Probleme de nivel mediu de Teoria Mulțimilor

Clasa a 9-a • 20 probleme de nivel mediu

Ușor (79)Toate
Mediu#1Teoria MulțimilorLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea M={x∈R∣x>0}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \} și operația ∘\circ definită prin x∘y=xyx+yx \circ y = \frac{xy}{x+y}. a) Arătați că ∘\circ este comutativă dar nu este asociativă. b) Rezolvați ecuația (x∘2)∘3=1(x \circ 2) \circ 3 = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Comutativitatea: x∘y=xyx+y=yxy+x=y∘xx \circ y = \frac{xy}{x+y} = \frac{yx}{y+x} = y \circ x. Neasociativitatea: se aleg valori, de exemplu x=1,y=2,z=3x=1, y=2, z=3; atunci (1∘2)∘3=1⋅21+2∘3=23∘3=23⋅323+3=2113=611(1 \circ 2) \circ 3 = \frac{1 \cdot 2}{1+2} \circ 3 = \frac{2}{3} \circ 3 = \frac{\frac{2}{3} \cdot 3}{\frac{2}{3}+3} = \frac{2}{\frac{11}{3}} = \frac{6}{11}, iar 1∘(2∘3)=1∘2⋅32+3=1∘65=1⋅651+65=65115=6111 \circ (2 \circ 3) = 1 \circ \frac{2 \cdot 3}{2+3} = 1 \circ \frac{6}{5} = \frac{1 \cdot \frac{6}{5}}{1+\frac{6}{5}} = \frac{\frac{6}{5}}{\frac{11}{5}} = \frac{6}{11}, dar pentru alte valori, de exemplu x=2,y=3,z=4x=2, y=3, z=4, se obțin rezultate diferite, deci operația nu este asociativă. \n
26 puncte
Se calculează x∘2=2xx+2x \circ 2 = \frac{2x}{x+2}. Apoi, (x∘2)∘3=2xx+2⋅32xx+2+3=6xx+22x+3(x+2)x+2=6x5x+6(x \circ 2) \circ 3 = \frac{ \frac{2x}{x+2} \cdot 3 }{ \frac{2x}{x+2} + 3 } = \frac{ \frac{6x}{x+2} }{ \frac{2x + 3(x+2)}{x+2} } = \frac{6x}{5x+6}. Ecuația devine 6x5x+6=1\frac{6x}{5x+6} = 1. Rezolvând, 6x=5x+66x = 5x+6, deci x=6x=6, dar trebuie x>0x>0, iar x=6x=6 verifică condiția, deci soluția este x=6x=6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Teoria MulțimilorNumere ComplexeStudiul funcțiilor
Se consideră mulțimea M={z∈C∣∣z∣=1 și Re⁡(z)≥12}M = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \text{ și } \operatorname{Re}(z) \geq \frac{1}{2} \}. Determinați imaginea mulțimii MM prin funcția f:C→Cf: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, f(z)=z2f(z) = z^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Exprimarea numerelor complexe din M în formă trigonometrică: z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos \theta + i \sin \theta, unde θ∈[0,2π)\theta \in [0, 2\pi) și cos⁡θ≥12\cos \theta \geq \frac{1}{2}, adică θ∈[−π3,π3]\theta \in [-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}] modulo 2π2\pi.
24 puncte
Aplicarea funcției: f(z)=cos⁡2θ+isin⁡2θf(z) = \cos 2\theta + i \sin 2\theta. Pentru θ∈[−π3,π3]\theta \in [-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}], avem 2θ∈[−2π3,2π3]2\theta \in [-\frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}], deci cos⁡2θ≥−12\cos 2\theta \geq -\frac{1}{2}.
32 puncte
