Probleme ușoare de Teoria Mulțimilor

Clasa a 9-a • 79 probleme de nivel ușor

Mediu (20)Toate
Ușor#1Teoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimile A={x∈R∣x2−5x+6<0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 < 0 \} și B={x∈R∣∣x−2∣≤1}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x-2| \leq 1 \}. Determinați A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, și A∖BA \setminus B.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Rezolvăm inecuația x2−5x+6<0x^2 - 5x + 6 < 0. Factorizăm: x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3), deci inecuația devine (x−2)(x−3)<0(x-2)(x-3) < 0. Soluția este x∈(2,3)x \in (2,3), deci A=(2,3)A = (2,3).
23 puncte
Rezolvăm inecuația ∣x−2∣≤1|x-2| \leq 1. Aceasta este echivalentă cu −1≤x−2≤1-1 \leq x-2 \leq 1, adică 1≤x≤31 \leq x \leq 3. Deci B=[1,3]B = [1,3].
34 puncte
Calculăm operațiile: A∩B=(2,3)∩[1,3]=(2,3)A \cap B = (2,3) \cap [1,3] = (2,3); A∪B=(2,3)∪[1,3]=[1,3)A \cup B = (2,3) \cup [1,3] = [1,3); A∖B=(2,3)∖[1,3]=∅A \setminus B = (2,3) \setminus [1,3] = \emptyset.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Teoria MulțimilorEcuații logaritmice
Determinați mulțimea A={x∈R∣log⁡2(x−1)+log⁡2(x+3)=3}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid \log_2(x-1) + \log_2(x+3) = 3 \}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Stabilim condițiile de existență pentru logaritmi: x−1>0x-1 > 0 și x+3>0x+3 > 0, de unde x>1x > 1 și x>−3x > -3. Intersecția acestor condiții dă x>1x > 1.
24 puncte
Aplicăm proprietatea logaritmilor: log⁡2(x−1)+log⁡2(x+3)=log⁡2((x−1)(x+3))\log_2(x-1) + \log_2(x+3) = \log_2((x-1)(x+3)). Ecuația devine log⁡2((x−1)(x+3))=3\log_2((x-1)(x+3)) = 3, deci (x−1)(x+3)=23=8(x-1)(x+3) = 2^3 = 8. Expandăm: x2+2x−3=8x^2 + 2x - 3 = 8, adică x2+2x−11=0x^2 + 2x - 11 = 0. Rezolvăm: x=−2±4+442=−2±482=−2±432=−1±23x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 44}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{-2 \pm 4\sqrt{3}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{3}.
33 puncte
Verificăm condiția x>1x > 1. Avem x1=−1−23≈−4.46<1x_1 = -1 - 2\sqrt{3} \approx -4.46 < 1, deci nu convine. x2=−1+23≈2.46>1x_2 = -1 + 2\sqrt{3} \approx 2.46 > 1, deci este acceptabil. Astfel, A={−1+23}A = \{ -1 + 2\sqrt{3} \}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Teoria MulțimilorLogică matematică
Demonstrați că pentru orice mulțimi AA, BB și CC, avem A∖(B∩C)=(A∖B)∪(A∖C)A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C). Utilizați definițiile operațiilor cu mulțimi și proprietățile lor.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Definiți operațiile de diferență și intersecție a mulțimilor: A∖B={x∣x∈A și x∉B}A \setminus B = \{ x \mid x \in A \text{ și } x \notin B \}, B∩C={x∣x∈B și x∈C}B \cap C = \{ x \mid x \in B \text{ și } x \in C \}.
24 puncte
Demonstrați incluziunea A∖(B∩C)⊆(A∖B)∪(A∖C)A \setminus (B \cap C) \subseteq (A \setminus B) \cup (A \setminus C). Fie x∈A∖(B∩C)x \in A \setminus (B \cap C), atunci x∈Ax \in A și x∉B∩Cx \notin B \cap C. Dacă x∉B∩Cx \notin B \cap C, atunci x∉Bx \notin B sau x∉Cx \notin C. Astfel, x∈A∖Bx \in A \setminus B sau x∈A∖Cx \in A \setminus C, deci x∈(A∖B)∪(A∖C)x \in (A \setminus B) \cup (A \setminus C).
