Probleme de nivel mediu de Progresii Aritmetice

Clasa a 9-a • 66 probleme de nivel mediu

Ușor (71)Toate
Mediu#1Progresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie o progresie aritmetică pentru care suma pătratelor celui de-al cincilea și celui de-al unsprezecelea termen este a52+a112=3a_5^2+a_{11}^2=3, iar produsul celui de-al doilea cu cel de-al paisprezecelea termen este egal cu kk (a2a14=ka_2a_{14}=k). Găsiți produsul primului cu cel de-al cincisprezecelea termen a1a15a_1a_{15} al progresiei.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Notaţi a5=a1+4da_5=a_1+4d, a11=a1+10da_{11}=a_1+10d şi scrieţi (a1+4d)2+(a1+10d)2=3(a_1+4d)^2+(a_1+10d)^2=3, dezvoltaţi pentru a obţine 2a12+28a1d+116d2=32a_1^2+28a_1d+116d^2=3. Notaţi şi k=(a1+d)(a1+13d)=a12+14a1d+13d2k=(a_1+d)(a_1+13d)=a_1^2+14a_1d+13d^2;
26 puncte
Observaţi că 2k=2a12+28a1d+26d22k=2a_1^2+28a_1d+26d^2, scădeţi din prima relaţie pentru a obţine 3−2k=90d23-2k=90d^2, deci d2=3−2k90d^2=\dfrac{3-2k}{90}, apoi a1a15=a12+14a1d=k−13d2a_1a_{15}=a_1^2+14a_1d=k-13d^2, înlocuiţi d2d^2 şi obţineţi a1a15=116k−3990a_1a_{15}=\dfrac{116k-39}{90}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Progresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Suma a patru numere care formează o progresie aritmetică a,a+d,a+2d,a+3da,a+d,a+2d,a+3d este 11, iar suma pătratelor acestor numere este 0,30{,}3. Găsiți numerele.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notați termenii ca a,a+d,a+2d,a+3da,a+d,a+2d,a+3d şi scrieţi ecuaţiile pentru sumă şi suma pătratelor: 4a+6d=14a+6d=1 şi 4a2+12ad+14d2=0,34a^{2}+12ad+14d^{2}=0{,}3.
24 puncte
Din prima ecuaţie obţineţi a=1−6d4a=\frac{1-6d}{4} şi înlocuiţi în a doua pentru a obţine o ecuaţie în dd: după reducere rezultă 0,25+5d2=0,30{,}25+5d^{2}=0{,}3, deci d2=0,01d^{2}=0{,}01 şi d=±0,1d=\pm0{,}1.
33 puncte
Calculaţi aa pentru fiecare dd: pentru d=0,1d=0{,}1 avem a=0,1a=0{,}1 şi termenii 0,1,0,2,0,3,0,40{,}1,0{,}2,0{,}3,0{,}4; pentru d=−0,1d=-0{,}1 avem a=0,4a=0{,}4 şi termenii 0,4,0,3,0,2,0,10{,}4,0{,}3,0{,}2,0{,}1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Progresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
O progresie aritmetică are 12 termeni şi suma lor este 354354. Raportul dintre suma termenilor cu indice par şi suma termenilor cu indice impar este 32:2732:27. Găsiți diferența comună a progresiei.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Notaţi primii doi termeni a,a+da,a+d. Din suma totală S12=6(2a+11d)=354S_{12}=6(2a+11d)=354 obţineţi 2a+11d=592a+11d=59. Sumă termeni cu indice impar (6 termeni): Sodd=3(2a+10d)S_{odd}=3(2a+10d), iar sumă termeni cu indice par: Seven=3(2a+12d)S_{even}=3(2a+12d).
23 puncte
Din raport SevenSodd=3227\dfrac{S_{even}}{S_{odd}}=\dfrac{32}{27} rezultă 2a+12d2a+10d=3227\dfrac{2a+12d}{2a+10d}=\dfrac{32}{27}; rezolvaţi pentru aa în funcţie de dd şi obţineţi a=−1585da=-\dfrac{158}{5}d.
33 puncte
Înlocuiţi în 2a+11d=592a+11d=59 şi determinaţi d=−295261d= -\dfrac{295}{261}. Aceasta este diferenţa comună a progresiei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Progresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Produsul celui de-al treilea cu cel de-al şaselea termen al unei progresii aritmetice este 406406. Împărţirea celui de-al nouălea termen la cel de-al patrulea dă câtul 22 şi restul 66. Găsiți primul termen şi diferenţa progresiei.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notaţi termenii a,a+d,…a,a+d,\dots; condiţia cu cât şi rest dă a+8d=2(a+3d)+6a+8d=2(a+3d)+6, deci a=2d−6a=2d-6.
24 puncte
Produsul celui de-al treilea cu cel de-al şaselea: (a+2d)(a+5d)=406(a+2d)(a+5d)=406. Înlocuiţi a=2d−6a=2d-6 şi obţineţi ecuaţia cuadratică 14d2−33d−185=014d^{2}-33d-185=0 (după simplificare).
33 puncte
