Probleme de nivel mediu de Proprietăți ale integralelor

Clasa a 12-a • 62 probleme de nivel mediu

Ușor (36)Toate
Mediu#1Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se rezolvă ecuația f(x)=0f(x)=0, adică x2−5x+6=0x^2 -5x+6=0, obținând rădăcinile x=2x=2 și x=3x=3.
23 puncte
Se observă că pe intervalul [2,3][2,3], f(x)≤0f(x) \leq 0, iar pe [3,4][3,4], f(x)≥0f(x) \geq 0, deci aria este ∫24∣f(x)∣ dx=∫23−f(x) dx+∫34f(x) dx\int_{2}^{4} |f(x)| \, dx = \int_{2}^{3} -f(x) \, dx + \int_{3}^{4} f(x) \, dx, folosind proprietatea de aditivitate a integralelor și definiția valorii absolute.
34 puncte
Se calculează integralele: ∫23−(x2−5x+6) dx=∫23(−x2+5x−6) dx=[−x33+5x22−6x]23=16\int_{2}^{3} -(x^2 -5x+6) \, dx = \int_{2}^{3} (-x^2 +5x -6) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} -6x \right]_{2}^{3} = \frac{1}{6} și ∫34(x2−5x+6) dx=[x33−5x22+6x]34=16\int_{3}^{4} (x^2 -5x+6) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} +6x \right]_{3}^{4} = \frac{1}{6}, apoi se adună rezultatele, obținând aria totală 13\frac{1}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Notăm I=∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdxI = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx.
23 puncte
Folosim proprietatea ∫0af(x)dx=∫0af(a−x)dx\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx: I=∫0π(π−x)sin⁡(π−x)1+cos⁡2(π−x)dx=∫0π(π−x)sin⁡x1+cos⁡2xdxI = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin(\pi - x)}{1 + \cos^2(\pi - x)} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{1 + \cos^2 x} dx, deoarece sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x și cos⁡(π−x)=−cos⁡x\cos(\pi - x) = -\cos x, deci cos⁡2(π−x)=cos⁡2x\cos^2(\pi - x) = \cos^2 x.
32 puncte
Adunăm cele două expresii pentru I: 2I=∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx+∫0π(π−x)sin⁡x1+cos⁡2xdx=∫0ππsin⁡x1+cos⁡2xdx2I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx + \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi \sin x}{1 + \cos^2 x} dx.
43 puncte
Calculăm J=∫0πsin⁡x1+cos⁡2xdxJ = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx prin substituția u=cos⁡xu = \cos x, du=−sin⁡xdxdu = -\sin x dx: J=∫1−1−du1+u2=∫−11du1+u2=[arctan⁡u]−11=π4−(−π4)=π2J = \int_{1}^{-1} \frac{-du}{1+u^2} = \int_{-1}^{1} \frac{du}{1+u^2} = [\arctan u]_{-1}^{1} = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}.
51 punct
Obținem 2I=π×π2=π222I = \pi \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}, deci I=π24I = \frac{\pi^2}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Proprietăți ale integralelorPolinoameSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Știind că ∫−11f(x) dx=2\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 2, ∫02f(x) dx=10\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 10 și ∫13f(x) dx=26\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 26, determinați coeficienții aa, bb și cc.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Exprimă integralele definite folosind o primitivă a lui ff. O primitivă este F(x)=x44+ax33+bx22+cxF(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{a x^3}{3} + \frac{b x^2}{2} + c x. Atunci ∫−11f(x)dx=F(1)−F(−1)=(14+a3+b2+c)−(14−a3+b2−c)=2a3+2c\int_{-1}^{1} f(x) dx = F(1)-F(-1) = \left(\frac{1}{4}+\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c\right) - \left(\frac{1}{4}-\frac{a}{3}+\frac{b}{2}-c\right) = \frac{2a}{3}+2c.
