Probleme de nivel mediu de Statistică descriptivă

Clasa a 10-a • 74 probleme de nivel mediu

Ușor (33)Toate
Mediu#1Statistică descriptivăMatematică aplicată
O companie a înregistrat venituri lunare (în mii de lei) pe un an: [12,15,18,20,22,25,28,30,32,35,38,40][12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 32, 35, 38, 40]. Calculați media, dispersia și abaterea standard a acestor venituri. Apoi, determinați intervalul de încredere pentru media populației, presupunând că datele provin dintr-o distribuție normală și nivelul de încredere este de 95%95\%. (Se cunoaște că pentru 1111 grade de libertate, valoarea-tt este 2.2012.201.)

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculul mediei: xˉ=12+15+18+20+22+25+28+30+32+35+38+4012=31512=26.25\bar{x} = \frac{12+15+18+20+22+25+28+30+32+35+38+40}{12} = \frac{315}{12} = 26.25 mii lei.
23 puncte
Calculul dispersiei: s2=∑(xi−26.25)211=(12−26.25)2+⋯+(40−26.25)211=1016.511≈92.409s^2 = \frac{\sum (x_i - 26.25)^2}{11} = \frac{(12-26.25)^2 + \dots + (40-26.25)^2}{11} = \frac{1016.5}{11} \approx 92.409, deci abaterea standard s≈92.409≈9.613s \approx \sqrt{92.409} \approx 9.613 mii lei.
34 puncte
Calculul intervalului de încredere: xˉ±t⋅sn=26.25±2.201⋅9.61312=26.25±2.201⋅2.775≈26.25±6.11\bar{x} \pm t \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 26.25 \pm 2.201 \cdot \frac{9.613}{\sqrt{12}} = 26.25 \pm 2.201 \cdot 2.775 \approx 26.25 \pm 6.11, deci intervalul este (20.14,32.36)(20.14, 32.36) mii lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Statistică descriptivăProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră următoarea serie de date statistice, reprezentând înălțimile (în cm) ale 15 elevi: 160,165,170,172,175,160,168,172,180,165,170,175,172,168,162160, 165, 170, 172, 175, 160, 168, 172, 180, 165, 170, 175, 172, 168, 162. Se cere: a) Să se determine media, mediana și modul seriei. b) Dacă se adaugă încă un elev cu înălțimea xx, astfel încât noua medie să devină 170170, să se afle xx. c) Presupunând că înălțimile acestor 15 elevi sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, să se găsească primul termen și rația progresiei, știind că media lor este 170170.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru punctul a) se ordonează datele: 160,160,162,165,165,168,168,170,170,172,172,172,175,175,180160, 160, 162, 165, 165, 168, 168, 170, 170, 172, 172, 172, 175, 175, 180. Media: 160+160+162+165+165+168+168+170+170+172+172+172+175+175+18015=255415≈170.27\frac{160+160+162+165+165+168+168+170+170+172+172+172+175+175+180}{15} = \frac{2554}{15} \approx 170.27. Mediana este valoarea de pe poziția a 8-a (fiind 15 date): 170170. Modul este 172172, deoarece apare de 3 ori, mai mult decât orice altă valoare.
23 puncte
Pentru punctul b) suma inițială este 25542554, iar după adăugare sunt 16 elevi. Noua medie: 2554+x16=170⇒2554+x=2720⇒x=166\frac{2554 + x}{16} = 170 \Rightarrow 2554 + x = 2720 \Rightarrow x = 166 cm.
33 puncte
Pentru punctul c) fiind o progresie aritmetică cu 15 termeni, media este egală cu media primului și ultimului termen: a1+a152=170⇒a1+a15=340\frac{a_1 + a_{15}}{2} = 170 \Rightarrow a_1 + a_{15} = 340. Dar a15=a1+14ra_{15} = a_1 + 14r, deci a1+(a1+14r)=340⇒2a1+14r=340⇒a1+7r=170a_1 + (a_1 + 14r) = 340 \Rightarrow 2a_1 + 14r = 340 \Rightarrow a_1 + 7r = 170. De asemenea, suma termenilor este S15=152(2a1+14r)=15(a1+7r)=15⋅170=2550S_{15} = \frac{15}{2}(2a_1 + 14r) = 15(a_1 + 7r) = 15 \cdot 170 = 2550, care coincide cu suma calculată la punctul a) (aproximativ, datorită rotunjirii, dar se consideră exactă pentru progresie). Din a1+7r=170a_1 + 7r = 170 se obține o infinitate de soluții; pentru a avea termeni întregi (ca înălțimi), se poate alege, de exemplu, r=2r=2, atunci a1=170−14=156a_1 = 170 - 14 = 156.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Statistică descriptivăProgresii GeometriceMatematică financiară
Un investitor monitorizează randamentele anuale (în procente) ale unui fond de investiții pe parcursul a 5 ani: 8,12,18,27,40.58, 12, 18, 27, 40.5. Se cere: a) Să se calculeze media geometrică a acestor randamente. b) Să se determine dispersia și abaterea standard a seriei. c) Dacă randamentele sunt în progresie geometrică, să se găsească rația și primul termen al progresiei. d) Investitorul dorește ca media aritmetică a randamentelor să fie 2525. Ce valoare ar trebui să aibă randamentul din anul al șaselea, adăugat la serie, pentru a îndeplini această condiție?

