Probleme de nivel mediu de Studiul funcțiilor

Clasa a 11-a • 95 probleme de nivel mediu

Ușor (9)Toate
Mediu#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Analizați prima fracție: factorizați și/sau dezvoltați în jurul lui x=2x=2 pentru a determina limita raportului x3−4xx3−8→23\dfrac{x^3-4x}{x^3-8}\to\dfrac{2}{3}, deci inversul tinde la 32\dfrac{3}{2}.
24 puncte
Pentru a doua expresie, calculați comportamentul pentru x→2x\to2 folosind dezvoltări sau transformări (folosind x−2\sqrt{x}-\sqrt{2} pentru a raționaliza); se obține că paranteza tinde la 32\dfrac{3}{2}, deci inversul tinde la 23\dfrac{2}{3}.
33 puncte
Concluzionați diferența limitelor: 32−23=56\dfrac{3}{2}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{6}, deci limita finală este 56\boxed{\tfrac{5}{6}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Studiul funcțiilorȘiruri de numere realeContinuitate
Construiți graficul funcției y = f(x), unde f(x)=lim⁡n→∞xn−x−nxn+x−nf(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{x^n - x^{-n}}{x^n + x^{-n}}, pentru x>0x>0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
pentru x>1x>1 avem xn→∞x^n\to\infty și x−n→0x^{-n}\to0, deci împărțind numărătorul și numitorul la xnx^n rezultă f(x)=1f(x)=1.
23 puncte
pentru 0<x<10<x<1 factorizați cu x−nx^{-n} sau împărțiți la x−nx^{-n} pentru a obține limita −1-1, deci f(x)=−1f(x)=-1.
33 puncte
pentru x=1x=1 evaluați direct f(1)=1−11+1=0f(1)=\frac{1-1}{1+1}=0 și trasați graficul unei funcții constante cu valorile determinate pe intervalele corespunzătoare (salturi în x=1x=1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Studiul funcțiilorMonotonie și convexitateDerivate
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Să se studieze monotonia și convexitatea funcției ff.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x.
23 puncte
Rezolvarea ecuației f′(x)=0f'(x) = 0 obținând x=0x=0 și x=2x=2 și studiul semnului derivatei pe intervalele (−∞,0)(-\infty,0), (0,2)(0,2), (2,∞)(2,\infty) pentru a determina intervalele de creștere și descreștere.
32 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6.
43 puncte
Rezolvarea ecuației f′′(x)=0f''(x) = 0 obținând x=1x=1 și studiul semnului derivatei a doua pe intervalele (−∞,1)(-\infty,1) și (1,∞)(1,\infty) pentru a determina convexitatea și concavitatea.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Studiul funcțiilorLogaritmi
Studiați funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x2−4x+5)−xf(x) = \ln(x^2 - 4x + 5) - x. Determinați domeniul de definiție, intervalele de monotonie, punctele de extrem, asimptotele și schițați graficul funcției.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Determinarea domeniului: se rezolvă inecuația x2−4x+5>0x^2 - 4x + 5 > 0. Discriminantul este Δ=(−4)2−4⋅1⋅5=−4<0\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = -4 < 0, iar coeficientul lui x2x^2 este pozitiv, deci inecuația are soluția R\mathbb{R}. Astfel, Df=RD_f = \mathbb{R}.
23 puncte
Calculul derivatei și studiul monotoniei: f′(x)=2x−4x2−4x+5−1f'(x) = \frac{2x-4}{x^2-4x+5} - 1. Se studiază semnul lui f′(x)f'(x): se rezolvă f′(x)=0f'(x) = 0, adică 2x−4x2−4x+5=1\frac{2x-4}{x^2-4x+5} = 1, care conduce la x2−6x+9=0x^2 - 6x + 9 = 0, deci x=3x = 3. Pentru x<3x < 3 și x>3x > 3, derivata este negativă (de exemplu, f′(2)=−1f'(2) = -1, f′(4)=−0.2f'(4) = -0.2), deci funcția este strict descrescătoare pe R\mathbb{R}. Punctul x=3x = 3 este staționar dar nu este de extrem.
