Probleme de nivel mediu de Primitive

Clasa a 12-a • 191 probleme de nivel mediu

Ușor (103)Greu (1)Toate
Mediu#1PrimitiveIntegrale definiteArii și volume
Fie funcția f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+1x−1f(x) = \frac{2x+1}{x-1}. Determinați o primitivă FF a funcției ff astfel încât F(0)=1F(0) = 1. Apoi, calculați aria regiunii delimitate de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele x=2x=2 și x=3x=3.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Se determină primitiva generală a funcției ff. Se observă că f(x)=2x+1x−1=2+3x−1f(x) = \frac{2x+1}{x-1} = 2 + \frac{3}{x-1}, deci o primitivă este F(x)=2x+3ln⁡∣x−1∣+CF(x) = 2x + 3 \ln |x-1| + C.
22 puncte
Se folosește condiția F(0)=1F(0)=1: 2⋅0+3ln⁡∣0−1∣+C=1⇒3ln⁡1+C=1⇒C=12\cdot0 + 3 \ln |0-1| + C = 1 \Rightarrow 3 \ln 1 + C = 1 \Rightarrow C = 1, deci F(x)=2x+3ln⁡∣x−1∣+1F(x) = 2x + 3 \ln |x-1| + 1.
32 puncte
Aria se calculează cu integrala definită ∫23∣f(x)∣dx\int_2^3 |f(x)| dx. Pe intervalul [2,3][2,3], f(x)>0f(x) > 0, deci aria este ∫23f(x)dx\int_2^3 f(x) dx.
42 puncte
∫23f(x)dx=F(3)−F(2)=(2⋅3+3ln⁡2+1)−(2⋅2+3ln⁡1+1)=6+3ln⁡2+1−4−0−1=2+3ln⁡2\int_2^3 f(x) dx = F(3) - F(2) = (2\cdot3 + 3 \ln 2 + 1) - (2\cdot2 + 3 \ln 1 + 1) = 6 + 3 \ln 2 + 1 - 4 - 0 - 1 = 2 + 3 \ln 2. Aria este 2+3ln⁡22 + 3 \ln 2 unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2PrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere RealeTrigonometrie
Să se determine o primitivă a funcției f(x)=1x2+4x+5f(x) = \frac{1}{x^2 + 4x + 5}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Completați pătratul pentru expresia la numitor: x2+4x+5=(x2+4x+4)+1=(x+2)2+1x^2 + 4x + 5 = (x^2 + 4x + 4) + 1 = (x+2)^2 + 1.
24 puncte
Scrieți integrala sub forma ∫dx(x+2)2+1\int \frac{dx}{(x+2)^2 + 1}, recunoscând că aceasta este de tipul ∫duu2+a2\int \frac{du}{u^2 + a^2} cu u=x+2u=x+2 și a=1a=1.
33 puncte
Aplicați formula cunoscută ∫duu2+a2=1aarctan⁡(ua)+C\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{u}{a}\right) + C pentru a obține primitiva: arctan⁡(x+2)+C\arctan(x+2) + C.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se determine o primitivă a funcției f(x)=4−x2f(x) = \sqrt{4 - x^2} pe intervalul (−2,2)(-2, 2).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se observă că integrala necesită o substituție trigonometrică. Se scrie integrala ∫4−x2 dx\int \sqrt{4 - x^2} \, dx.
23 puncte
Se face substituția x=2sin⁡tx = 2 \sin t, cu t∈(−π2,π2)t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}), deci dx=2cos⁡t dtdx = 2 \cos t \, dt și 4−x2=4−4sin⁡2t=2cos⁡t\sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - 4 \sin^2 t} = 2 \cos t.
33 puncte
Se calculează integrala în variabila t: ∫2cos⁡t⋅2cos⁡t dt=4∫cos⁡2t dt=4∫1+cos⁡2t2 dt=2∫(1+cos⁡2t) dt=2t+sin⁡2t+C\int 2 \cos t \cdot 2 \cos t \, dt = 4 \int \cos^2 t \, dt = 4 \int \frac{1 + \cos 2t}{2} \, dt = 2 \int (1 + \cos 2t) \, dt = 2t + \sin 2t + C.
42 puncte
Se revine la variabila x: sin⁡t=x2\sin t = \frac{x}{2}, deci t=arcsin⁡x2t = \arcsin \frac{x}{2}, și sin⁡2t=2sin⁡tcos⁡t=2⋅x2⋅4−x22=x4−x22\sin 2t = 2 \sin t \cos t = 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{\sqrt{4 - x^2}}{2} = \frac{x \sqrt{4 - x^2}}{2}. Astfel, primitiva este F(x)=2arcsin⁡x2+x4−x22+CF(x) = 2 \arcsin \frac{x}{2} + \frac{x \sqrt{4 - x^2}}{2} + C.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4PrimitiveIntegrale definiteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați integrala definită ∫01xx2+4x+5 dx\int_{0}^{1} \frac{x}{x^2 + 4x + 5} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se completează pătratul la numitor: x2+4x+5=(x+2)2+1x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1. Se scrie integrala ca ∫01x(x+2)2+1 dx\int_{0}^{1} \frac{x}{(x+2)^2 + 1} \, dx.
