Probleme ușoare de Șiruri de numere reale

Clasa a 11-a • 127 probleme de nivel ușor

Mediu (272)Toate
Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Rescrieți suma ca 1n2∑k=1n−1k\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n-1}k.
24 puncte
Folosiți formula ∑k=1n−1k=(n−1)n2\sum_{k=1}^{n-1}k=\frac{(n-1)n}{2} și obțineți expresia n−12n\frac{n-1}{2n}.
33 puncte
Calculați limita lim⁡n→∞n−12n=12\lim_{n\to\infty}\frac{n-1}{2n}=\frac{1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Observăm că suma din paranteză este 1+2+⋯+(n−1)n2+1=n(n−1)2n2+1\dfrac{1+2+\dots+(n-1)}{n^2+1}=\dfrac{\dfrac{n(n-1)}{2}}{n^2+1}.
26 puncte
Calculăm limita lim⁡n→∞n(n−1)2(n2+1)=lim⁡n→∞n2−n2n2+2=12\lim_{n\to\infty}\dfrac{n(n-1)}{2(n^2+1)}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{n^2-n}{2n^2+2}=\dfrac{1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Calculați suma din numitor: ∑k=n+12nk=2n(2n+1)2−n(n+1)2=3n2+n2\sum_{k=n+1}^{2n} k = \dfrac{2n(2n+1)}{2} - \dfrac{n(n+1)}{2} = \dfrac{3n^2 + n}{2}.
26 puncte
Împărțiți numărătorul și numitorul la n2n^2 și luați limita: 2+1n−1n232+12n=4+2n−2n23+1n→43\dfrac{2 + \tfrac{1}{n} - \tfrac{1}{n^2}}{\tfrac{3}{2} + \tfrac{1}{2n}} = \dfrac{4 + \tfrac{2}{n} - \tfrac{2}{n^2}}{3 + \tfrac{1}{n}} \to \dfrac{4}{3}. Răspuns: 43\dfrac{4}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați șirul an=n22na_n=\frac{n^2}{2^n}. Calculați raportul an+1an=(n+1)22n2=12(1+1n)2\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^2}{2n^2}=\frac12\left(1+\frac1n\right)^2; limita acestui raport când n→∞n\to\infty este 12<1\tfrac12<1.
24 puncte
Din faptul că raportul succesiunii tinde la o valoare mai mică decât 1 rezultă că există NN și c<1c<1 astfel încât pentru orice n≥Nn\ge N avem an+1≤c ana_{n+1}\le c\,a_n, deci ana_n este majorat de un șir geometric care tinde la 0.
33 puncte
Concluzie: lim⁡n→∞n22n=0\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞2nn!\lim_{n\to\infty} \frac{2^n}{n!}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Considerați șirul bn=2nn!b_n=\frac{2^n}{n!}. Calculați raportul bn+1bn=2n+1\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{2}{n+1}; acest raport tinde la 0 când n→∞n\to\infty și pentru n≥2n\ge 2 este mai mic sau egal cu 1.
23 puncte
Pentru nn suficient de mare raportul este strict mai mic decât 1, deci bnb_n scade (până la un indice finit) și este dominat de un șir geometric cu rația <1<1, care tinde la 0.
33 puncte
Concluzie: lim⁡n→∞2nn!=0\lim_{n\to\infty} \frac{2^n}{n!}=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6Șiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞4+3n+n631+3n+2n2\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[3]{4 + 3n + n^6}}{1 + 3n + 2n^2}.
Ușor#7Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Fie șirul (xn)(x_n) definit prin x1=ax_1 = a, x2=bx_2 = b și xn=2xn−1−xn−2x_n = 2x_{n-1} - x_{n-2} pentru n≥3n \ge 3. Demonstrați că (xn)(x_n) este o progresie aritmetică. Dacă x5=10x_5 = 10 și x10=25x_{10} = 25, determinați x1x_1 și x2x_2.
