Probleme de nivel mediu de Progresii Geometrice

Clasa a 9-a • 115 probleme de nivel mediu

Ușor (41)Greu (1)Toate
Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Identificarea formulei pentru plăți egale ale unui împrumut: A=Pr(1+r)n(1+r)n−1A = P \frac{r(1+r)^n}{(1+r)^n -1}, unde P=50000P=50000, r=0.06r=0.06, n=5n=5.
23 puncte
Calcularea plății anuale A=50000⋅0.06(1.06)5(1.06)5−1≈11869.82A = 50000 \cdot \frac{0.06(1.06)^5}{(1.06)^5 -1} \approx 11869.82 lei.
33 puncte
Pentru fiecare an ii de la 1 la 5, calcularea: dobânda Di=Si−1⋅0.06D_i = S_{i-1} \cdot 0.06, rambursarea principalului Ri=A−DiR_i = A - D_i, soldul final Si=Si−1−RiS_i = S_{i-1} - R_i, cu S0=50000S_0 = 50000.
42 puncte
Întocmirea tabelului cu valorile calculate pentru fiecare an.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Identificarea progresiei geometrice: termenul general an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1}, cu a1=500a_1 = 500 și r=1.1r = 1.1.
23 puncte
Formularea sumei primilor nn termeni: Sn=a1⋅rn−1r−1=500⋅1.1n−10.1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} = 500 \cdot \frac{1.1^n - 1}{0.1}.
34 puncte
Rezolvarea inecuației Sn>10000S_n > 10000: 500⋅1.1n−10.1>10000⇒1.1n>3⇒n>ln⁡3ln⁡1.1≈11.52500 \cdot \frac{1.1^n - 1}{0.1} > 10000 \Rightarrow 1.1^n > 3 \Rightarrow n > \frac{\ln 3}{\ln 1.1} \approx 11.52, deci după 12 zile.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Identificăm z=(0,1)z = (0,1) ca fiind numărul complex ii (unitatea imaginară).\n
24 puncte
Suma ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k este o progresie geometrică cu rația zz. Aplicăm formula pentru suma unei progresii geometrice: Sn=1−zn+11−zS_n = \frac{1 - z^{n+1}}{1 - z}, pentru z≠1z \neq 1.\n
33 puncte
Calculăm puterile lui ii: i0=1i^0=1, i1=ii^1=i, i2=−1i^2=-1, i3=−ii^3=-i, i4=1i^4=1, și ciclul se repetă la fiecare 4.\n
41 punct
În funcție de nn, exprimăm suma. De exemplu, dacă nn este multiplu de 4, suma este n+1n+1; altfel, folosim formula sau considerăm cazurile modulo 4 pentru a simplifica.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Progresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați: Diferența dintre al patrulea și primul termen al unei progresii geometrice este 52, iar suma primilor trei termeni este 26. Calculați suma primilor șase termeni ai progresiei.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm aa primul termen și rr rația. Avem a(r3−1)=52a(r^3-1)=52 și a(1+r+r2)=26a(1+r+r^2)=26. Eliminăm aa din cele două ecuații: a=52r3−1a=\frac{52}{r^3-1} și deci 52(1+r+r2)r3−1=26\frac{52(1+r+r^2)}{r^3-1}=26.
24 puncte
Simplificând rezultă ecuația r3−2r2−2r−3=0r^3-2r^2-2r-3=0, care are soluția reală r=3r=3.
33 puncte
Pentru r=3r=3 rezultă a=5227−1=2a=\frac{52}{27-1}=2. Suma primilor șase termeni este S6=a(1+r+⋯+r5)=2⋅36−13−1=728S_6=a(1+r+\dots+r^5)=2\cdot\frac{3^6-1}{3-1}=728.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Progresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați: Suma primilor patru termeni ai unei progresii geometrice este 30 și suma următorilor patru termeni este 480. Găsiți suma primilor doisprezece termeni.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Notăm S4=a(1+r+r2+r3)=30S_4=a(1+r+r^2+r^3)=30. Suma termenilor 5..8 este ar4(1+r+r2+r3)=r4S4=480ar^4(1+r+r^2+r^3)=r^4S_4=480, deci r4=48030=16r^4=\frac{480}{30}=16.
26 puncte
Observăm că S12=S4(1+r4+r8)S_{12}=S_4(1+r^4+r^8); cu r4=16r^4=16 avem r8=256r^8=256, deci S12=30(1+16+256)=30⋅273=8190S_{12}=30(1+16+256)=30\cdot273=8190.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Progresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați: Suma primilor doi termeni ai unei progresii geometrice este 15. Primul termen îl depășește pe rația comună a progresiei cu 253\frac{25}{3}. Găsiți al patrulea termen al progresiei.
Mediu#7Progresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Rezolvați: Găsiți trei numere care formează o progresie geometrică dacă suma lor este 35 și suma pătratelor lor este 525.
Mediu#8Progresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Suma primilor trei termeni ai unei progresii geometrice crescătoare este 13, iar produsul lor este 27. Calculați suma primilor cinci termeni ai progresiei.
Mediu#9Progresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți primul termen și rația comună a unei progresii geometrice dacă suma primilor trei termeni este 10,510{,}5 și diferența dintre primul și al patrulea termen este 31,531{,}5.
Mediu#10Progresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Numerele a,b,c,da,b,c,d formează o progresie geometrică. Calculați (a−c)2+(b−c)2+(b−d)2−(a−d)2(a-c)^2+(b-c)^2+(b-d)^2-(a-d)^2.
Mediu#11Progresii Geometrice
Termenii unei progresii geometrice pozitive sunt a1,a2,a3,a4,a5a_1,a_2,a_3,a_4,a_5. Știindu-se că a1−a5=15a_1-a_5=15 și a1+a3=20a_1+a_3=20, calculați suma primilor cinci termeni S5S_5.
Mediu#12Progresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți patru numere care formează o progresie geometrică în care suma termenilor extreme este 112112 și suma termenilor intermediari este 4848.
Mediu#13Progresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere RealeSisteme de Ecuații Neliniare
Suma a trei numere care formează o progresie geometrică este 1313, iar suma pătratelor lor este 9191. Găsiți numerele.
Mediu#14Progresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați: Suma primului și ultimului termen al unei progresii geometrice crescătoare este 6666, produsul celui de-al doilea și al penultimului termen este 128128, iar suma tuturor termenilor este 126126. Câți termeni are progresia?
Mediu#15Progresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați: Numărul termenilor unei progresii geometrice este par. Suma tuturor termenilor progresiei este de trei ori mai mare decât suma termenilor cu indice impar. Determinați rația comună a progresiei.

Și alte 100 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Accesează toate cele 115 probleme de Progresii Geometrice cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.