24 puncte
Se găsește primitiva. Se face substituția u=x+2u = x+2, deci x=u−2x = u-2, dx=dudx = du. Integrala devine ∫u−2u2+1 du=∫uu2+1 du−2∫1u2+1 du=12ln⁡(u2+1)−2arctan⁡u+C\int \frac{u-2}{u^2 + 1} \, du = \int \frac{u}{u^2 + 1} \, du - 2 \int \frac{1}{u^2 + 1} \, du = \frac{1}{2} \ln(u^2 + 1) - 2 \arctan u + C.
33 puncte
Se evaluează integrala definită: [12ln⁡((x+2)2+1)−2arctan⁡(x+2)]01=(12ln⁡(10)−2arctan⁡3)−(12ln⁡(5)−2arctan⁡2)=12ln⁡2−2(arctan⁡3−arctan⁡2)\left[ \frac{1}{2} \ln((x+2)^2 + 1) - 2 \arctan(x+2) \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{2} \ln(10) - 2 \arctan 3 \right) - \left( \frac{1}{2} \ln(5) - 2 \arctan 2 \right) = \frac{1}{2} \ln 2 - 2(\arctan 3 - \arctan 2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5PrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se calculeze o primitivă a funcției f(x)=x4+1x2+1f(x) = \frac{x^4 + 1}{x^2 + 1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se efectuează împărțirea polinoamelor: x4+1=(x2+1)(x2−1)+2x^4 + 1 = (x^2 + 1)(x^2 - 1) + 2, deci f(x)=x2−1+2x2+1f(x) = x^2 - 1 + \frac{2}{x^2 + 1}.
24 puncte
Se integrează termen cu termen: ∫(x2−1)dx=x33−x\int (x^2 - 1) dx = \frac{x^3}{3} - x și ∫2x2+1dx=2arctan⁡x\int \frac{2}{x^2 + 1} dx = 2 \arctan x.
33 puncte
Se adună rezultatele și se adaugă constanta de integrare: F(x)=x33−x+2arctan⁡x+CF(x) = \frac{x^3}{3} - x + 2 \arctan x + C, unde C∈RC \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6PrimitiveTrigonometrie
Determinați o primitivă a funcției f(x)=4−x2f(x) = \sqrt{4 - x^2} pe domeniul (−2,2)(-2, 2).
Mediu#7PrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Calculați primitiva funcției f(x)=2x3−3x2+4x−5x2−1f(x) = \frac{2x^3 - 3x^2 + 4x - 5}{x^2 - 1} care verifică F(0)=1F(0)=1.
Mediu#8PrimitiveLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=1xln⁡xf(x) = \frac{1}{x \ln x}. a) Arătați că ff admite primitive pe intervalele (0,1)(0,1) și (1,∞)(1, \infty). b) Determinați o primitivă FF a lui ff astfel încât F(e)=1F(e) = 1.
Mediu#9PrimitiveIntegrale definiteArii și volume
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3. Să se calculeze aria suprafeței plane mărginite de graficul funcției ff, tangenta la grafic în punctul de abscisă x=2x=2, și axa OyOy.
Mediu#10PrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2x+1x2+4x+5f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + 4x + 5}. Să se determine o primitivă FF a funcției ff care satisface condiția F(0)=1F(0) = 1.
Mediu#11PrimitiveArii și volume
Calculați aria suprafeței plane mărginite de graficul funcției g(x)=xe−xg(x) = x e^{-x}, axa OxOx și dreptele x=0x = 0 și x=2x = 2.
Mediu#12PrimitiveFuncția de gradul al II-lea
Să se determine primitivele funcției f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2x+3x2+4x+5f(x) = \frac{2x+3}{x^2 + 4x + 5}.
Mediu#13PrimitiveArii și volumeLogaritmi
Calculați aria suprafeței plane mărginite de graficul funcției f(x)=ln⁡(x+1)f(x) = \ln(x+1), axa Ox și dreptele de ecuații x=0x=0 și x=e−1x=e-1.
Mediu#14PrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se calculeze primitivele funcției f(x)=2x+1x2−1f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 - 1}.
Mediu#15PrimitiveDerivateStudiul funcțiilor
Să se determine primitiva funcției f(x)=2x+3x2+4x+5f(x) = \frac{2x + 3}{x^2 + 4x + 5} care are valoarea 1 în punctul x=0x=0.

Și alte 176 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Accesează toate cele 191 probleme de Primitive cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.