Rezolvaţi ecuaţia: discriminantul este 1072107^{2}, deci d=5d=5 sau d=−3714d=-\dfrac{37}{14}. Pentru d=5d=5 rezultă a=4a=4; pentru d=−3714d=-\dfrac{37}{14} rezultă a=−797a=-\dfrac{79}{7}. Ambele perechi satisfac condiţiile.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Progresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Două progresii aritmetice au același număr de termeni. Raportul ultimului termen al primei progresii la primul termen al celei de-a doua este egal cu raportul ultimului termen al celei de-a doua la primul termen al primei și este egal cu 4. Raportul sumei primei progresii la suma celei de-a doua este 2. Găsiți raportul diferențelor progresiilor.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notați ultimii termeni A=a1+(n−1)dA=a_1+(n-1)d și B=b1+(n−1)eB=b_1+(n-1)e și scrieți condițiile Ab1=4\frac{A}{b_1}=4, Ba1=4\frac{B}{a_1}=4 și A+a1B+b1=2\frac{A+a_1}{B+b_1}=2.
23 puncte
Din ecuațiile anterioare obțineți relația dintre primii termeni: 4b1+a14a1+b1=2\dfrac{4b_1+a_1}{4a_1+b_1}=2 \Rightarrow b1=72a1b_1=\dfrac{7}{2}a_1.
34 puncte
Calculați raportul diferențelor folosind d=A−a1n−1d=\dfrac{A-a_1}{n-1} și e=B−b1n−1e=\dfrac{B-b_1}{n-1} și înlocuind A=4b1A=4b_1, B=4a1B=4a_1 și b1=72a1b_1=\dfrac{7}{2}a_1, obținând de=26\dfrac{d}{e}=26.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Progresii AritmeticeLogaritmiAplicații ale trigonometriei în geometrie
Fiecare dintre cele două triple de numere log⁡a,log⁡b,log⁡c\log a,\log b,\log c și log⁡a−log⁡2b,  log⁡2b−log⁡3c,  log⁡3c−log⁡a\log a-\log 2b,\;\log 2b-\log 3c,\;\log 3c-\log a este o progresie aritmetică. Pot numerele a,b,ca,b,c fi lungimile laturilor unui triunghi? Dacă da, ce fel de triunghi este și găsiți unghiurile acestuia (dacă există).
Mediu#7Progresii AritmeticeDerivateAplicații ale derivatelor
Al patrulea termen al unei progresii aritmetice este 4. Pentru ce valoare a diferenței progresiei este suma produselor perechi ale primilor trei termeni minimală? (Se caută diferența dd pentru care suma a1a2+a1a3+a2a3a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3 este minimă.)
Mediu#8Progresii AritmeticeAplicații ale derivatelor
Al șaselea termen al unei progresii aritmetice este 3, adică a6=3a_6=3, iar diferența este mai mare decât 0,50{,}5. Pentru ce valoare a diferenței progresiei este produsul primului, al patrulea și al cincilea termen maximal? (Se caută d>0,5d>0{,}5 care maximizează P=a1a4a5P=a_1a_4a_5.)
Mediu#9Progresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți suma primelor 100100 numere care apar în ambele progresii aritmetice 17,21,…17,21,\ldots și 16,21,…16,21,\ldots.
Mediu#10Progresii AritmeticeEcuații exponentialeDerivate
Determinați valorile parametrului aa: Pentru ce valori ale lui aa există valori ale lui xx astfel încât numerele 51+x+51−x5^{1+x}+5^{1-x}, a2\dfrac{a}{2}, 25x+25−x25^{x}+25^{-x} să formeze o progresie aritmetică?
Mediu#11Progresii AritmeticeProgresii Geometrice
Numerele 5x−y5x-y, 2x+y2x+y și x+2yx+2y formează o progresie aritmetică, iar numerele (y+1)2(y+1)^2, xy+1xy+1 și (x−1)2(x-1)^2 formează o progresie geometrică. Găsiți perechile (x,y)(x,y).
Mediu#12Progresii AritmeticeProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați: Trei numere formează o progresie aritmetică. Dacă adăugăm 8 la primul număr, obținem o progresie geometrică al cărei sumă a termenilor este 26. Determinați numerele.
Mediu#13Progresii AritmeticeProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați: Al doilea, primul și al treilea termen al unei progresii aritmetice, a cărei diferență comună este nenulă, formează în această ordine o progresie geometrică. Găsiți rația comună a acestei progresii geometrice.
Mediu#14Progresii AritmeticeProgresii Geometrice
Rezolvați: Primul și al treilea termen al unei progresii aritmetice sunt, respectiv, egale cu primul și al treilea termen ale unei progresii geometrice, iar al doilea termen al progresiei aritmetice depășește al doilea termen al progresiei geometrice cu 0,250{,}25. Calculați suma primilor cinci termeni ai progresiei aritmetice dacă primul termen este 22.
Mediu#15Progresii AritmeticeProgresii Geometrice
Trei numere întregi a căror sumă este 6060 sunt trei termeni succesivi ai unei progresii aritmetice. Dacă adăugăm 22, 44 și 66 la aceste numere, respectiv, noile numere vor fi trei termeni succesivi ai unei progresii geometrice. Găsiți cel mai mic dintre numerele inițiale.

Și alte 51 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Accesează toate cele 66 probleme de Progresii Aritmetice cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.