23 puncte
Scrie celelalte două integrale: ∫02f(x)dx=F(2)−F(0)=(4+8a3+2b+2c)−0=4+8a3+2b+2c\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2)-F(0) = \left(4+\frac{8a}{3}+2b+2c\right) - 0 = 4+\frac{8a}{3}+2b+2c și ∫13f(x)dx=F(3)−F(1)=(814+9a+9b2+3c)−(14+a3+b2+c)=20+26a3+4b+2c\int_{1}^{3} f(x) dx = F(3)-F(1) = \left(\frac{81}{4}+9a+\frac{9b}{2}+3c\right) - \left(\frac{1}{4}+\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c\right) = 20 + \frac{26a}{3}+4b+2c.
32 puncte
Formează sistemul de ecuații folosind condițiile date: 2a3+2c=2\frac{2a}{3}+2c=2, 4+8a3+2b+2c=104+\frac{8a}{3}+2b+2c=10, 20+26a3+4b+2c=2620+\frac{26a}{3}+4b+2c=26. Simplifică: 2a3+2c=2\frac{2a}{3}+2c=2 (1), 8a3+2b+2c=6\frac{8a}{3}+2b+2c=6 (2), 26a3+4b+2c=6\frac{26a}{3}+4b+2c=6 (3).
42 puncte
Rezolvă sistemul. Din (1): a3+c=1⇒c=1−a3\frac{a}{3}+c=1 \Rightarrow c=1-\frac{a}{3}. Înlocuiește în (2): 8a3+2b+2(1−a3)=6⇒8a3+2b+2−2a3=6⇒2a+2b=4⇒a+b=2\frac{8a}{3}+2b+2\left(1-\frac{a}{3}\right)=6 \Rightarrow \frac{8a}{3}+2b+2-\frac{2a}{3}=6 \Rightarrow 2a+2b=4 \Rightarrow a+b=2. Înlocuiește în (3): 26a3+4b+2(1−a3)=6⇒26a3+4b+2−2a3=6⇒8a+4b=4⇒2a+b=1\frac{26a}{3}+4b+2\left(1-\frac{a}{3}\right)=6 \Rightarrow \frac{26a}{3}+4b+2-\frac{2a}{3}=6 \Rightarrow 8a+4b=4 \Rightarrow 2a+b=1. Sistemul devine a+b=2a+b=2 și 2a+b=12a+b=1. Scăzând, obținem a=−1a=-1, apoi b=3b=3, iar din c=1−a3c=1-\frac{a}{3} rezultă c=1+13=43c=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Proprietăți ale integralelorTrigonometriePrimitive
Fie f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} o funcție continuă astfel încât ∫0πf(x) dx=5\int_{0}^{\pi} f(x) \, dx = 5 și ∫0πxf(sin⁡x) dx=5π2\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \, dx = \frac{5\pi}{2}. Calculați ∫0πxπf(sin⁡x) dx\int_{0}^{\pi} \frac{x}{\pi} f(\sin x) \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Aplică proprietatea de substituție pentru integrala a doua. Pentru I=∫0πxf(sin⁡x)dxI = \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) dx, folosește substituția t=π−xt = \pi - x. Atunci dx=−dtdx = -dt, limitele devin de la π\pi la 00, deci I=∫π0(π−t)f(sin⁡(π−t))(−dt)=∫0π(π−t)f(sin⁡t)dt=∫0π(π−x)f(sin⁡x)dxI = \int_{\pi}^{0} (\pi - t) f(\sin(\pi - t)) (-dt) = \int_{0}^{\pi} (\pi - t) f(\sin t) dt = \int_{0}^{\pi} (\pi - x) f(\sin x) dx.