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Pentru punctul a) media geometrică: 8⋅12⋅18⋅27⋅40.55=8⋅12⋅18⋅27⋅40.55\sqrt[5]{8 \cdot 12 \cdot 18 \cdot 27 \cdot 40.5} = \sqrt[5]{8 \cdot 12 \cdot 18 \cdot 27 \cdot 40.5}. Se observă că produsul se poate simplifica: 8=238=2^3, 12=22⋅312=2^2\cdot3, 18=2⋅3218=2\cdot3^2, 27=3327=3^3, 40.5=812=34240.5= \frac{81}{2} = \frac{3^4}{2}. Produsul: 23+2+1⋅31+2+3+4⋅2−1=25⋅310⋅2−1=24⋅310=16⋅59049=9447842^{3+2+1} \cdot 3^{1+2+3+4} \cdot 2^{-1} = 2^{5} \cdot 3^{10} \cdot 2^{-1} = 2^{4} \cdot 3^{10} = 16 \cdot 59049 = 944784. Așadar, 9447845=24⋅3105=24/5⋅32=20.8⋅9≈1.741⋅9=15.669\sqrt[5]{944784} = \sqrt[5]{2^4 \cdot 3^{10}} = 2^{4/5} \cdot 3^{2} = 2^{0.8} \cdot 9 \approx 1.741 \cdot 9 = 15.669.
23 puncte
Pentru punctul b) media aritmetică: 8+12+18+27+40.55=105.55=21.1\frac{8+12+18+27+40.5}{5} = \frac{105.5}{5} = 21.1. Dispersia: σ2=15[(8−21.1)2+(12−21.1)2+(18−21.1)2+(27−21.1)2+(40.5−21.1)2]=15[171.61+82.81+9.61+34.81+376.36]=15⋅675.2=135.04\sigma^2 = \frac{1}{5}[(8-21.1)^2 + (12-21.1)^2 + (18-21.1)^2 + (27-21.1)^2 + (40.5-21.1)^2] = \frac{1}{5}[171.61 + 82.81 + 9.61 + 34.81 + 376.36] = \frac{1}{5} \cdot 675.2 = 135.04. Abaterea standard: 135.04≈11.62\sqrt{135.04} \approx 11.62.
32 puncte
Pentru punctul c) randamentele sunt în progresie geometrică: 8,12,18,27,40.58, 12, 18, 27, 40.5. Rația: q=128=1.5q = \frac{12}{8} = 1.5. Primul termen este a1=8a_1 = 8.
42 puncte
Pentru punctul d) suma inițială este 105.5105.5, iar după adăugarea randamentului xx sunt 6 valori. Media: 105.5+x6=25⇒105.5+x=150⇒x=44.5\frac{105.5 + x}{6} = 25 \Rightarrow 105.5 + x = 150 \Rightarrow x = 44.5%.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Statistică descriptivăProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n termenii unei progresii aritmetice. Se cunosc: media aritmetică xˉ=18\bar{x} = 18, varianța s2=36s^2 = 36, și suma termenilor Sn=180S_n = 180. Determinați primul termen a1a_1, rația rr și numărul de termeni nn.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Din definiția mediei, xˉ=Snn\bar{x} = \frac{S_n}{n}, deci 18=180n18 = \frac{180}{n}, rezultă n=10n=10.
23 puncte
Pentru o progresie aritmetică, varianța este s2=r2(n2−1)12s^2 = \frac{r^2 (n^2 - 1)}{12}. Înlocuind s2=36s^2=36 și n=10n=10, obținem 36=r2(100−1)12=99r21236 = \frac{r^2 (100 - 1)}{12} = \frac{99 r^2}{12}.
32 puncte
Rezolvând ecuația, r2=36×1299=43299=4811r^2 = \frac{36 \times 12}{99} = \frac{432}{99} = \frac{48}{11}, deci r=±4811=±4311r = \pm \sqrt{\frac{48}{11}} = \pm 4\sqrt{\frac{3}{11}}.
42 puncte
Media pentru o progresie aritmetică este xˉ=a1+n−12r\bar{x} = a_1 + \frac{n-1}{2}r. Cu xˉ=18\bar{x}=18, n=10n=10, avem 18=a1+92r18 = a_1 + \frac{9}{2}r, deci a1=18−92ra_1 = 18 - \frac{9}{2}r.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Statistică descriptivăProbabilitățiCombinatorică
Într-un lot de 80 de produse, lungimile (în cm) sunt grupate în intervale cu frecvențele absolute: [10,12): 10 produse, [12,14): 20 produse, [14,16): 30 produse, [16,18): 15 produse, [18,20): 5 produse. a) Calculați media și dispersia lungimilor. b) Se aleg la întâmplare două produse din lot. Care este probabilitatea ca ambele să aibă lungimea cuprinsă între 14 cm și 18 cm?

