Probleme ușoare de Studiul funcțiilor

Clasa a 11-a • 9 probleme de nivel ușor

Mediu (95)Toate
Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
16 puncte
Racionalizăm numărătorul multiplicând cu x+3+3x+3+3\frac{\sqrt{x+3}+3}{\sqrt{x+3}+3}; obținem x+3−9(x−6)(x+3+3)=x−6(x−6)(x+3+3)\frac{x+3-9}{(x-6)(\sqrt{x+3}+3)}=\frac{x-6}{(x-6)(\sqrt{x+3}+3)} și simplificăm cu x−6x-6, rezultând 1x+3+3\frac{1}{\sqrt{x+3}+3}.
24 puncte
Evaluăm limita prin înlocuire x→6x\to 6 și obținem 19+3=16\frac{1}{\sqrt{9}+3}=\frac{1}{6}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați limita primei fracții împărțind numărătorul și numitorul la xx; obțineți lim⁡x→∞3x5x−1=35\lim_{x\to\infty}\frac{3x}{5x-1}=\frac{3}{5}.
24 puncte
Calculați limita celei de-a doua fracții împărțind numărătorul și numitorul la x2x^2; obțineți lim⁡x→∞2x2+1x2+2x−1=2\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+1}{x^2+2x-1}=2.
32 puncte
Scădeți rezultatele pentru limita totală: 35−2=−75\frac{3}{5}-2=-\frac{7}{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Observați gradele polinoamelor: grad(numărător)=2 < grad(numitor)=3, deci limita este 0.
26 puncte
Demonstrați împărțind numărătorul și numitorul la x3x^3 și luând limita, rezultă 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Studiul funcțiilorIntegrale definiteArii și volume
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex−xf(x) = e^x - x. Studiați monotonia funcției pe intervalul [0,1][0,1], apoi calculați aria domeniului mărginit de graficul funcției, axa OxOx și dreptele x=0x=0 și x=1x=1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Studiul monotoniei: derivata f′(x)=ex−1f'(x) = e^x - 1; pe [0,1][0,1], f′(x)≥0f'(x) \geq 0 (deoarece ex≥1e^x \geq 1 pentru x≥0x \geq 0), deci funcția este crescătoare pe [0,1][0,1].
22 puncte
Verificarea semnului funcției: f(0)=1>0f(0)=1>0 și f(1)=e−1>0f(1)=e-1>0, deci f(x)>0f(x) > 0 pe [0,1][0,1], astfel aria se calculează direct cu integrala definită.
33 puncte
Calculul integralei definite: ∫01(ex−x) dx=[ex−x22]01\int_0^1 (e^x - x) \, dx = \left[ e^x - \frac{x^2}{2} \right]_0^1.
43 puncte
Evaluarea: (e1−122)−(e0−022)=(e−12)−(1−0)=e−32\left( e^1 - \frac{1^2}{2} \right) - \left( e^0 - \frac{0^2}{2} \right) = (e - \frac{1}{2}) - (1 - 0) = e - \frac{3}{2}. Aria este e−32e - \frac{3}{2} unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Studiul funcțiilorPrimitiveArii și volume
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=∫0x(t2−2t+1)dtf(x) = \int_{0}^{x} (t^2 - 2t + 1) dt. a) Calculați f(x)f(x) și determinați expresia explicită a funcției. b) Studiați monotonia și determinați punctele de extrem ale funcției. c) Calculați aria mărginită de graficul funcției, axa Ox și dreptele x=0x = 0 și x=2x = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Primitive: ∫(t2−2t+1)dt=t33−t2+t+C\int (t^2 - 2t + 1) dt = \frac{t^3}{3} - t^2 + t + C; din f(0)=0f(0) = 0, C=0C = 0, deci f(x)=x33−x2+xf(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + x.
23 puncte
Derivata f′(x)=x2−2x+1=(x−1)2≥0f'(x) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 \geq 0; funcția este crescătoare pe R\mathbb{R}; f′(x)=0f'(x) = 0 doar în x=1x=1, dar semnul nu se schimbă, deci nu sunt puncte de extrem local.
34 puncte
Aria = ∫02f(x)dx=∫02(x33−x2+x)dx=[x412−x33+x22]02=(1612−83+42)−0=43−83+2=23\int_{0}^{2} f(x) dx = \int_{0}^{2} \left( \frac{x^3}{3} - x^2 + x \right) dx = \left[ \frac{x^4}{12} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \left( \frac{16}{12} - \frac{8}{3} + \frac{4}{2} \right) - 0 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} + 2 = \frac{2}{3}; pe [0,2][0,2], f(x)≥0f(x) \geq 0, deci aria este pozitivă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6Studiul funcțiilorDerivateLogaritmi
Considerăm funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡x−xf(x) = x \ln x - x. Studiați funcția: determinați domeniul de definiție, asimptotele, intervalele de monotonie, punctele de extrem și demonstrați că f(x)≥−1f(x) \geq -1 pentru orice x>0x > 0.
Ușor#7Studiul funcțiilorAsimptoteDerivate
Se consideră funcția f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−3x+2x−1f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x-1}. a) Determinați domeniul de definiție și zerourile funcției. b) Studiați existența asimptotelor. c) Studiați monotonía și determinați punctele de extrem. d) Reprezentați grafic funcția.
Ușor#8Studiul funcțiilorDerivateAsimptote
Considerăm funcția f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−3x+2x−1f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x-1}. Studiați funcția ff: determinați domeniul de definiție, asimptotele, intervalele de monotonie, punctele de extrem, convexitatea/concavitatea și punctele de inflexiune. Reprezentați grafic funcția.
Ușor#9Studiul funcțiilorDerivateMonotonie și convexitate
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Determinați intervalele de monotonie și punctele de extrem ale funcției ff.
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Accesează toate cele 9 probleme de Studiul funcțiilor cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.