33 puncte
Demonstrați incluziunea (A∖B)∪(A∖C)⊆A∖(B∩C)(A \setminus B) \cup (A \setminus C) \subseteq A \setminus (B \cap C). Fie x∈(A∖B)∪(A∖C)x \in (A \setminus B) \cup (A \setminus C), atunci x∈A∖Bx \in A \setminus B sau x∈A∖Cx \in A \setminus C. Dacă x∈A∖Bx \in A \setminus B, atunci x∈Ax \in A și x∉Bx \notin B, deci x∉B∩Cx \notin B \cap C. Similar pentru x∈A∖Cx \in A \setminus C. În ambele cazuri, x∈Ax \in A și x∉B∩Cx \notin B \cap C, deci x∈A∖(B∩C)x \in A \setminus (B \cap C). Total: 10 puncte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Teoria MulțimilorDomeniul de definiție al funcțiilorLogaritmi
Fie mulțimile A={x∈R∣x2−3x+2≤0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 3x + 2 \leq 0 \} și B={x∈R∣log⁡2(x−1)≥0}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid \log_2(x-1) \geq 0 \}. Determinați A∩BA \cap B și A∪BA \cup B.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Rezolvați inecuația x2−3x+2≤0x^2 - 3x + 2 \leq 0. Factorizăm: x2−3x+2=(x−1)(x−2)≤0x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) \leq 0. Soluțiile sunt x∈[1,2]x \in [1, 2]. Deci, A=[1,2]A = [1, 2].
23 puncte
Rezolvați inecuația log⁡2(x−1)≥0\log_2(x-1) \geq 0 cu condiția de existență x−1>0x-1 > 0, adică x>1x > 1. log⁡2(x−1)≥0\log_2(x-1) \geq 0 este echivalent cu x−1≥20=1x-1 \geq 2^0 = 1, deci x−1≥1x-1 \geq 1 sau x≥2x \geq 2. Combinând cu x>1x > 1, avem x≥2x \geq 2. Deci, B=[2,∞)B = [2, \infty).
33 puncte
Calculați intersecția și reuniunea: A∩B=[1,2]∩[2,∞)={2}A \cap B = [1,2] \cap [2,\infty) = \{2\}, iar A∪B=[1,2]∪[2,∞)=[1,∞)A \cup B = [1,2] \cup [2,\infty) = [1,\infty). Total: 10 puncte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Teoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere RealeLogică matematică
Fie mulțimile A={x∈R∣x2−5x+6<0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 < 0 \} și B={x∈R∣∣x−2∣≤1}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x-2| \leq 1 \}. Determinați A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, și A∖BA \setminus B. Apoi, demonstrați că pentru orice mulțimi XX și YY, avem X∖(X∖Y)=X∩YX \setminus (X \setminus Y) = X \cap Y.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Rezolvăm inegalitatea pentru A: x2−5x+6<0⇒(x−2)(x−3)<0⇒x∈(2,3)x^2 - 5x + 6 < 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) < 0 \Rightarrow x \in (2,3), deci A=(2,3)A = (2,3). Pentru B: ∣x−2∣≤1⇒−1≤x−2≤1⇒1≤x≤3|x-2| \leq 1 \Rightarrow -1 \leq x-2 \leq 1 \Rightarrow 1 \leq x \leq 3, deci B=[1,3]B = [1,3].
23 puncte
Calculăm A∩B=(2,3)∩[1,3]=(2,3)A \cap B = (2,3) \cap [1,3] = (2,3), A∪B=(2,3)∪[1,3]=[1,3]A \cup B = (2,3) \cup [1,3] = [1,3], și A∖B=(2,3)∖[1,3]=∅A \setminus B = (2,3) \setminus [1,3] = \emptyset deoarece A⊆BA \subseteq B.
34 puncte
Demonstrație pentru mulțimi arbitrare XX și YY: X∖(X∖Y)={x∈X∣x∉(X∖Y)}={x∈X∣¬(x∈X și x∉Y)}={x∈X∣x∉X sau x∈Y}={x∈X∣x∈Y}=X∩YX \setminus (X \setminus Y) = \{ x \in X \mid x \notin (X \setminus Y) \} = \{ x \in X \mid \neg (x \in X \text{ și } x \notin Y) \} = \{ x \in X \mid x \notin X \text{ sau } x \in Y \} = \{ x \in X \mid x \in Y \} = X \cap Y.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6Teoria MulțimilorCombinatoricăProbabilități
Într-o clasă sunt 30 de elevi. 15 studiază matematica, 12 studiază fizica, și 8 studiază ambele. Determinați numărul de elevi care studiază cel puțin una dintre cele două materii. Apoi, dacă se alege un elev la întâmplare, calculați probabilitatea ca el să studieze doar matematica. Demonstrați formula pentru numărul de elemente din reuniunea a două mulțimi finite: ∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|.