Descrierea mulțimii imagine: f(M)={w∈C∣∣w∣=1 și Re⁡(w)≥−12}f(M) = \{ w \in \mathbb{C} \mid |w| = 1 \text{ și } \operatorname{Re}(w) \geq -\frac{1}{2} \}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Teoria MulțimilorDerivateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x+1f(x) = x^3 - 3x + 1. Considerăm mulțimile A={x∈R∣f(x)≤0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid f(x) \leq 0 \} și B={x∈R∣f′(x)=0}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid f'(x) = 0 \}, unde f′f' este derivata lui ff. Determinați A∩BA \cap B și A∪BA \cup B.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculul derivatei: f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3. Rezolvarea ecuației f′(x)=0f'(x)=0: 3x2−3=0⇒x2=1⇒x=−1 sau x=13x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = -1 \text{ sau } x = 1. Deci B={−1,1}B = \{ -1, 1 \}.
24 puncte
Studiul semnului funcției f: Se calculează f(−1)=3f(-1) = 3, f(1)=−1f(1) = -1. Funcția este crescătoare pe (−∞,−1](-\infty, -1] și [1,∞)[1, \infty), descrescătoare pe [−1,1][-1,1]. Rezolvând f(x)≤0f(x) \leq 0, se obține că A=(−∞,x1]∪[x2,x3]A = (-\infty, x_1] \cup [x_2, x_3], unde x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 sunt rădăcinile reale ale ecuației f(x)=0f(x)=0, cu x1≈−1.879x_1 \approx -1.879, x2≈0.347x_2 \approx 0.347, x3≈1.532x_3 \approx 1.532.
32 puncte
Determinarea mulțimilor: A∩B={1}A \cap B = \{ 1 \} deoarece f(1)=−1≤0f(1) = -1 \leq 0 și 1∈B1 \in B, iar f(−1)=3>0f(-1) = 3 > 0 deci −1∉A-1 \notin A. A∪B=A∪{−1}A \cup B = A \cup \{ -1 \}, adică (−∞,x1]∪[x2,x3]∪{−1}(-\infty, x_1] \cup [x_2, x_3] \cup \{ -1 \}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Teoria MulțimilorNumere ComplexeGeometrie Analitică
Fie mulțimile A={z∈C∣∣z−1∣≤2}A = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z - 1| \leq 2 \} și B={z∈C∣Re(z)≥0}B = \{ z \in \mathbb{C} \mid \text{Re}(z) \geq 0 \}. Determinați mulțimea A∩BA \cap B și reprezentați-o geometric. Apoi, aflați numărul de elemente din A∩BA \cap B care sunt rădăcini ale ecuației z3=1z^3 = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Interpretarea geometrică a mulțimii A ca disc cu centrul în 1+0i1+0i și raza 2, iar a mulțimii B ca semiplan drept care include axa imaginară.
24 puncte
Determinarea intersecției A ∩ B ca regiune comună, descrisă prin inegalități și reprezentarea ei ca un segment de disc.
33 puncte
Rezolvarea ecuației z3=1z^3 = 1 pentru a obține rădăcinile 11, −12+32i-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i și −12−32i-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i, și verificarea apartenenței lor la A ∩ B, concluzionând cu numărul de elemente.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Teoria MulțimilorProbabilitățiCombinatorică
Se consideră mulțimea M={1,2,3,4,5}M = \{1, 2, 3, 4, 5\}. Se aleg la întâmplare două submulțimi nevide ale lui M. Care este probabilitatea ca intersecția lor să fie nevidă?

