Probleme ușoare de Progresii Geometrice

Clasa a 9-a • 41 probleme de nivel ușor

Mediu (115)Greu (1)Toate
Ușor#1Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scrierea formulei dobânzii compuse: S=S0(1+r)nS = S_0 (1+r)^n, unde S0=5000S_0=5000, r=0.05r=0.05, iar S>7000S>7000.
23 puncte
Setarea inegalității: 5000(1.05)n>70005000(1.05)^n > 7000 și simplificarea la (1.05)n>1.4(1.05)^n > 1.4.
32 puncte
Aplicarea logaritmilor: nlog⁡1.05>log⁡1.4n \log 1.05 > \log 1.4, deci n>log⁡1.4log⁡1.05n > \frac{\log 1.4}{\log 1.05}.
42 puncte
Calculul: n>0.14610.0212≈6.89n > \frac{0.1461}{0.0212} \approx 6.89, deci n=7n=7 ani.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Progresii GeometriceȘiruri de numere reale
Arătați și calculați: Șirul cu termen general an=2⋅3na_n=2\cdot 3^n este o progresie geometrică; determinați suma primilor opt termeni, considerând n≥1n\ge 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Pentru n≥1n\ge 1 primul termen este a1=2⋅31=6a_1=2\cdot3^1=6 iar rația este r=an+1an=3r=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=3, deci este progresie geometrică.
22 puncte
Formula sumei primilor nn termeni: Sn=a1rn−1r−1S_n=a_1\dfrac{r^n-1}{r-1}.
33 puncte
Aplicați formula pentru n=8n=8: S8=638−13−1S_8=6\dfrac{3^8-1}{3-1}.
42 puncte
Calculați numeric 38=65613^8=6561, deci S8=66561−12=19680S_8=6\dfrac{6561-1}{2}=19680.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Progresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți progresia: Al patrulea termen al unei progresii geometrice depășește al doilea termen cu 24, iar suma celui de-al doilea și celui de-al treilea termen este 6. Determinați progresia.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm primul termen cu aa și rația cu rr. Scriem ecuațiile ar3−ar=24ar^3-ar=24 și ar+ar2=6ar+ar^2=6.
24 puncte
Din ar(1+r)=6ar(1+r)=6 rezultă ar=61+rar=\frac{6}{1+r}. Înlocuind în prima ecuație se obține 61+r(r2−1)=24\frac{6}{1+r}(r^2-1)=24, iar simplificând avem 6(r−1)=246(r-1)=24, deci r=5r=5.
33 puncte
Calculăm ar=1ar=1, deci a=15a=\frac{1}{5}. Progresia este (15,1,5,25,… )\left(\frac{1}{5},1,5,25,\dots\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Progresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Șirul {b_n} este o progresie geometrică cu b4b6=14\frac{b_4}{b_6}=\frac{1}{4} și b2+b5=216b_2+b_5=216. Găsiți b1b_1.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
13 puncte
Scrieți termenii în funcție de b1b_1 și rație rr, observați că b4b6=r−2=14\frac{b_4}{b_6}=r^{-2}=\frac{1}{4}, deci r=±2r=\pm 2.
27 puncte
Folosiți b2+b5=b1(r+r4)=216b_2+b_5=b_1(r+r^4)=216 pentru fiecare valoare a lui rr și determinați b1b_1: pentru r=2r=2 rezultă b1=21618=12b_1=\frac{216}{18}=12, pentru r=−2r=-2 rezultă b1=21614=1087b_1=\frac{216}{14}=\frac{108}{7}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Progresii Geometrice
Suma primului și celui de-al treilea termen al unei progresii geometrice este 20, iar suma primilor trei termeni este 26. Determinați progresia.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Notând termenii a,ar,ar2a,ar,ar^2, din a+ar2=20a+ar^2=20 și a(1+r+r2)=26a(1+r+r^2)=26 deduceți ar=6ar=6.
26 puncte
Din ar=6ar=6 obțineți a=6ra=\frac{6}{r} și înlocuind în a+ar2=20a+ar^2=20 rezultă ecuația 3r2−10r+3=03r^2-10r+3=0, cu soluțiile r=3r=3 sau r=13r=\frac{1}{3}. Pentru r=3r=3 avem progresia 2,6,18,…2,6,18,\dots, iar pentru r=13r=\frac{1}{3} avem progresia 18,6,2,…18,6,2,\dots.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6Progresii GeometriceDerivateFuncția de gradul al II-lea
Primul termen al unei progresii geometrice b1,b2,b3,…b_1,b_2,b_3,\dots este b1=1b_1=1. Pentru ce valoare a rației comune rr este expresia 4b2+5b34b_2+5b_3 minimă?
Ușor#7Progresii Geometrice
Rezolvați: Suma primilor trei termeni ai unei progresii geometrice este 3131, iar suma primului și celui de-al treilea termen este 2626. Găsiți al șaptelea termen al progresiei.
Ușor#8Progresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie primii doi termeni ai unei progresii geometrice infinit descrescătoare: 3\sqrt{3} și 23+1\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}. Găsiți rația comună și suma progresiei.
Ușor#9Progresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți trei numere care formează o progresie geometrică dacă produsul lor este 6464 și media aritmetică este 143\tfrac{14}{3}.
Ușor#10Progresii GeometriceProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți aa și bb dacă trei numere aa, bb și 1212 formează, în această ordine, o progresie geometrică, iar numerele aa, bb și 99 formează o progresie aritmetică.
Ușor#11Progresii GeometriceLogaritmi
Calculați (0.2)log⁡5(14+18+116+… )(0.2)^{\log_{\sqrt{5}}\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dots\right)}.
Ușor#12Progresii GeometriceȘiruri de numere reale
Calculați limita: lim⁡n→∞(1−17+149−⋯+(−1)n−17n−1)\lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{7^{n-1}}\right)
Ușor#13Progresii GeometriceIdentități algebriceContinuitate
Calculați limita lim⁡x→1xm−1xn−1\lim_{x\to 1} \frac{x^m - 1}{x^n - 1}.
Ușor#14Progresii GeometriceLogaritmiȘiruri de numere reale
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} o progresie geometrică cu a1=8a_1 = 8 și rația q=12q = \frac{1}{2}. Se definește șirul (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1} prin bn=log⁡2(an)b_n = \log_2(a_n). Arătați că (bn)(b_n) este o progresie aritmetică și determinați primul termen și rația acesteia. Calculați suma Sn=b1+b2+⋯+bnS_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n în funcție de nn. Determinați lim⁡n→∞Snn\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n}.
Ușor#15Progresii GeometriceFuncția de gradul al II-lea
Fie ecuația x2−5x+q=0x^2 - 5x + q = 0. Să se determine qq astfel încât rădăcinile sale să fie în progresie geometrică cu rația 2. Apoi, să se calculeze suma pătratelor rădăcinilor.

Și alte 26 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Accesează toate cele 41 probleme de Progresii Geometrice cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.