32 puncte
Punctele de extrem: deoarece f′(x)<0f'(x) < 0 pe R∖{3}\mathbb{R} \setminus \{3\}, funcția nu are puncte de extrem local. Valoarea funcției în x=3x = 3 este f(3)=ln⁡(2)−3f(3) = \ln(2) - 3.
42 puncte
Asimptote: se calculează limitele: lim⁡x→∞f(x)=−∞\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty și lim⁡x→−∞f(x)=∞\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty. Nu există asimptote orizontale. Pentru asimptote oblice, lim⁡x→±∞f(x)x=−1\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = -1, dar lim⁡x→±∞[f(x)+x]=lim⁡x→±∞ln⁡(x2−4x+5)=∞\lim_{x \to \pm \infty} [f(x) + x] = \lim_{x \to \pm \infty} \ln(x^2 - 4x + 5) = \infty, deci nu există asimptote oblice finite. Nu există asimptote verticale.
51 punct
Schița graficului: se reprezintă o curbă strict descrescătoare pe R\mathbb{R}, care trece prin punctul (3,ln⁡2−3)(3, \ln 2 - 3) și tinde la −∞-\infty când x→∞x \to \infty și la ∞\infty când x→−∞x \to -\infty.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Studiul funcțiilorIntegrale definite
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−1x2+1f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}. Studiați funcția: determinați domeniul, paritatea, intervalele de monotonie, extremele, asimptotele. Calculați aria suprafeței mărginite de graficul funcției, axa Ox și dreptele x=0x = 0 și x=1x = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul și paritatea: numitorul x2+1≠0x^2 + 1 \neq 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deci Df=RD_f = \mathbb{R}. f(−x)=(−x)2−1(−x)2+1=x2−1x2+1=f(x)f(-x) = \frac{(-x)^2 - 1}{(-x)^2 + 1} = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = f(x), deci funcția este pară.
23 puncte
Derivata și monotonie: f′(x)=2x(x2+1)−(x2−1)2x(x2+1)2=4x(x2+1)2f'(x) = \frac{2x(x^2+1) - (x^2-1)2x}{(x^2+1)^2} = \frac{4x}{(x^2+1)^2}. Semnul lui f′(x)f'(x): pentru x>0x > 0, f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff este strict crescătoare pe (0,∞)(0, \infty); pentru x<0x < 0, f′(x)<0f'(x) < 0, deci ff este strict descrescătoare pe (−∞,0)(-\infty, 0); în x=0x = 0, f′(0)=0f'(0) = 0.
32 puncte
Extreme și asimptote: din semnul derivatei, x=0x = 0 este punct de minim global, cu f(0)=−1f(0) = -1. Asimptote: lim⁡x→±∞f(x)=1\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 1, deci y=1y = 1 este asimptotă orizontală spre ±∞\pm \infty. Nu există asimptote verticale sau oblice.
43 puncte
Calculul ariei: aria cerută este ∫01∣f(x)∣ dx\int_0^1 |f(x)| \, dx. Pe [0,1][0,1], f(x)≤0f(x) \leq 0 (deoarece f(0)=−1f(0) = -1 și f(1)=0f(1) = 0), deci ∣f(x)∣=−f(x)|f(x)| = -f(x). Se scrie f(x)=1−2x2+1f(x) = 1 - \frac{2}{x^2+1}. Atunci, ∫01f(x) dx=∫01(1−2x2+1)dx=[x−2arctan⁡x]01=(1−2⋅π4)−(0−0)=1−π2\int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^1 \left(1 - \frac{2}{x^2+1}\right) dx = [x - 2 \arctan x]_0^1 = (1 - 2 \cdot \frac{\pi}{4}) - (0 - 0) = 1 - \frac{\pi}{2}. Aria este ∫01∣f(x)∣ dx=−∫01f(x) dx=π2−1\int_0^1 |f(x)| \, dx = -\int_0^1 f(x) \, dx = \frac{\pi}{2} - 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Studiul funcțiilorAplicații ale derivatelorAsimptote
Fie funcția f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+2x+3x−1f(x) = \frac{x^2 + 2x + 3}{x-1}. a) Determinați asimptotele funcției ff. b) Studiați monotonia și determinați punctele de extrem ale funcției ff. c) Studiați convexitatea/concavitatea și determinați punctele de inflexiune ale funcției ff. d) Reprezentați grafic funcția ff.