Ușor#8Șiruri de numere realeProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} o progresie geometrică cu a1=1a_1 = 1 și rația q>0q > 0. Considerăm șirul (sn)n≥1(s_n)_{n \geq 1} definit prin sn=∑k=1naks_n = \sum_{k=1}^{n} a_k. Să se studieze convergența șirului (sn)(s_n) în funcție de qq. Pentru q=12q = \frac{1}{2}, să se calculeze lim⁡n→∞sn\lim_{n \to \infty} s_n.
Ușor#9Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Fie șirul (un)n≥1(u_n)_{n \geq 1} definit prin u1=2u_1 = 2 și un+1=un+32u_{n+1} = \frac{u_n + 3}{2} pentru n≥1n \geq 1. Arătați că șirul (vn)n≥1(v_n)_{n \geq 1} cu vn=un−3v_n = u_n - 3 este o progresie geometrică. Determinați termenul general al șirului (un)(u_n) și calculați lim⁡n→∞un\lim_{n \to \infty} u_n.
Ușor#10Șiruri de numere realeProgresii GeometriceLogaritmi
Fie (an)(a_n) o progresie geometrică cu primul termen a1=8a_1 = 8 și rația r=12r = \frac{1}{2}. Se definește șirul (bn)(b_n) prin bn=log⁡2(an)b_n = \log_2(a_n) pentru orice n≥1n \geq 1. Calculați suma primilor 10 termeni ai șirului (bn)(b_n) și determinați dacă (bn)(b_n) este o progresie aritmetică sau geometrică.
Ușor#11Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=an+32a_{n+1} = \frac{a_n + 3}{2} pentru orice n≥1n \geq 1. a) Arătați că șirul (an)(a_n) este convergent și calculați limita sa. b) Determinați toate valorile reale xx pentru care șirul (bn)(b_n) cu bn=an−xb_n = a_n - x este o progresie geometrică.
Ușor#12Șiruri de numere realeLogaritmiProgresii Aritmetice
Se consideră șirul (un)n≥1(u_n)_{n \geq 1} definit prin u1=8u_1 = 8 și un+1=un2u_{n+1} = \frac{u_n}{2} pentru n≥1n \geq 1. a) Arătați că șirul (un)(u_n) este convergent și calculați limita sa. b) Demonstrați că șirul (vn)(v_n) cu vn=ln⁡(un)v_n = \ln(u_n) este o progresie aritmetică și determinați diferența sa.
Ușor#13Șiruri de numere realeLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=log⁡2a_1 = \log 2 și an+1=an+log⁡(1+1n)a_{n+1} = a_n + \log\left(1 + \frac{1}{n}\right) pentru orice n≥1n \geq 1. Determinați termenul general ana_n și calculați lim⁡n→∞an\lim_{n \to \infty} a_n.
Ușor#14Șiruri de numere realeProgresii GeometriceLogaritmi
Fie șirul (an)(a_n) o progresie geometrică cu a1=2a_1 = 2 și rația q=3q = 3. Se consideră șirul (bn)(b_n) definit prin bn=log⁡2(an)b_n = \log_2(a_n). Arătați că (bn)(b_n) este o progresie aritmetică și calculați suma primilor 15 termeni ai șirului (bn)(b_n).
Ușor#15Șiruri de numere realeNumere ComplexeProgresii Geometrice
Fie șirul (zn)(z_n) de numere complexe definit prin z1=1+iz_1 = 1+i și zn+1=(1+i)znz_{n+1} = (1+i)z_n pentru n≥1n \geq 1. Calculați ∣zn∣|z_n| și arătați că șirul (∣zn∣)(|z_n|) este o progresie geometrică. Determinați cel mai mic număr natural nn pentru care ∣zn∣>1000|z_n| > 1000.

Și alte 112 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Accesează toate cele 127 probleme de Șiruri de numere reale cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.