23 puncte
Adună cele două expresii pentru II: I=∫0πxf(sin⁡x)dxI = \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) dx și I=∫0π(π−x)f(sin⁡x)dxI = \int_{0}^{\pi} (\pi - x) f(\sin x) dx. Sumând, obținem 2I=∫0ππf(sin⁡x)dx=π∫0πf(sin⁡x)dx2I = \int_{0}^{\pi} \pi f(\sin x) dx = \pi \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx. Dar ∫0πf(sin⁡x)dx\int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx poate fi calculat folosind aceeași substituție t=π−xt = \pi - x: ∫0πf(sin⁡x)dx=∫0πf(sin⁡t)dt\int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx = \int_{0}^{\pi} f(\sin t) dt, deci integrala este simetrică și rămâne neschimbată. Mai mult, din prima condiție, ∫0πf(x)dx=5\int_{0}^{\pi} f(x) dx = 5, dar aici avem f(sin⁡x)f(\sin x), nu f(x)f(x). Observăm că sin⁡x\sin x pe [0,π][0,\pi] ia valori în [0,1][0,1], iar integrala nu se reduce direct la cea dată. Totuși, putem folosi o altă proprietate: pentru g(x)=f(sin⁡x)g(x)=f(\sin x), avem ∫0πg(x)dx=∫0πg(π−x)dx\int_{0}^{\pi} g(x) dx = \int_{0}^{\pi} g(\pi - x) dx, deci ∫0πf(sin⁡x)dx=∫0πf(sin⁡(π−x))dx=∫0πf(sin⁡x)dx\int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx = \int_{0}^{\pi} f(\sin(\pi - x)) dx = \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx, ceea ce nu ajută. În schimb, folosim faptul că ∫0πf(sin⁡x)dx=2∫0π/2f(sin⁡x)dx\int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx = 2 \int_{0}^{\pi/2} f(\sin x) dx deoarece sin⁡x\sin x este simetric față de π/2\pi/2. Dar nu avem valoarea acestei integrale. Totuși, din 2I=π∫0πf(sin⁡x)dx2I = \pi \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx și I=5π2I = \frac{5\pi}{2} dat, obținem 2⋅5π2=π∫0πf(sin⁡x)dx⇒5π=π∫0πf(sin⁡x)dx⇒∫0πf(sin⁡x)dx=52 \cdot \frac{5\pi}{2} = \pi \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx \Rightarrow 5\pi = \pi \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx \Rightarrow \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx = 5.
32 puncte
Acum calculăm integrala cerută J=∫0πxπf(sin⁡x)dxJ = \int_{0}^{\pi} \frac{x}{\pi} f(\sin x) dx. Folosim același truc cu substituția t=π−xt = \pi - x: J=∫0ππ−xπf(sin⁡x)dxJ = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi - x}{\pi} f(\sin x) dx. Adunând cele două expresii pentru JJ: 2J=∫0π(xπ+π−xπ)f(sin⁡x)dx=∫0πf(sin⁡x)dx=52J = \int_{0}^{\pi} \left( \frac{x}{\pi} + \frac{\pi - x}{\pi} \right) f(\sin x) dx = \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx = 5.
41 punct
Deci 2J=5⇒J=522J = 5 \Rightarrow J = \frac{5}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Proprietăți ale integralelorIntegrale definitePrimitive
Arătați că pentru orice funcție continuă f:[a,b]→Rf: [a,b] \to \mathbb{R} cu f(x)≥0f(x) \geq 0, are loc inegalitatea (∫abf(x) dx)2≤(b−a)∫ab[f(x)]2 dx\left( \int_a^b f(x) \, dx \right)^2 \leq (b-a) \int_a^b [f(x)]^2 \, dx. Aplicați această inegalitate pentru f(x)=xf(x)=x pe intervalul [0,1][0,1] și verificați-o.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se consideră funcția g(t)=∫ab[f(x)−t]2dxg(t) = \int_a^b [f(x) - t]^2 dx pentru t∈Rt \in \mathbb{R}. Dezvoltând, g(t)=∫ab[f(x)2−2tf(x)+t2]dx=∫abf(x)2dx−2t∫abf(x)dx+t2(b−a)g(t) = \int_a^b [f(x)^2 - 2t f(x) + t^2] dx = \int_a^b f(x)^2 dx - 2t \int_a^b f(x) dx + t^2 (b-a). Deoarece g(t)≥0g(t) \geq 0 pentru orice tt, discriminantul ecuației în tt este negativ sau zero: Δ=4(∫abf(x)dx)2−4(b−a)∫ab[f(x)]2dx≤0\Delta = 4 \left( \int_a^b f(x) dx \right)^2 - 4 (b-a) \int_a^b [f(x)]^2 dx \leq 0, de unde rezultă inegalitatea.
