-d^2) = 8 \Rightarrow 4-d^2 = 4 \Rightarrow d^2 = 0 \Rightarrow d = 0.\n
34 puncte
Cu d=0d=0, rădăcinile sunt toate egale cu 22, deci P(X)=(X−2)3=X3−6X2+12X−8P(X) = (X-2)^3 = X^3 - 6X^2 + 12X - 8. Comparând cu P(X)=X3+aX2+bX+cP(X) = X^3 + aX^2 + bX + c, obținem a=−6a = -6, b=12b = 12, c=−8c = -8.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5PolinoameProgresii Aritmetice
Demonstrați că rădăcinile polinomului P(X)=X3−6X2+11X−6P(X) = X^3 - 6X^2 + 11X - 6 sunt în progresie aritmetică și găsiți rația.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Presupunem că rădăcinile sunt în progresie aritmetică: α−r,α,α+r\alpha - r, \alpha, \alpha + r.
22 puncte
Din relațiile lui Viète, suma rădăcinilor este 6=(α−r)+α+(α+r)=3α6 = (\alpha-r) + \alpha + (\alpha+r) = 3\alpha, deci α=2\alpha = 2.
32 puncte
Suma produselor a două rădăcini este 11=(α−r)α+α(α+r)+(α−r)(α+r)=3α2−r211 = (\alpha-r)\alpha + \alpha(\alpha+r) + (\alpha-r)(\alpha+r) = 3\alpha^2 - r^2. Înlocuind α=2\alpha=2, obținem 12−r2=1112 - r^2 = 11, deci r2=1r^2 = 1 și r=±1r = \pm 1.
42 puncte
Produsul rădăcinilor este 6=(α−r)α(α+r)=α(α2−r2)6 = (\alpha-r)\alpha(\alpha+r) = \alpha(\alpha^2 - r^2). Pentru α=2\alpha=2 și r=±1r=\pm 1, avem 2(4−1)=62(4-1)=6, ceea ce verifică.
52 puncte
Prin urmare, rădăcinile sunt 1,2,31, 2, 3 (pentru r=1r=1) sau 3,2,13,2,1 (pentru r=−1r=-1), deci sunt în progresie aritmetică cu rația 11 sau −1-1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeProgresii Aritmetice
Fie polinomul P(X)=X3−6X2+11X−6P(X) = X^3 - 6X^2 + 11X - 6. Determinați rădăcinile sale și arătați că ele sunt în progresie aritmetică. Apoi, calculați suma inverselor rădăcinilor.
Ușor#7PolinoameNumere ComplexeTrigonometrie
Fie polinomul P(X)=X3−1P(X) = X^3 - 1. Determinați rădăcinile sale complexe și exprimați-le în formă trigonometrică.
Ușor#8PolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(X)=X3+aX2+bX+cP(X) = X^3 + aX^2 + bX + c cu coeficienți reali. Știind că P(1+i)=0P(1+i) = 0, unde i2=−1i^2 = -1, și că suma rădăcinilor este 4, determinați coeficienții a,b,ca, b, c și scrieți polinomul în formă factorizată.
Ușor#9PolinoameSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie P(x)P(x) un polinom de gradul 2. Știind că P(x+1)−P(x)=2x+1P(x+1) - P(x) = 2x + 1 și P(0)=1P(0) = 1, determinați polinomul P(x)P(x).
Ușor#10PolinoameSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c un polinom de gradul al doilea. Știind că P(1)=2P(1) = 2, P(2)=3P(2) = 3, și P(3)=5P(3) = 5, determinați coeficienții aa, bb, cc.
Ușor#11PolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c cu rădăcinile x1,x2,x3∈Cx_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}. Știind că x1+x2+x3=6x_1 + x_2 + x_3 = 6, x1x2+x2x3+x3x1=11x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = 11, și x1x2x3=6x_1x_2x_3 = 6, determinați coeficienții a,b,ca, b, c și exprimați polinomul în forma factorizată.
Ușor#12PolinoameProgresii Aritmetice
Se consideră polinomul Q(x)=x4−10x3+35x2−50x+24Q(x) = x^4 -10x^3 +35x^2 -50x +24. Determinați rădăcinile polinomului și arătați că ele formează o progresie aritmetică.
Ușor#13PolinoameProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(x)=x3−6x2+11x−6P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6. Să se determine rădăcinile polinomului și să se arate că ele formează o progresie aritmetică. Apoi, să se calculeze suma S=1x1+1x2+1x3S = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}.
Ușor#14PolinoameDerivateStudiul funcțiilor
Fie polinomul P(x)=x3−3x+1P(x) = x^3 - 3x + 1. Să se studieze funcția f(x)=P(x)f(x) = P(x), determinând domeniul de definiție, intervalele de monotonie și punctele de extrem local.
Ușor#15PolinoameIdentități algebrice
Demonstrați că polinomul R(X)=X4−4X3+6X2−4X+1R(X) = X^4 - 4X^3 + 6X^2 - 4X + 1 este pătratul unui binom și determinați rădăcinile sale.

Și alte 70 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Accesează toate cele 85 probleme de Polinoame cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.