Probleme de nivel mediu de Șiruri de numere reale

Clasa a 11-a • 272 probleme de nivel mediu

Ușor (127)Toate
Mediu#1Șiruri de numere reale
Calculați limita: lim⁡n→∞n!nn\lim_{n\to\infty} \frac{n!}{n^n}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Notați an=n!nna_n=\frac{n!}{n^n} și calculați raportul an+1an=(nn+1)n\frac{a_{n+1}}{a_n}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n. Observați că lim⁡n→∞(nn+1)n=e−1<1\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=e^{-1}<1.
26 puncte
Concluzionați că șirul tinde către 00 (deoarece limita raportului este mai mică decât 11), deci lim⁡n→∞n!nn=0\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n}=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Șiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Fie șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin x1=1x_1 = 1 și xn+1=2+xnx_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați că șirul este convergent și calculați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Arătați că șirul este mărginit. Prin inducție, se demonstrează că 0<xn<20 < x_n < 2 pentru orice n≥1n \geq 1: pentru n=1n=1, x1=1x_1=1, iar dacă 0<xn<20 < x_n < 2, atunci xn+1=2+xnx_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} satisface 0<2<xn+1<4=20 < \sqrt{2} < x_{n+1} < \sqrt{4} = 2.
23 puncte
Arătați că șirul este monoton crescător. Comparând xn+1x_{n+1} și xnx_n, avem xn+1−xn=2+xn−xnx_{n+1} - x_n = \sqrt{2 + x_n} - x_n. Pentru xn∈(0,2)x_n \in (0,2), se verifică că 2+xn≥xn\sqrt{2 + x_n} \geq x_n deoarece funcția f(x)=2+x−xf(x) = \sqrt{2+x} - x este pozitivă pe acest interval, deci xn+1≥xnx_{n+1} \geq x_n.
34 puncte
Folosind teorema șirurilor monotone și mărginite, șirul este convergent. Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n. Din relația de recurență, trecând la limită, L=2+LL = \sqrt{2 + L}, deci L2=L+2L^2 = L + 2. Rezolvând ecuația L2−L−2=0L^2 - L - 2 = 0, se obține L=2L = 2 sau L=−1L = -1. Cum xn>0x_n > 0 pentru toți nn, limita este L=2L = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Șiruri de numere realeNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (zn)n≥1(z_n)_{n \geq 1} definit prin zn=(1+i)n+(1−i)n2nz_n = \frac{(1+i)^n + (1-i)^n}{2^n}. Demonstrați că znz_n este un șir de numere reale și calculați limita sa când n→∞n \to \infty.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați că (1−i)(1-i) este conjugatul lui (1+i)(1+i), deci (1−i)n=(1+i)n‾(1-i)^n = \overline{(1+i)^n}. Atunci zn=(1+i)n+(1+i)n‾2n=2Re⁡((1+i)n)2nz_n = \frac{(1+i)^n + \overline{(1+i)^n}}{2^n} = \frac{2 \operatorname{Re}((1+i)^n)}{2^n}, care este real pentru orice nn.
24 puncte
Scrieți 1+i1+i în formă trigonometrică: 1+i=2(cos⁡π4+isin⁡π4)1+i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right). Atunci (1+i)n=2n/2(cos⁡nπ4+isin⁡nπ4)(1+i)^n = 2^{n/2} \left( \cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac{n\pi}{4} \right) și (1−i)n=2n/2(cos⁡nπ4−isin⁡nπ4)(1-i)^n = 2^{n/2} \left( \cos \frac{n\pi}{4} - i \sin \frac{n\pi}{4} \right). Înlocuind, zn=2n/2(cos⁡nπ4+isin⁡nπ4)+2n/2(cos⁡nπ4−isin⁡nπ4)2n=2⋅2n/2cos⁡nπ42n=21−n/2cos⁡nπ4z_n = \frac{2^{n/2} \left( \cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac{n\pi}{4} \right) + 2^{n/2} \left( \cos \frac{n\pi}{4} - i \sin \frac{n\pi}{4} \right)}{2^n} = \frac{2 \cdot 2^{n/2} \cos \frac{n\pi}{4}}{2^n} = 2^{1 - n/2} \cos \frac{n\pi}{4}.
33 puncte
Calculați limita: lim⁡n→∞zn=lim⁡n→∞21−n/2cos⁡nπ4\lim_{n \to \infty} z_n = \lim_{n \to \infty} 2^{1 - n/2} \cos \frac{n\pi}{4}. Deoarece ∣cos⁡nπ4∣≤1| \cos \frac{n\pi}{4} | \leq 1 și lim⁡n→∞21−n/2=0\lim_{n \to \infty} 2^{1 - n/2} = 0, folosind teorema cleștelui, limita este 00.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Șiruri de numere realeMonotonie și convexitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=12a_1 = \frac{1}{2} și an+1=an1+ana_{n+1} = \frac{a_n}{1 + a_n} pentru orice n≥1n \geq 1. Să se arate că șirul este convergent și să i se calculeze limita.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se arată prin inducție că an>0a_n > 0 pentru orice n≥1n \geq 1 și că an+1<ana_{n+1} < a_n, deci șirul este strict descrescător.
23 puncte
Deoarece șirul este descrescător și mărginit inferior de 0, este convergent. Fie L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n.
33 puncte
