Probleme ușoare de Proprietăți ale integralelor

Clasa a 12-a • 36 probleme de nivel ușor

Mediu (62)Toate
Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se verifică că funcțiile f(x)=x3cos⁡xf(x) = x^3 \cos x și g(x)=xsin⁡xg(x) = x \sin x sunt impare, adică f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) și g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x).
24 puncte
Se folosește proprietatea că integrala unei funcții impare pe un interval simetric [−a,a][-a,a] este zero, deci ∫−aaf(x) dx=0\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0 și ∫−aag(x) dx=0\int_{-a}^{a} g(x) \, dx = 0.
33 puncte
Prin aditivitatea și liniaritatea integralei, ∫−aa[f(x)+g(x)] dx=∫−aaf(x) dx+∫−aag(x) dx=0+0=0\int_{-a}^{a} [f(x) + g(x)] \, dx = \int_{-a}^{a} f(x) \, dx + \int_{-a}^{a} g(x) \, dx = 0 + 0 = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Aplicăm proprietatea de aditivitate a integralei definite: ∫02f(x)dx=∫01f(x)dx+∫12f(x)dx=3+5=8\int_{0}^{2} f(x) dx = \int_{0}^{1} f(x) dx + \int_{1}^{2} f(x) dx = 3 + 5 = 8.
23 puncte
Aplicăm proprietatea de liniaritate: ∫02[2f(x)+1]dx=2∫02f(x)dx+∫021dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx = 2\int_{0}^{2} f(x) dx + \int_{0}^{2} 1 dx.
32 puncte
Calculăm ∫021dx=[x]02=2\int_{0}^{2} 1 dx = [x]_{0}^{2} = 2.
42 puncte
Înlocuim și obținem: 2×8+2=182 \times 8 + 2 = 18.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Proprietăți ale integralelorIntegrale definiteStudiul funcțiilor
Fie funcția f:[0,2]→Rf: [0,2] \to \mathbb{R}, f(x)={x2,daca˘ x∈[0,1]2−x,daca˘ x∈(1,2]f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{dacă } x \in [0,1] \\ 2-x, & \text{dacă } x \in (1,2] \end{cases}. Calculați ∫02f(x) dx\int_0^2 f(x) \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se observă că funcția este definită pe două subintervale: [0,1][0,1] și (1,2](1,2]. Folosind aditivitatea integralei, avem ∫02f(x)dx=∫01f(x)dx+∫12f(x)dx\int_0^2 f(x) dx = \int_0^1 f(x) dx + \int_1^2 f(x) dx.
23 puncte
Calculăm ∫01x2dx=[x33]01=13\int_0^1 x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}.
33 puncte
Calculăm ∫12(2−x)dx=[2x−x22]12=(4−2)−(2−12)=2−32=12\int_1^2 (2-x) dx = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_1^2 = (4-2) - (2 - \frac{1}{2}) = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}.
42 puncte
Adunăm rezultatele: 13+12=26+36=56\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}. Deci ∫02f(x)dx=56\int_0^2 f(x) dx = \frac{5}{6}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Proprietăți ale integralelorIntegrale definitePrimitive
Fie funcția f:[−2,2]→Rf:[-2,2] \to \mathbb{R}, definită prin f(x)={x+1,daca˘ x∈[−2,0)x2,daca˘ x∈[0,2]f(x) = \begin{cases} x+1, & \text{dacă } x \in [-2,0) \\ x^2, & \text{dacă } x \in [0,2] \end{cases}. Calculați ∫−22f(x) dx\int_{-2}^{2} f(x) \, dx folosind proprietăți ale integralelor definite.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Folosind aditivitatea integralei față de interval, se descompune: ∫−22f(x) dx=∫−20f(x) dx+∫02f(x) dx\int_{-2}^{2} f(x) \, dx = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x) \, dx.
22 puncte
Pe intervalul [−2,0)[-2,0), f(x)=x+1f(x) = x+1; pe intervalul [0,2][0,2], f(x)=x2f(x) = x^2.
32 puncte
Se calculează ∫−20(x+1) dx=[x22+x]−20=(0)−((−2)22+(−2))=0−(42−2)=0−(2−2)=0\int_{-2}^{0} (x+1) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{-2}^{0} = \left(0\right) - \left( \frac{(-2)^2}{2} + (-2) \right) = 0 - \left( \frac{4}{2} - 2 \right) = 0 - (2 - 2) = 0.
42 puncte
Se calculează ∫02x2 dx=[x33]02=83−0=83\int_{0}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}.
52 puncte
Se adună rezultatele: 0+83=830 + \frac{8}{3} = \frac{8}{3}. Deci ∫−22f(x) dx=83\int_{-2}^{2} f(x) \, dx = \frac{8}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Proprietăți ale integralelorPrimitive
Fie f:[0,2]→Rf: [0,2] \to \mathbb{R} o funcție continuă astfel încât ∫01f(x) dx=3\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 3 și ∫12f(x) dx=5\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 5. Calculați ∫02[2f(x)−x] dx\int_{0}^{2} [2f(x) - x] \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Folosind aditivitatea integralei definite, ∫02f(x) dx=∫01f(x) dx+∫12f(x) dx=3+5=8\int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{2} f(x) \, dx = 3 + 5 = 8.