24 puncte
Demonstrația completă: g(t)g(t) este o funcție pătratică în tt cu coeficientul lui t2t^2 pozitiv (b−a>0)(b-a > 0). Minimul este atins când g(t)≥0g(t) \geq 0, deci discriminantul Δ≤0\Delta \leq 0, ceea ce conduce la (∫abf(x)dx)2≤(b−a)∫ab[f(x)]2dx\left( \int_a^b f(x) dx \right)^2 \leq (b-a) \int_a^b [f(x)]^2 dx.
32 puncte
Pentru f(x)=xf(x)=x pe [0,1][0,1], calculăm ∫01xdx=[x22]01=12\int_0^1 x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2} și ∫01x2dx=[x33]01=13\int_0^1 x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}.
41 punct
Verificăm inegalitatea: (12)2=14\left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} și (1−0)⋅13=13(1-0) \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}. Deoarece 14≤13\frac{1}{4} \leq \frac{1}{3}, inegalitatea este adevărată.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Proprietăți ale integralelorIntegrale definiteArii și volume
Se consideră funcția f:[0,2]→Rf:[0,2] \to \mathbb{R}, f(x)=x2−1f(x)=x^2 - 1. Calculați ∫02∣f(x)∣ dx\int_{0}^{2} |f(x)| \, dx folosind proprietăți ale integralelor definite.
Mediu#7Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Calculați aria regiunii mărginite de graficele funcțiilor f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x și g(x)=−x2+4g(x) = -x^2 + 4.
Mediu#8Proprietăți ale integralelorIntegrale definite
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, continuă, cu proprietatea că f(x)+f(−x)=2f(x) + f(-x) = 2 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. Calculați ∫−11x2f(x) dx\int_{-1}^{1} x^2 f(x) \, dx.
Mediu#9Proprietăți ale integralelorTrigonometrie
Fie f:[a,b]→Rf: [a, b] \to \mathbb{R} o funcție continuă. Demonstrați că ∫abf(x) dx=∫abf(a+b−x) dx\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f(a+b-x) \, dx. Aplicați această proprietate pentru a calcula ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2x dx\int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} \, dx.
Mediu#10Proprietăți ale integralelorIntegrale definiteTrigonometrie
Se dau funcțiile f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x și g(x)=cos⁡xg(x) = \cos x pe intervalul [0,π2][0, \frac{\pi}{2}]. Folosind proprietățile integralelor, calculați ∫0π2(f(x)+g(x))2 dx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (f(x) + g(x))^2 \, dx.
Mediu#11Proprietăți ale integralelorTrigonometriePrimitive
Calculați integrala definită ∫−ππ(sin⁡3x+cos⁡2x)dx\int_{-\pi}^{\pi} ( \sin^3 x + \cos^2 x ) dx utilizând proprietățile funcțiilor pare și impare.
Mediu#12Proprietăți ale integralelorIntegrale definiteFuncția de gradul al II-lea
Fie funcția f:[−1,2]→Rf: [-1,2] \to \mathbb{R}, f(x)=∣x∣−x2f(x) = |x| - x^2. Calculați ∫−12f(x)dx\int_{-1}^{2} f(x) dx utilizând proprietățile integralelor.
Mediu#13Proprietăți ale integralelorIntegrale definiteTrigonometrie
Demonstrați că pentru orice funcție continuă f:[0,a]→Rf: [0,a] \to \mathbb{R}, are loc egalitatea ∫0af(x)dx=∫0af(a−x)dx\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx. Apoi, utilizați această proprietate pentru a calcula ∫0π/2sin⁡xsin⁡x+cos⁡xdx\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx.
Mediu#14Proprietăți ale integralelorIntegrale definite
Calculați integrala ∫−11(x3cos⁡x+2x2)dx\int_{-1}^{1} (x^3 \cos x + 2x^2) dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#15Proprietăți ale integralelorIntegrale definiteTrigonometrie
Demonstrați că pentru orice funcție integrabilă ff pe intervalul [a,b][a,b], are loc egalitatea ∫abf(x)dx=∫abf(a+b−x)dx\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx. Apoi, folosiți această proprietate pentru a calcula integrala ∫0π/2sin⁡xsin⁡x+cos⁡xdx\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx.

Și alte 47 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Accesează toate cele 62 probleme de Proprietăți ale integralelor cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.