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinarea punctelor medii ale intervalelor: pentru [10,12), punctul mediu este 11; pentru [12,14), 13; pentru [14,16), 15; pentru [16,18), 17; pentru [18,20), 19.
23 puncte
Calculul mediei: xˉ=11⋅10+13⋅20+15⋅30+17⋅15+19⋅580=110+260+450+255+9580=117080=14.625\bar{x} = \frac{11 \cdot 10 + 13 \cdot 20 + 15 \cdot 30 + 17 \cdot 15 + 19 \cdot 5}{80} = \frac{110 + 260 + 450 + 255 + 95}{80} = \frac{1170}{80} = 14.625.
33 puncte
Calculul dispersiei: s2=180[(11−14.625)2⋅10+(13−14.625)2⋅20+(15−14.625)2⋅30+(17−14.625)2⋅15+(19−14.625)2⋅5]s^2 = \frac{1}{80} \left[ (11-14.625)^2 \cdot 10 + (13-14.625)^2 \cdot 20 + (15-14.625)^2 \cdot 30 + (17-14.625)^2 \cdot 15 + (19-14.625)^2 \cdot 5 \right]. Se calculează: (−3.625)2=13.140625⋅10=131.40625( -3.625)^2 = 13.140625 \cdot 10 = 131.40625; (−1.625)2=2.640625⋅20=52.8125( -1.625)^2 = 2.640625 \cdot 20 = 52.8125; (0.375)2=0.140625⋅30=4.21875(0.375)^2 = 0.140625 \cdot 30 = 4.21875; (2.375)2=5.640625⋅15=84.609375(2.375)^2 = 5.640625 \cdot 15 = 84.609375; (4.375)2=19.140625⋅5=95.703125(4.375)^2 = 19.140625 \cdot 5 = 95.703125. Suma: 131.40625 + 52.8125 + 4.21875 + 84.609375 + 95.703125 = 368.75, deci s2=368.7580=4.609375s^2 = \frac{368.75}{80} = 4.609375.
42 puncte
Pentru probabilitate, numărul total de moduri de a alege 2 produse din 80 este C802=80⋅792=3160C_{80}^2 = \frac{80 \cdot 79}{2} = 3160. Produsele cu lungimea între 14 și 18 cm sunt din intervalele [14,16) și [16,18), adică 30 + 15 = 45 de produse. Numărul de moduri de a alege 2 din acestea este C452=45⋅442=990C_{45}^2 = \frac{45 \cdot 44}{2} = 990. Probabilitatea este P=9903160=99316P = \frac{990}{3160} = \frac{99}{316}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Statistică descriptivăProbabilitățiDerivate
Datele privind notele obținute de 50 de elevi la un test sunt prezentate în tabelul de frecvență: intervalul 0−40-4 cu frecvența 55, 5−95-9 cu frecvența 1212, 10−1410-14 cu frecvența 1818, 15−1915-19 cu frecvența 1010, 20−2420-24 cu frecvența 55. Calculați media, mediana și modul acestei distribuții. În continuare, se alege un elev la întâmplare din acest grup. Determinați probabilitatea ca elevul ales să aibă nota mai mare sau egală cu 1010.
Mediu#7Statistică descriptivăProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Trei numere sunt în progresie aritmetică. Media lor aritmetică este 1010, iar varianța este 66. Se adaugă două numere, astfel încât media celor cinci numere devine 1212. Diferența dintre cele două numere adăugate este 44. Determinați toate numerele și calculați varianța seriei finale.
Mediu#8Statistică descriptivăAlgebră și Calcule cu Numere RealeȘiruri de numere reale
Fie un set de date x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n cu media aritmetică xˉ=10\bar{x} = 10 și dispersia s2=4s^2 = 4. Se adaugă o nouă valoare aa la set, iar noua medie devine 1111 și noua dispersie devine 66. Determinați valoarea lui aa și numărul inițial de date nn.
Mediu#9Statistică descriptivăProcenteProbabilități