Ușor#7Teoria MulțimilorFuncția de gradul al II-leaLogaritmi
Fie mulțimile A={x∈R∣x2−5x+6≤0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 \leq 0 \} și B={x∈R∣log⁡2(x−1)>0}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid \log_2(x-1) > 0 \}. Determinați A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, și verificați dacă A∖B=B∖AA \setminus B = B \setminus A.
Ușor#8Teoria MulțimilorCombinatoricăProbabilități
Într-o grupă de 30 de studenți, 15 studiază matematica, 12 studiază fizica, și 8 studiază ambele discipline. Determinați numărul de studenți care studiază cel puțin una dintre cele două discipline și probabilitatea ca un student ales la întâmplare să studieze doar matematica.
Ușor#9Teoria MulțimilorLogaritmiCombinatorică
Considerăm mulțimile A={x∈N∣x este divizor al lui 18}A = \{ x \in \mathbb{N} \mid x \text{ este divizor al lui } 18 \} și B={x∈N∣log⁡3x∈Z}B = \{ x \in \mathbb{N} \mid \log_3 x \in \mathbb{Z} \}. a) Determinați A∩BA \cap B și A∪BA \cup B. b) Numărul de relații binare pe mulțimea A∖BA \setminus B care sunt reflexive și simetrice.
Ușor#10Teoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere RealeLogică matematică
Se consideră mulțimile A={x∈R∣x2−4≥0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 4 \geq 0 \} și B={x∈R∣1x−1>0}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid \frac{1}{x-1} > 0 \}. a) Determinați A∩BA \cap B și A∪BA \cup B. b) Stabiliți valoarea de adevăr a propoziției: " ∀x∈R,(x∈A∩B)⇒(x>2)\forall x \in \mathbb{R}, (x \in A \cap B) \Rightarrow (x > 2) ". c) Calculați suma elementelor mulțimii C={k∈Z∣k∈A△B și −5≤k≤5}C = \{ k \in \mathbb{Z} \mid k \in A \triangle B \text{ și } -5 \leq k \leq 5 \}.
Ușor#11Teoria MulțimilorProbabilitățiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea universală U={1,2,3,…,20}U = \{1, 2, 3, \dots, 20\}. Se definesc mulțimile A={x∈U∣x este numa˘r prim}A = \{ x \in U \mid x \text{ este număr prim} \} și B={x∈U∣x este par}B = \{ x \in U \mid x \text{ este par} \}. Dacă se alege la întâmplare un element din U, calculați probabilitatea ca acesta să aparțină lui A∪BA \cup B. Apoi, dacă se aleg două elemente fără revenire, calculați probabilitatea ca ambele să aparțină lui A∩BA \cap B.
Ușor#12Teoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere RealeCombinatorică
Fie mulțimile A={x∈Z∣−2≤x≤3}A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid -2 \leq x \leq 3 \} și B={x∈Z∣x2−4<0}B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x^2 - 4 < 0 \}. Determinați A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, și A∖BA \setminus B. Apoi, calculați cardinalul mulțimii (A∩B)×(A∖B)(A \cap B) \times (A \setminus B).
Ușor#13Teoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere RealeCombinatorică
Consideră mulțimile A={x∈R∣x2−5x+6=0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 = 0 \} și B={x∈R∣∣x−2∣≤1}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x-2| \leq 1 \}. Determină A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, și A∖BA \setminus B. Apoi, află cardinalul mulțimii părților lui A∩BA \cap B.
Ușor#14Teoria MulțimilorLogică matematicăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie propozițiile pp: „x este număr întreg par” și qq: „x este multiplu de 3”. Definește mulțimile A={x∈Z∣p(x)}A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid p(x) \} și B={x∈Z∣q(x)}B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid q(x) \}. Determină A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, și complementul lui AA în Z\mathbb{Z}. Apoi, află mulțimea adevărului propoziției compuse (p∧¬q)∨(¬p∧q)(p \land \neg q) \lor (\neg p \land q).
Ușor#15Teoria MulțimilorGeometrie AnaliticăArii și volume
Se consideră mulțimile S1={(x,y)∈R2∣x2+y2≤4}S_1 = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 4 \} și S2={(x,y)∈R2∣x≥0,y≥0}S_2 = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \geq 0, y \geq 0 \}. a) Descrieți mulțimea S1∩S2S_1 \cap S_2. b) Calculați aria mulțimii S1∩S2S_1 \cap S_2.

Și alte 64 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Teoria Mulțimilor cu AI

Accesează toate cele 79 probleme de Teoria Mulțimilor cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.