Mediu#7Studiul funcțiilorDerivateMonotonie și convexitate
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. a) Determinați a,b,ca, b, c știind că punctul A(1,2)A(1, 2) este punct de extrem local al graficului funcției și că tangenta la grafic în punctul de abscisă x=0x=0 este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. b) Pentru valorile determinate, studiați monotonia funcției ff. c) Determinați punctele de inflexiune ale graficului funcției ff.
Mediu#8Studiul funcțiilorDerivateAsimptote
Fie funcția f:R∖{2}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−4x+3x−2f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x-2}. a) Determinați asimptotele funcției. b) Studiați monotonia și determinați punctele de extrem. c) Studiați convexitatea și concavitatea. d) Trasați graficul funcției.
Mediu#9Studiul funcțiilorDerivatePrimitive
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡xf(x) = x \ln x. a) Determinați domeniul de definiție și asimptotele. b) Studiați monotonia și determinați punctele de extrem. c) Calculați lim⁡x→0+f(x)\lim_{x \to 0^+} f(x) și discutați existența primitivei pe domeniu. d) Aflați ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă x=1x=1.
Mediu#10Studiul funcțiilorDerivateAsimptote
Se consideră funcția f:D→Rf: D \to \mathbb{R}, f(x)=x2−4x+3x2−1f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 1}. Determinați domeniul maxim de definiție DD, asimptotele funcției, intervalele de monotonie și punctele de extrem local. Apoi, studiați convexitatea/concavitatea pe DD și determinați punctele de inflexiune, dacă există. În final, rezolvați ecuația f(x)=log⁡2(x−1)f(x) = \log_2 (x-1), pentru x∈D∩(1,∞)x \in D \cap (1, \infty).
Mediu#11Studiul funcțiilorIntegrale definiteArii și volume
Fie funcția f:[0,∞)→Rf: [0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xe−xf(x) = x e^{-x}. Calculați primitivele lui ff. Apoi, determinați aria suprafeței plane mărginite de graficul funcției g(x)=f(x)−12xg(x) = f(x) - \frac{1}{2}x, axa OxOx și dreptele x=0x = 0 și x=2x = 2. Studiați monotonia și convexitatea funcției ff, precum și asimptotele ei orizontale. În final, determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției h(x)=f(x)h(x) = \sqrt{f(x)} pe intervalul [0,2][0, 2].
Mediu#12Studiul funcțiilorDerivateAsimptote
Se dă funcția f:R∖{2}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}. Determinați domeniul de definiție, asimptotele (verticale, orizontale sau oblice), intervalele de monotonie și punctele de extrem ale funcției.
Mediu#13Studiul funcțiilorDerivateAsimptote
Se consideră funcția f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+1x−1f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}. a) Determinați domeniul de definiție și asimptotele funcției. b) Studiați monotonia și determinați punctele de extrem ale funcției. c) Calculați f′′(x)f''(x) și studiați convexitatea/concavitatea funcției. d) Reprezentați grafic funcția.
Mediu#14Studiul funcțiilorDerivateAsimptote
Considerăm funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x+2x2−1f(x) = \frac{x^3 - 3x + 2}{x^2 - 1}. Studiați funcția: determinați domeniul de definiție, asimptotele (verticale, oblice, orizontale), intervalele de monotonie, punctele de extrem și schițați graficul.
Mediu#15Studiul funcțiilorDerivateAsimptote
Se consideră funcția f(x)=x3−3xx2−4f(x) = \frac{x^3 - 3x}{x^2 - 4}. Determinați domeniul de definiție al funcției; determinați asimptotele funcției; studiați monotonía funcției și determinați punctele de extrem local; studiați convexitatea/concavitatea funcției și determinați punctele de inflexiune; reprezentați grafic funcția ff.

Și alte 80 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Accesează toate cele 95 probleme de Studiul funcțiilor cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.