Într-o întreprindere, salariile angajaților au media de 50005000 lei și abaterea standard de 10001000 lei. Se acordă o majorare de 10%10\% tuturor salariilor. a) Determinați noua medie și noua abatere standard. b) Presupunând că salariile urmează o distribuție normală, calculați probabilitatea ca un angajat ales la întâmplare să aibă salariul după majorare între 60006000 lei și 70007000 lei.
Mediu#10Statistică descriptivăProgresii Aritmetice
Într-o serie statistică, valorile 1,2,3,4,51,2,3,4,5 au frecvențele absolute în progresie aritmetică cu rația 1. Dacă media seriei este 3.53.5 și varianța este 1.751.75, determinați aceste frecvențe.
Mediu#11Statistică descriptivăProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n o progresie aritmetică de numere reale pozitive. Știind că x1=5x_1 = 5, media aritmetică a termenilor este 1515, iar varianța este 3636, determinați nn și rația rr.
Mediu#12Statistică descriptivăProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Într-un sondaj, răspunsurile posibile la o întrebare sunt 1,2,31, 2, 3, cu frecvențele f1,f2,f3f_1, f_2, f_3 care formează o progresie geometrică. Se cunosc: numărul total de respondenți este 5050, media răspunsurilor este 2.22.2, iar deviația standard este 0.80.8. Determinați rația progresiei geometrice și frecvențele.
Mediu#13Statistică descriptivăAlgebră și Calcule cu Numere RealeProcente
Într-o populație, vârsta medie este de 35 de ani cu o abatere standard de 10 ani. După 5 ani, toți membrii populației îmbătrânesc cu 5 ani, iar se adaugă un grup nou care reprezintă 20% din populația inițială, cu vârsta medie de 25 de ani și abatere standard de 5 ani. Calculați vârsta medie și abaterea standard a întregii populații după aceste schimbări. (Presupunem că populațiile sunt independente și mărimile sunt suficiente pentru aplicarea formulelor.)
Mediu#14Statistică descriptivăProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie cinci numere reale x1,x2,x3,x4,x5x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 cu media aritmetică xˉ=10\bar{x} = 10 și abaterea standard σ=2\sigma = 2. Se știe că x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 sunt în progresie aritmetică cu rația r>0r > 0, iar x4=x5=kx_4 = x_5 = k, unde kk este media aritmetică a lui x1,x2,x3x_1, x_2, x_3. Determinați valorile numerelor x1,x2,x3,x4,x5x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 și rația rr.
Mediu#15Statistică descriptivăProgresii Aritmetice
Fie a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n termenii unei progresii aritmetice cu rația rr. Media aritmetică a acestor numere este xˉ\bar{x} și varianța este σ2\sigma^2. a) Exprimați xˉ\bar{x} și σ2\sigma^2 în funcție de a1a_1, rr și nn. b) Pentru n=10n=10, xˉ=15\bar{x}=15 și σ2=20\sigma^2=20, determinați a1a_1 și rr.

Și alte 59 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Statistică descriptivă cu AI

Accesează toate cele 74 probleme de Statistică descriptivă cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.