Probleme de Progresii Geometrice — Clasa a 9-a

Exerciții pentru școalăAlgebra • 472 probleme cu rezolvări complete
Teorie Progresii Geometrice — Formule si exemple rezolvate

Progresiile geometrice sunt șiruri de numere în care fiecare termen se obține înmulțind termenul precedent cu o rație constantă. Acest capitol este fundamental pentru clasa a 9-a și apare frecvent la examenul de Bacalaureat la Matematică M1.

Verificat de profesori de matematică

Ușor

41

probleme

Mediu

115

probleme

Greu

1

probleme

Grile de Progresii Geometrice

315 întrebări cu variante de răspuns

→

Exemple de probleme

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Identificarea formulei pentru plăți egale ale unui împrumut: A=Pr(1+r)n(1+r)n−1A = P \frac{r(1+r)^n}{(1+r)^n -1}, unde P=50000P=50000, r=0.06r=0.06, n=5n=5.
23 puncte
Calcularea plății anuale A=50000⋅0.06(1.06)5(1.06)5−1≈11869.82A = 50000 \cdot \frac{0.06(1.06)^5}{(1.06)^5 -1} \approx 11869.82 lei.
33 puncte
Pentru fiecare an ii de la 1 la 5, calcularea: dobânda Di=Si−1⋅0.06D_i = S_{i-1} \cdot 0.06, rambursarea principalului Ri=A−DiR_i = A - D_i, soldul final Si=Si−1−RiS_i = S_{i-1} - R_i, cu S0=50000S_0 = 50000.
42 puncte
Întocmirea tabelului cu valorile calculate pentru fiecare an.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scrierea formulei dobânzii compuse: S=S0(1+r)nS = S_0 (1+r)^n, unde S0=5000S_0=5000, r=0.05r=0.05, iar S>7000S>7000.
23 puncte
Setarea inegalității: 5000(1.05)n>70005000(1.05)^n > 7000 și simplificarea la (1.05)n>1.4(1.05)^n > 1.4.
32 puncte
Aplicarea logaritmilor: nlog⁡1.05>log⁡1.4n \log 1.05 > \log 1.4, deci n>log⁡1.4log⁡1.05n > \frac{\log 1.4}{\log 1.05}.
42 puncte
Calculul: n>0.14610.0212≈6.89n > \frac{0.1461}{0.0212} \approx 6.89, deci n=7n=7 ani.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Identificarea progresiei geometrice: termenul general an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1}, cu a1=500a_1 = 500 și r=1.1r = 1.1.
23 puncte
Formularea sumei primilor nn termeni: Sn=a1⋅rn−1r−1=500⋅1.1n−10.1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} = 500 \cdot \frac{1.1^n - 1}{0.1}.
34 puncte
Rezolvarea inecuației Sn>10000S_n > 10000: 500⋅1.1n−10.1>10000⇒1.1n>3⇒n>ln⁡3ln⁡1.1≈11.52500 \cdot \frac{1.1^n - 1}{0.1} > 10000 \Rightarrow 1.1^n > 3 \Rightarrow n > \frac{\ln 3}{\ln 1.1} \approx 11.52, deci după 12 zile.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Identificăm z=(0,1)z = (0,1) ca fiind numărul complex ii (unitatea imaginară).\n
24 puncte
Suma ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k este o progresie geometrică cu rația zz. Aplicăm formula pentru suma unei progresii geometrice: Sn=1−zn+11−zS_n = \frac{1 - z^{n+1}}{1 - z}, pentru z≠1z \neq 1.\n
33 puncte
Calculăm puterile lui ii: i0=1i^0=1, i1=ii^1=i, i2=−1i^2=-1, i3=−ii^3=-i, i4=1i^4=1, și ciclul se repetă la fiecare 4.\n
41 punct
În funcție de nn, exprimăm suma. De exemplu, dacă nn este multiplu de 4, suma este n+1n+1; altfel, folosim formula sau considerăm cazurile modulo 4 pentru a simplifica.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Progresii GeometriceȘiruri de numere reale
Arătați și calculați: Șirul cu termen general an=2⋅3na_n=2\cdot 3^n este o progresie geometrică; determinați suma primilor opt termeni, considerând n≥1n\ge 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Pentru n≥1n\ge 1 primul termen este a1=2⋅31=6a_1=2\cdot3^1=6 iar rația este r=an+1an=3r=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=3, deci este progresie geometrică.
22 puncte
Formula sumei primilor nn termeni: Sn=a1rn−1r−1S_n=a_1\dfrac{r^n-1}{r-1}.
33 puncte
Aplicați formula pentru n=8n=8: S8=638−13−1S_8=6\dfrac{3^8-1}{3-1}.
42 puncte
Calculați numeric 38=65613^8=6561, deci S8=66561−12=19680S_8=6\dfrac{6561-1}{2}=19680.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6Progresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți progresia: Al patrulea termen al unei progresii geometrice depășește al doilea termen cu 24, iar suma celui de-al doilea și celui de-al treilea termen este 6. Determinați progresia.
Mediu#7Progresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați: Diferența dintre al patrulea și primul termen al unei progresii geometrice este 52, iar suma primilor trei termeni este 26. Calculați suma primilor șase termeni ai progresiei.
Mediu#8Progresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați: Suma primilor patru termeni ai unei progresii geometrice este 30 și suma următorilor patru termeni este 480. Găsiți suma primilor doisprezece termeni.
Mediu#9Progresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați: Suma primilor doi termeni ai unei progresii geometrice este 15. Primul termen îl depășește pe rația comună a progresiei cu 253\frac{25}{3}. Găsiți al patrulea termen al progresiei.
Mediu#10Progresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Rezolvați: Găsiți trei numere care formează o progresie geometrică dacă suma lor este 35 și suma pătratelor lor este 525.

Și alte 147 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Accesează toate cele 472 probleme de Progresii Geometrice cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Alte capitole pentru clasa a 9-a

→Algebră și Calcule cu Numere Reale
511 probleme
→Aplicații ale trigonometriei în geometrie
411 probleme
→Funcția de gradul I
399 probleme
→Identități algebrice
396 probleme
→Inducție matematică
391 probleme

Câștigă XP și badge-uri rezolvând probleme

Sistem de niveluri (1-20), clasament săptămânal și serie zilnică de învățare. Începe gratuit cu 50 de credite.