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Numărul total de submulțimi nevide ale lui M este 25−1=312^5 - 1 = 31.
23 puncte
Numărul total de moduri de a alege două submulțimi nevide (pereche neordonată) este (312)=465\binom{31}{2} = 465.
33 puncte
Numărul de perechi de submulțimi nevide cu intersecția vidă. Pentru perechi ordonate de submulțimi disjuncte (inclusiv vide), fiecare element are 3 opțiuni (în prima, în a doua, sau în niciuna), deci 35=2433^5 = 243. Scădem cazurile cu cel puțin o mulțime vidă: 25+25−1=632^5 + 2^5 - 1 = 63, deci perechi ordonate disjuncte și nevide: 243−63=180243 - 63 = 180. Perechile neordonate disjuncte și nevide: 180/2=90180 / 2 = 90.
42 puncte
Probabilitatea ca intersecția să fie nevidă este 1−90465=1−631=25311 - \frac{90}{465} = 1 - \frac{6}{31} = \frac{25}{31}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Teoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Fie mulțimile A={x∈R∣x2+ax+b=0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 + ax + b = 0 \} și B={x∈R∣x2+cx+d=0}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 + cx + d = 0 \}, unde a,b,c,d∈Ra,b,c,d \in \mathbb{R}. Știind că A∩B={1}A \cap B = \{1\} și A∪B={−1,1,2}A \cup B = \{-1,1,2\}, determinați coeficienții a,b,c,da,b,c,d.
Mediu#7Teoria MulțimilorNumere ComplexeGeometrie Analitică
Se consideră mulțimile M={z∈C:∣z−1∣≤2}M = \{ z \in \mathbb{C} : |z-1| \leq 2 \} și N={z∈C:Im(z)≥0}N = \{ z \in \mathbb{C} : \text{Im}(z) \geq 0 \}. Determinați M∩NM \cap N și reprezentați geometric rezultatul. Apoi, calculați aria regiunii din planul complex corespunzătoare lui M∩NM \cap N.
Mediu#8Teoria MulțimilorNumere ComplexeGeometrie Analitică
Fie mulțimea M={z∈C∣∣z∣≤2}M = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| \le 2 \} și N={z∈C∣Re(z)≥1}N = \{ z \in \mathbb{C} \mid \text{Re}(z) \ge 1 \}. Reprezentați în planul complex mulțimile MM și NN și determinați M∩NM \cap N. Calculați aria regiunii M∩NM \cap N.
Mediu#9Teoria MulțimilorNumere Complexe
Considerați mulțimea M={z∈C∣∣z∣=2 și arg⁡(z)∈[0,π2]}M = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = \sqrt{2} \text{ și } \arg(z) \in [0, \frac{\pi}{2}] \}. Demonstrați că pentru orice z1,z2∈Mz_1, z_2 \in M, avem ∣z1+z2∣≤22|z_1 + z_2| \leq 2\sqrt{2}.
Mediu#10Teoria MulțimilorEcuații iraționaleDomeniul de definiție al funcțiilor
Considerăm funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−4f(x) = \sqrt{x^2 - 4}. Determinați mulțimea valorilor lui xx pentru care f(x)∈[1,∞)f(x) \in [1, \infty). Apoi, fie mulțimile M={x∈R∣f(x)<3}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid f(x) < 3 \} și N={x∈R∣x2−9≤0}N = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 9 \leq 0 \}. Calculați M∩NM \cap N și M∪NM \cup N.
Mediu#11Teoria MulțimilorEcuații exponentialeEcuații logaritmice
Fie mulțimile A={x∈R∣2x−1+23−x=5}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid 2^{x-1} + 2^{3-x} = 5 \} și B={y∈R∣log⁡2(y−1)+log⁡2(y+1)=1}B = \{ y \in \mathbb{R} \mid \log_2(y-1) + \log_2(y+1) = 1 \}. Determinați A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, și verificați dacă A⊆BA \subseteq B sau B⊆AB \subseteq A.
Mediu#12Teoria MulțimilorEcuații logaritmiceEcuații iraționale
Fie mulțimile A={x∈R∣log⁡2(x−1)+log⁡2(x+3)=3}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid \log_2(x-1) + \log_2(x+3) = 3 \} și B={x∈R∣x+2=x−2}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid \sqrt{x+2} = x-2 \}. Determinați A∩BA \cap B și A∪BA \cup B, apoi calculați cardinalul mulțimii A△BA \triangle B (diferența simetrică).
Mediu#13Teoria MulțimilorNumere ComplexeGeometrie Analitică
Fie mulțimile A={z∈C∣∣z∣=2}A = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 2 \} și B={z∈C∣Re(z)=1}B = \{ z \in \mathbb{C} \mid \text{Re}(z) = 1 \}. a) Descrieți geometric mulțimile A și B. b) Determinați A∩BA \cap B. c) Calculați modulul numărului complex w=z1+z2w = z_1 + z_2, unde z1∈Az_1 \in A și z2∈Bz_2 \in B sunt alese astfel încât z1⋅z2=2+2iz_1 \cdot z_2 = 2+2i.
Mediu#14Teoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimile A={x∈R∣x2−5x+6=0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 = 0 \} și B={x∈R∣x2−4x+3>0}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 4x + 3 > 0 \}. a) Determinați A∪BA \cup B și A∩BA \cap B. b) Pentru ce valori ale lui m∈Rm \in \mathbb{R} mulțimea C={x∈R∣x2+mx+2=0}C = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 + mx + 2 = 0 \} este o submulțime a lui A∪BA \cup B?
Mediu#15Teoria MulțimilorCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie AA și BB două mulțimi finite cu ∣A∣=m|A| = m și ∣B∣=n|B| = n. Știind că numărul de submulțimi ale lui AA este cu 48 mai mare decât numărul de submulțimi ale lui BB, că ∣A∩B∣=3|A \cap B| = 3 și ∣A∪B∣=7|A \cup B| = 7, determinați mm și nn.

Și alte 5 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Teoria Mulțimilor cu AI

Accesează toate cele 20 probleme de Teoria Mulțimilor cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.