23 puncte
Aplicând liniaritatea integralei, ∫02[2f(x)−x] dx=2∫02f(x) dx−∫02x dx=2⋅8−∫02x dx\int_{0}^{2} [2f(x) - x] \, dx = 2 \int_{0}^{2} f(x) \, dx - \int_{0}^{2} x \, dx = 2 \cdot 8 - \int_{0}^{2} x \, dx.
32 puncte
Se calculează ∫02x dx\int_{0}^{2} x \, dx folosind o primitivă: ∫x dx=x22+C\int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C, deci ∫02x dx=[x22]02=42−0=2\int_{0}^{2} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{4}{2} - 0 = 2.
42 puncte
Se înlocuiește în expresia anterioară: 2⋅8−2=16−2=142 \cdot 8 - 2 = 16 - 2 = 14. Deci ∫02[2f(x)−x] dx=14\int_{0}^{2} [2f(x) - x] \, dx = 14.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6Proprietăți ale integralelorIntegrale definite
Se consideră funcția continuă f:[0,3]→Rf: [0,3] \to \mathbb{R} astfel încât ∫01f(x) dx=4\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 4, ∫12f(x) dx=−1\int_{1}^{2} f(x) \, dx = -1, și ∫23f(x) dx=3\int_{2}^{3} f(x) \, dx = 3. Calculați ∫03(3f(x)+2) dx\int_{0}^{3} (3f(x) + 2) \, dx.
Ușor#7Proprietăți ale integralelorFuncția de gradul al II-lea
Se consideră funcția f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1. Calculați ∫02f(x) dx\int_0^2 f(x) \, dx utilizând proprietățile integralei definite, descompunând intervalul în punctul în care f(x)f(x) își schimbă semnul.
Ușor#8Proprietăți ale integralelorIntegrale definiteContinuitate
Fie f:[−1,1]→Rf: [-1,1] \to \mathbb{R} o funcție continuă astfel încât f(x)+f(−x)=2f(x) + f(-x) = 2 pentru orice x∈[−1,1]x \in [-1,1]. Calculați ∫−11f(x) dx\int_{-1}^{1} f(x) \, dx.
Ușor#9Proprietăți ale integralelorFuncția de gradul ISisteme de Ecuații Liniare
Fie f(x)=ax+bf(x) = ax + b o funcție de gradul I. Dacă ∫01f(x)dx=2\int_{0}^{1} f(x) dx = 2 și ∫12f(x)dx=3\int_{1}^{2} f(x) dx = 3, determinați coeficienții reali aa și bb, apoi calculați ∫02f(x)dx\int_{0}^{2} f(x) dx.
Ușor#10Proprietăți ale integralelorIntegrale definiteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Știind că ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile de liniaritate și aditivitate ale integralelor.
Ușor#11Proprietăți ale integralelorIntegrale definiteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} o funcție continuă cu proprietatea că f(x+2)=f(x)f(x+2) = f(x) pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. Dacă ∫01f(x)dx=4\int_{0}^{1} f(x) dx = 4 și ∫12f(x)dx=6\int_{1}^{2} f(x) dx = 6, calculați ∫010f(x)dx\int_{0}^{10} f(x) dx.
Ușor#12Proprietăți ale integralelorIntegrale definite
Fie f:[0,2]→Rf: [0,2] \to \mathbb{R} o funcție continuă astfel încât ∫01f(x)dx=3\int_0^1 f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_1^2 f(x) dx = 5. Calculați ∫02(2f(x)+1)dx\int_0^2 (2f(x) + 1) dx.
Ușor#13Proprietăți ale integralelorIntegrale definite
Calculați ∫−11(x3+11+x2)dx\int_{-1}^{1} \left( x^3 + \frac{1}{1+x^2} \right) dx folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#14Proprietăți ale integralelorIntegrale definite
Fie f:[−a,a]→Rf: [-a, a] \rightarrow \mathbb{R} o funcție pară și g:[−a,a]→Rg: [-a, a] \rightarrow \mathbb{R} o funcție impară, cu a>0a > 0. Știind că ∫0af(x)dx=3\int_0^a f(x) dx = 3 și ∫0ag(x)dx=4\int_0^a g(x) dx = 4, calculați ∫−aa[2f(x)+3g(x)]dx\int_{-a}^a [2f(x) + 3g(x)] dx folosind proprietățile integralelor.
Ușor#15Proprietăți ale integralelorFuncția de gradul al II-leaFuncția de gradul I
Calculați ∫02f(x)dx\int_{0}^{2} f(x) dx, unde f(x)f(x) este definită prin f(x)={x2daca˘ 0≤x≤12x−1daca˘ 1<x≤2f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{dacă } 0 \le x \le 1 \\ 2x - 1 & \text{dacă } 1 < x \le 2 \end{cases}. Folosiți proprietățile integralelor pentru a descompune integrala pe intervale.

Și alte 21 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Accesează toate cele 36 probleme de Proprietăți ale integralelor cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.