Trecând la limită în relația de recurență, obținem L=L1+LL = \frac{L}{1+L}, adică L(1+L)=LL(1+L) = L, de unde L2=0L^2 = 0, deci L=0L=0.
41 punct
Concluzie: șirul converge la 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Șiruri de numere realeProgresii GeometriceInducție matematică
Fie șirul (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1} definit prin b1=1b_1 = 1 și bn+1=2bn+3nb_{n+1} = 2b_n + 3^n pentru orice n≥1n \geq 1. Să se determine termenul general bnb_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se verifică că pentru n=1n=1, b1=31−21=1b_1 = 3^1 - 2^1 = 1, adevărat.
25 puncte
Se demonstrează prin inducție matematică: presupunem că bk=3k−2kb_k = 3^k - 2^k pentru un k≥1k \geq 1 și se calculează bk+1=2bk+3k=2(3k−2k)+3k=3⋅3k−2k+1=3k+1−2k+1b_{k+1} = 2b_k + 3^k = 2(3^k - 2^k) + 3^k = 3 \cdot 3^k - 2^{k+1} = 3^{k+1} - 2^{k+1}.
32 puncte
Se concluzionează că bn=3n−2nb_n = 3^n - 2^n pentru orice n≥1n \geq 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Șiruri de numere realeProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+3na_{n+1} = 2a_n + 3^n pentru n≥1n \geq 1. Determinați formula termenului general ana_n și calculați suma Sn=a1+a2+⋯+anS_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n.
Mediu#7Șiruri de numere realeIntegrale definiteProprietăți ale integralelor
Fie șirul (In)n≥0(I_n)_{n \geq 0} definit prin In=∫01xnexdxI_n = \int_0^1 x^n e^x dx. Demonstrați că pentru orice n≥1n \geq 1, are loc relația In=e−nIn−1I_n = e - n I_{n-1} și calculați lim⁡n→∞In\lim_{n \to \infty} I_n.
Mediu#8Șiruri de numere realeMonotonie și convexitate
Se consideră șirul (xn)(x_n) definit recursiv prin x1=1x_1 = 1 și xn+1=2+xnx_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} pentru toți n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. Arătați că șirul este monoton și mărginit, apoi calculați limita sa.
Mediu#9Șiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere RealeInducție matematică
Un șir (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} este definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=an+32a_{n+1} = \frac{a_n + 3}{2} pentru orice n≥1n \geq 1. Arătați că șirul este convergent și calculați limita sa. Apoi, determinați cel mai mic număr natural NN astfel încât ∣an−L∣<0.01|a_n - L| < 0.01 pentru orice n≥Nn \geq N, unde LL este limita.
Mediu#10Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Suma primilor nn termeni ai unui șir aritmetic este Sn=3n2+5nS_n = 3n^2 + 5n. Determinați primul termen și rația progresiei. Apoi, calculați suma pătratelor primilor 10 termeni.
Mediu#11Șiruri de numere realeLogaritmiInducție matematică
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=ln⁡(an+1)a_{n+1} = \ln(a_n + 1) pentru orice n≥1n \geq 1, unde ln⁡\ln este logaritmul natural. Să se arate că șirul este convergent și să i se afle limita.
Mediu#12Șiruri de numere realeEcuații iraționaleStudiul funcțiilor
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2+ana_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} pentru n≥1n \geq 1. Demonstrați că șirul este monoton crescător și mărginit superior de 2. Apoi, folosind convergența, calculați limita șirului.
Mediu#13Șiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere RealeInducție matematică
Se consideră șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin x1=1x_1 = 1 și xn+1=2+xnx_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați că șirul este convergent și calculați lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_n.
Mediu#14Șiruri de numere realeInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, are loc egalitatea ∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. Apoi, folosind această formulă, calculați lim⁡n→∞∑k=1nk2n3\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} k^2}{n^3}.
Mediu#15Șiruri de numere realeMonotonie și convexitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=an2+4a_{n+1} = \sqrt{a_n^2 + 4} pentru orice n≥1n \geq 1. Arătați că șirul este crescător și determinați limita sa. Apoi, calculați lim⁡n→∞ann\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n}.

Și alte 257 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Accesează toate cele 272 probleme de Șiruri de numere reale cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.